量子力学的五大公设
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2 x
2 y 2
2
(l y ) l l y
2
l 由例1可知：x
2 * 2
ly 0
l x Ylm lˆx Ylm d
i lˆx [lˆy , lˆz ] lˆy lˆz lˆz lˆy
等式两边右乘 lˆx
2 i lˆx lˆy lˆz lˆx lˆz lˆy lˆx lˆy ( lˆx lˆz i lˆy ) lˆz lˆy lˆx
得到结果为 的几率是 测得结果在 d 的几率 a 2 d 求A的平均值
An
an
2
A
a n An a
2
2
A d
五.全同性原理公设（以后再学）
态叠加原理
若1，2 ,..., n ,...是体系的一系列可能的状态， 则这些态的线性叠加= C11 + C22 + ...+ Cnn + ... (其中 C1 , C2 , ... ,Cn ,...为复常数) 也是体系的一个可
l 0,1, 2, ; m 0, 1, , l
能级是(2l+1)度简并的。
例1：证明，在 lˆz 本征态Ylm下，
lx l y 0
证法一：
[ lˆy , lˆz ] i lˆx
(l y ) ( lz )
2 2
2
2
由于在 lˆz 本征态Ylm中，测量力学量lz有确定值，
il y
2
2
lx l y
2
ˆ ˆ 2 lˆ 2 lˆ 2 lˆ 2 lˆ 2 lˆ 2 l 2 lˆ 2 lx y z x y z
将上式两边在Ylm 态下求平均：
ˆ 2 lˆ 2 )Y d Y * (lˆ 2 lˆ 2 )Y d z lm Y (l x y lm lm
Em m 2I
2
2 2
m ( )
1 2
e
im
m 0 , 1,
A 2 4
4 3
A cos
H n 1 2 H n 2 nH n 1 0
基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数 (x)的递推关系：
x n ( x ) 1
[
n 2
n 1 ( x )
n 1 2
n 1 ( x )]
d dx
n ( x) [
n 2
n 1 ( x )
2 lˆy lˆx lˆz i lˆy lˆz lˆy lˆx
2 2 i lˆx lˆy lˆx lˆz i lˆy lˆz lˆy lˆx
将上式两边在Ylm态下求平均：
* 2 * * 2 * i Ylm lˆx Ylm d Ylm lˆy lˆx lˆz Ylm d i Ylm lˆy Ylm d Ylm lˆ lˆy lˆ Ylm d z x
量子力学的五大公设
一.量子态（波函数）公设
波函数公设，一个微观粒子的状态可以由波函数完 全来描述，波函数的模方为粒子的概 率密度，波函 数满足归一化条件。
2 ( x , y , z , t ) (r , t )
波函数三个标准条件 有限性、单值性和连续性。
二.量子运动方程公设薛定谔方程
三.算符公设。任意可观测的力学量，都可以用 相应的线性厄米算符来表示。 四. 量子测量公设(平均值公设) ， 将体系的状态波函数 用算符A的本征函数 n A （ A ）展开 A n A n n a n n a d 在 态中测量力学量A
,
n 0 ,1, 2 , e
1
e
)] N n H n [ ( x 2
)] e 2
2
2 (x
e
2
)
2
例4 若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为 n，求： 1 （1）距势阱内左壁 4 宽度内发现粒子的几率； （2）n取何值时，在此区域内找到粒子的几率最 大？ （3）当 n 时，这个几率的极限是多少？这个 结果与经典情况比较，说明了什么问题？ 例5 一约束在平面上沿一定半径绕 z轴（垂直平面） 转动的平面子，处于 A cos 2 态中，试确定在 此态中能量及角动量的可能取值及其相应的几 率，并求平均值。
