农作物施肥效果分析

农作物施肥效果分析

摘要

我们通过研究氮、磷、钾三种肥料对土豆和生菜的作用，来建立施肥量与产量关系的模型。通过回归分析的方法，将所给的数据进行MATLAB工具箱拟合，并利用残差分析的方法，建立反映施肥量与产量关系的模型并检验分析,找到产量的最优解以及氮、磷、钾三种肥料的最优配合比，在耕地面积一定的情况下研究土豆或生菜可以达到得最大收益值。

由此我们建立的土豆产量模型为

w1=−12.8361+0.1903n+0.0842p+0.0735k−0.0003n2−0.0002p2−0.0001k2生菜产量模型为

w2=−0.4938+0.0756n+0.0234p+0.0067k−0.0002n2求解得到土豆产量的最值，当n=317.1667，p=210.5000，k=367.5000时，得出w1max=39.71，氮磷钾肥料的最优配合比为1.5:1:1.74，土豆是喜钾作物。我们可以得出生菜的最值，当n=224，p=685，k=372时，得w2=24.53，可以看出生菜是喜磷作物。

在应用方面，为了直观的展示最大的利润以及最优配合比，设计了一个GUI人机交互界面，这样可以清晰明了表示获得的最大收益值。

关键词：回归分析MATLAB拟合残差分析最优配合比GUI人机交互界面

一问题重述

俗话说“民以食为天”，我们的生活与农作物的供应息息相关。近年来，随着人口增多，耕地减少，所以化肥对农作物的生长、提高农作物的产量具有重要的意义。农作物除了吸收水分和空气中二氧化碳以获得碳、氢、氧等元素外，还必须从土壤再吸收氮、磷、钾和其他矿质养分，并在太阳能的帮助下合成有机物质，以建造自己的有机机体，但土壤中的常量营养元素氮、磷、钾和其他矿质养分一般不能满足作物生长的需求，需要施用含氮、磷、钾的化肥来补充。在本问题中，某研究所通过研究氮、磷、钾三种肥料对土豆和生菜的作用，来建立施肥量与产量关系的模型。

实验中将每种肥料的施用量分为10个水平，在考察其中一种肥料的施用量与产量的关系时，把另两种肥料固定在第7个水平上，通过回归分析的方法，将所给的数据进行MATLAB拟合，从而建立反映施肥量与产量关系的模型,找到产量的最优解以及氮、磷、钾三种肥料的最优配合比，在耕地面积一定的情况下研究土豆和生菜可以达到的最大收益值，并从实际情况出发，评价该模型的优缺点。

二问题假设及符号假设

2.1假设在不同的实验条件下，保持水分、温度、湿度、光照、土壤状况等外界条件一致。

2.2 假设施加的化肥完全进入土壤，没有挥发作用。

2.3 假设在模型一、模型二中氮、磷、钾三种肥料对土豆和生菜的影响是相互独立的。

2.4 符号假设：

氮、磷、钾施用量分别为n、p、k；土豆的产量为w1，生菜的产量为w2；氮肥每公斤价格为x，磷肥每公斤价格为y，钾肥每公斤价格为z；土豆每吨利润为a，生菜每吨利润为b；其他的固定成本为m；总收益为s。

三模型的建立和求解

3.1 模型一的建立与求解

为了大致分析土豆的产量w1、生菜的产量w2与n、p、k的关系，首先利用表中的数据分别做出w1与n、w1与p、w1与k的散点图并进行拟合、建立模型，如下图所示。

图一w1对n的散点图

从图一可以发现，随着n的增加，w1先增加在减小，由MATLAB拟合为二次函数。

其数学模型为

w1=β0+β1n+β2n2+ε；

求参数可得

w1=−0.0003395n2+0.1971n+14.74；

求解最值得，当n=290.2798时，w1=43.3471；与实际最值得对比发现，模型给出的最值小于实际给出的最值，这是因为，给出的模型是为了探究一般情况，故取该曲线的最值点，而实验给出的最值点不在该曲线上，因而舍弃了实验给出的最值点。

图二w1对p的散点图

同理给出w1对p的散点图，在拟合过程中我们发现指数函数拟合效果较二次

函数拟合效果好，所以给出指数函数数学模型

w1=45.99e−0.0002318p−13.78e−0.008642p

求解函数最值得，当p=286.9502时，w1=41.8763，最值的误差来源同样是因为上述原因。

图三w1对k的散点图

给出w1对k的散点图，并得出数学模型

w1=−1.449×10−9k4+2.257×10−6k3−0.001191k2+0.2603k+18.68由图像可得最值，k=651时，w1=46.22。

下面我们研究生菜的产量w2与n、p、k的关系，并做出w2与n、w2与p和w2与k的散点图并进行拟合、建立模型。

图四w2对n的散点图

w2=−0.0002381n2+0.1013n+10.23

求解最值得，当n=212.7257时，w2=21.0046；最值的误差是因为拟合方程与实验数据不完全吻合。

图五w2对p的散点图

给出w2对p的散点图，并得出数学模型

w2=−5.453×10−5p2+0.0606p+6.876

求解最值得，当p=555.6574时，w2=23.7124，最值误差来源仍是上述原因。

图六w2对k的散点图

w2=0.004657k+16.27

显然由图六所示，该模型为线性模型，故无最值的存在。

3.2 模型二的建立与求解

模型一只是给出了产量与单一变量（氮、磷、钾的三种施用量）之间的关系，我们在此基础上进行改进，建立产量与多变量之间的数学模型。

首先先建立土豆产量与三种肥料施用量关系的模型。综合上面的分析，土豆的产量与氮肥施用量的关系是二次函数模型；土豆的产量与磷肥施用量的关系是四次函数模型；土豆的产量与钾肥施用量的关系是指数函数模型，为建立三者统一的回归模型，必须简化计算，将土豆的产量与磷肥施用量的关系、土豆的产量与钾肥施用量的关系均转化为二次函数模型。结合土豆产量的模型一建立如下回归模型

w1=β0+β1n+β2p+β3k+β4n2+β5p2+β6k2+ε

其中β0+β1n+β2p+β3k+β4n2+β5p2+β6k2是当给出氮肥施用量n、磷肥施用量p、钾肥施用量k时，土豆产量w1的平均值，其中参数β0，β1，β2，β3，β4，β5，β6称为回归系数，ε应大致服从均值为0的正态分布。

我们利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解，使用格式为

[b,bint,r,rint,stats]=regress(w1,X，0.05)

其中输入w1为上述回归模型中w1的数据（n维向量，n=30），X为对应于回归系数的β=（β0，β1，β2，β3，β4，β5，β6）的数据矩阵[1 n p k n2 p2 k2]

（n∗7矩阵，其中第一列为全1向量），0.05为置信水平；输出b为β的估计值，bint为b的置信区间，r为残差向量，rint为r的置信区间，stats为回归模型的检验统计量，有4个值，第1个是回归方程的决定系数R2（R是相关系数），第2个是F统计量的值，第3个是与F统计量对应的概率值p，第4个是剩余方差s2。得到上述回归模型的回归系数估计值及其置信区间（置信水平0.05）、检验统计量R2、F、p、s2的结果见表