(lz ) 0
2
4
lx
利用测不准关系
(ly ) 0
2
2
2
4
lx
0
2
2
4
lx
欲保证不等式成立，必有：l x 0 同理： y l
0
法二：[lˆy , lˆz ] i lˆx
利用求平均值的方法
ˆ 1 [ lˆ , lˆ ] 1 ( lˆ lˆ lˆ lˆ ) lx y z y z z y i i 1 * lx Ylm ( lˆy lˆz lˆz lˆy )Ylm d i 1 1 * * Ylm lˆy lˆz Ylm d Ylm lˆz lˆy Ylm d i i 1 * ˆ ˆ Y ) d 1 ( lˆ Y ) * lˆ Y d z lm y lm Ylm l y (l z lm i i
n 1 2
n 1 ( x )]
四. 平面转子的能量本征值与本征态 平面转子的哈密顿算符为：
ˆ H ˆ2 lz 2I
2
2 2
2 I
ˆ i lz
m 2I
2 2
平面转子的哈密顿算符本征值：E m 相应的本征函数： m ( )
1 2 e
im
n x n x 0 4
2 a
0
4
sin
2
n
xdx 1 1 sin n a 4 2 n 2
当 n 3 取最大值
1 4
1 6
当n趋于无穷时此值为1/4说明粒子均匀 分布于势阱内和经典结果一致。
例5. 解：平面刚性转子体系能量的本征值和本征函数为
2 2 2 2
2
lx l y
2
2
l l
2 x 2 y
1 2
[ l ( l 1) m ]
2
2
则测不准关系：
2 (lx ) l lx l y
2 2 x 2
2 (l y ) l l y l y
2 2 y
2
(lx ) (l y ) lx l y
能状态。
处于态的体系，部分的处于1态，部分的处于
2态…,部分的处于n,...
求解定态问题的具体步骤如下：
（1）、列出定态Schrö dinger方程
[
2
2m
2 V ( r )] ( r ) E ( r )
（2）、求解S—方程,写出通解 （3）、根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：
例4. 解：一维无限深势阱本征值和本征函数
n 2 2 2 , En 2 2ma 0, 2 n n sin x, a a
n 1, 2, x 0, x a
0 x a
距势阱内左壁1/4宽度内发现粒子的几率 a a
1 i
m i
m Ylm lˆy Ylm d
*
1 i
m Ylm lˆy Ylm d
*
ly
m i
ly
0
同理：l y
0
2 ˆ l , lˆz 共同本征态Ylm下，求测不准关系： 例2：
(lx ) (l y ) ?
2 2
解：( l x )
2
l lx
2
( x e x ) E 2
2 2
1
d
2 2
2 dx
1 2
2 ( x
e
2
) (E
2
e
2
2 2
2
)
令
x' x
e
2
E' E
e
2
2 2
2
2
d
2
2 dx 2
1 2
2 x ' 2 E '
2
本征能量
n En , 2 2 ma
2 2
n 1, 2,
三、一维线性谐振子
线性谐振子的 Hamilton量：
ˆ H ˆ2 p 2m 1 2 m x
2 2
2
d
2 2
2 m dx
1 2
m x
2
2
本征波函数
n An H n ( ) e
1 2 2
x / 2
2 2
An H n ( x ) e
x,
归一化系数 本征能量
An
1/ 2 2 n n !
En (n
1 2
)
n 0 ,1, 2 ,
厄密多项式的递推关系：
dH n d 2 nH n 1 ( )
已知H0 = 1, H1=2 H2 = 2H1-2nH0 = 42-2
本征值： E1，E2，…，En，…
本征函数：1，2，…，n，…
（4）、通过归一化确定归一化系数Cn
2 C n n ( r ) d 1
一.一维自由粒子的波函数
哈密顿量
ˆ H ˆ2 p 2m
波函数 p x x 能量
E px
2
1 2
i
e
p源自文库 x
2 * 2 * i l x m Ylm lˆy lˆxYlm d i l y (lˆz Ylm ) lˆy lˆxYlm d
* 2 * m Ylm lˆy lˆxYlm d i l y m Ylm lˆy lˆxYlm d
E 'n ( n n ( x ' )
1 2
) ,
n 0 ,1, 2 ,
1
N n H n ( x ' ) e 2
2 x '2
所求的解为：
En (n n [ ( x 1 2 ) e
2 2 2
2
2 2 2
2
1 4
[ l ( l 1) m ]
2 2
4
例3：一电荷为e的一维线性谐振子受恒定弱电场作 用，电场沿正x方向,其势场为：
V ( x) 1 2 m x e x
2 2
求能量本征值和本征函数。 解：定态Schrö dinger方程：
2
d
2
2 dx 2
* lm
2 2 2 * [ l ( l 1) m ] Ylm Ylm d l (l 1) m
2 2 2
* 2 2 2 2 2 Ylm ( lˆx lˆy )Ylm d l ( l 1) m
l x l y l ( l 1) m
2 i (r , t ) [ V ( r , t )] ( r , t ) t 2m
2
——薛定谔方程
注意：薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的， 它是量子力学中的一个基本假设，地位等同于牛顿力学 中的牛顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比 较来验证。
0
,
m 0, 1, 2,
对应于一个能量本征值，有两个本征态(m=0)除
外，因此其能级是二重简并的。
五. 空间刚性转子的能量本征值与本征函数 空间转子的哈密顿算符为：
2 ˆ l ˆ H 2I
l ( l 1) 2 空间刚性转子能量本征值： E l 2I 相应的波函数为： Y lm ( , )
定态含义作用在粒子上的势场是不随时间改变的。
[
2
2
2 V ( r )] ( r ) E ( r )
——定态薛定谔方程
(r , t ) (r )e
i
Et
定态波函数
定态的性质：
（1）、在定态中，几率密度和几率流密度不随时间改变； （2）、任何不显含t的力学量平均值与t 无关； （3）、任何不显含t的力学量的测量概率分布也不随时间改变。
2m
对应于一个能量本征值，有两个本征态(p=0)除 外，因此其能级是二重简并的。
二.一维无限深势阱
哈密顿量
H 2 2 m dx 0
2
d
2
x 0,
x 0,
xa
xa
0 xa
本征波函数 n
0, 2 n sin x, a a
0xa
2 y 2
2
(l y ) l l y
2
l 由例1可知：x
2 * 2
ly 0
l x Ylm lˆx Ylm d
i lˆx [lˆy , lˆz ] lˆy lˆz lˆz lˆy
等式两边右乘 lˆx
2 i lˆx lˆy lˆz lˆx lˆz lˆy lˆx lˆy ( lˆx lˆz i lˆy ) lˆz lˆy lˆx
得到结果为 的几率是 测得结果在 d 的几率 a 2 d 求A的平均值
An
an
2
A
a n An a
2
2
A d
五.全同性原理公设（以后再学）
态叠加原理
若1，2 ,..., n ,...是体系的一系列可能的状态， 则这些态的线性叠加= C11 + C22 + ...+ Cnn + ... (其中 C1 , C2 , ... ,Cn ,...为复常数) 也是体系的一个可
l 0,1, 2, ; m 0, 1, , l
能级是(2l+1)度简并的。
例1：证明，在 lˆz 本征态Ylm下，
lx l y 0
证法一：
[ lˆy , lˆz ] i lˆx
(l y ) ( lz )
2 2
2
2
由于在 lˆz 本征态Ylm中，测量力学量lz有确定值，
il y
2
2
lx l y
2
ˆ ˆ 2 lˆ 2 lˆ 2 lˆ 2 lˆ 2 lˆ 2 l 2 lˆ 2 lx y z x y z
将上式两边在Ylm 态下求平均：
ˆ 2 lˆ 2 )Y d Y * (lˆ 2 lˆ 2 )Y d z lm Y (l x y lm lm
Em m 2I
2
2 2
m ( )
1 2
e
im
m 0 , 1,
A 2 4
4 3
A cos
H n 1 2 H n 2 nH n 1 0
基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数 (x)的递推关系：
x n ( x ) 1
[
n 2
n 1 ( x )
n 1 2
n 1 ( x )]
d dx
n ( x) [
n 2
n 1 ( x )
2 lˆy lˆx lˆz i lˆy lˆz lˆy lˆx
2 2 i lˆx lˆy lˆx lˆz i lˆy lˆz lˆy lˆx
将上式两边在Ylm态下求平均：
* 2 * * 2 * i Ylm lˆx Ylm d Ylm lˆy lˆx lˆz Ylm d i Ylm lˆy Ylm d Ylm lˆ lˆy lˆ Ylm d z x
量子力学的五大公设
一.量子态（波函数）公设
波函数公设，一个微观粒子的状态可以由波函数完 全来描述，波函数的模方为粒子的概 率密度，波函 数满足归一化条件。
2 ( x , y , z , t ) (r , t )
波函数三个标准条件 有限性、单值性和连续性。
二.量子运动方程公设薛定谔方程
三.算符公设。任意可观测的力学量，都可以用 相应的线性厄米算符来表示。 四. 量子测量公设(平均值公设) ， 将体系的状态波函数 用算符A的本征函数 n A （ A ）展开 A n A n n a n n a d 在 态中测量力学量A
,
n 0 ,1, 2 , e
1
e
)] N n H n [ ( x 2
)] e 2
2
2 (x
e
2
)
2
例4 若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为 n，求： 1 （1）距势阱内左壁 4 宽度内发现粒子的几率； （2）n取何值时，在此区域内找到粒子的几率最 大？ （3）当 n 时，这个几率的极限是多少？这个 结果与经典情况比较，说明了什么问题？ 例5 一约束在平面上沿一定半径绕 z轴（垂直平面） 转动的平面子，处于 A cos 2 态中，试确定在 此态中能量及角动量的可能取值及其相应的几 率，并求平均值。
(lz ) 0
2
4
lx
利用测不准关系
(ly ) 0
2
2
2
4
lx
0
2
2
4
lx
欲保证不等式成立，必有：l x 0 同理： y l
0
法二：[lˆy , lˆz ] i lˆx
利用求平均值的方法
ˆ 1 [ lˆ , lˆ ] 1 ( lˆ lˆ lˆ lˆ ) lx y z y z z y i i 1 * lx Ylm ( lˆy lˆz lˆz lˆy )Ylm d i 1 1 * * Ylm lˆy lˆz Ylm d Ylm lˆz lˆy Ylm d i i 1 * ˆ ˆ Y ) d 1 ( lˆ Y ) * lˆ Y d z lm y lm Ylm l y (l z lm i i
n 1 2
n 1 ( x )]
四. 平面转子的能量本征值与本征态 平面转子的哈密顿算符为：
ˆ H ˆ2 lz 2I
2
2 2
2 I
ˆ i lz
m 2I
2 2
平面转子的哈密顿算符本征值：E m 相应的本征函数： m ( )
1 2 e
im
n x n x 0 4
2 a
0
4
sin
2
n
xdx 1 1 sin n a 4 2 n 2
当 n 3 取最大值
1 4
1 6
当n趋于无穷时此值为1/4说明粒子均匀 分布于势阱内和经典结果一致。
例5. 解：平面刚性转子体系能量的本征值和本征函数为
2 2 2 2
2
lx l y
2
2
l l
2 x 2 y
1 2
[ l ( l 1) m ]
2
2
则测不准关系：
2 (lx ) l lx l y
2 2 x 2
2 (l y ) l l y l y
2 2 y
2
(lx ) (l y ) lx l y
能状态。
处于态的体系，部分的处于1态，部分的处于
2态…,部分的处于n,...
求解定态问题的具体步骤如下：
（1）、列出定态Schrö dinger方程
[
2
2m
2 V ( r )] ( r ) E ( r )
（2）、求解S—方程,写出通解 （3）、根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：
例4. 解：一维无限深势阱本征值和本征函数
n 2 2 2 , En 2 2ma 0, 2 n n sin x, a a
n 1, 2, x 0, x a
0 x a
距势阱内左壁1/4宽度内发现粒子的几率 a a
1 i
m i
m Ylm lˆy Ylm d
*
1 i
m Ylm lˆy Ylm d
*
ly
m i
ly
0
同理：l y
0
2 ˆ l , lˆz 共同本征态Ylm下，求测不准关系： 例2：
(lx ) (l y ) ?
2 2
解：( l x )
2
l lx
2
( x e x ) E 2
2 2
1
d
2 2
2 dx
1 2
2 ( x
e
2
) (E
2
e
2
2 2
2
)
令
x' x
e
2
E' E
e
2
2 2
2
2
d
2
2 dx 2
1 2
2 x ' 2 E '
2
本征能量
n En , 2 2 ma
2 2
n 1, 2,
三、一维线性谐振子
线性谐振子的 Hamilton量：
ˆ H ˆ2 p 2m 1 2 m x
2 2
2
d
2 2
2 m dx
1 2
m x
2
2
本征波函数
n An H n ( ) e
1 2 2
x / 2
2 2
An H n ( x ) e
x,
归一化系数 本征能量
An
1/ 2 2 n n !
En (n
1 2
)
n 0 ,1, 2 ,
厄密多项式的递推关系：
dH n d 2 nH n 1 ( )
已知H0 = 1, H1=2 H2 = 2H1-2nH0 = 42-2
本征值： E1，E2，…，En，…
本征函数：1，2，…，n，…
（4）、通过归一化确定归一化系数Cn
2 C n n ( r ) d 1
一.一维自由粒子的波函数
哈密顿量
ˆ H ˆ2 p 2m
波函数 p x x 能量
E px
2
1 2
i
e
p源自文库 x
2 * 2 * i l x m Ylm lˆy lˆxYlm d i l y (lˆz Ylm ) lˆy lˆxYlm d
* 2 * m Ylm lˆy lˆxYlm d i l y m Ylm lˆy lˆxYlm d
E 'n ( n n ( x ' )
1 2
) ,
n 0 ,1, 2 ,
1
N n H n ( x ' ) e 2
2 x '2
所求的解为：
En (n n [ ( x 1 2 ) e
2 2 2
2
2 2 2
2
1 4
[ l ( l 1) m ]
2 2
4
例3：一电荷为e的一维线性谐振子受恒定弱电场作 用，电场沿正x方向,其势场为：
V ( x) 1 2 m x e x
2 2
求能量本征值和本征函数。 解：定态Schrö dinger方程：
2
d
2
2 dx 2
* lm
2 2 2 * [ l ( l 1) m ] Ylm Ylm d l (l 1) m
2 2 2
* 2 2 2 2 2 Ylm ( lˆx lˆy )Ylm d l ( l 1) m
l x l y l ( l 1) m
2 i (r , t ) [ V ( r , t )] ( r , t ) t 2m
2
——薛定谔方程
注意：薛定谔方程是建立起来的，而不是推导出来的， 它是量子力学中的一个基本假设，地位等同于牛顿力学 中的牛顿方程。它的正确性由方程得出的结论与实验比 较来验证。
0
,
m 0, 1, 2,
对应于一个能量本征值，有两个本征态(m=0)除
外，因此其能级是二重简并的。
五. 空间刚性转子的能量本征值与本征函数 空间转子的哈密顿算符为：
2 ˆ l ˆ H 2I
l ( l 1) 2 空间刚性转子能量本征值： E l 2I 相应的波函数为： Y lm ( , )
定态含义作用在粒子上的势场是不随时间改变的。
[
2
2
2 V ( r )] ( r ) E ( r )
——定态薛定谔方程
(r , t ) (r )e
i
Et
定态波函数
定态的性质：
（1）、在定态中，几率密度和几率流密度不随时间改变； （2）、任何不显含t的力学量平均值与t 无关； （3）、任何不显含t的力学量的测量概率分布也不随时间改变。
2m
对应于一个能量本征值，有两个本征态(p=0)除 外，因此其能级是二重简并的。
二.一维无限深势阱
哈密顿量
H 2 2 m dx 0
2
d
2
x 0,
x 0,
xa
xa
0 xa
本征波函数 n
0, 2 n sin x, a a
0xa