《数学分析》 第十六章 多元函数的极限与连续 3

闭区域上连续函数的性质
(1)最大值和最小值定理 ) 在有界闭区域D上的多元连续函数, 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次. 上至少取得它的最大值和最小值各一次. (2)介值定理 ) 在有界闭区域D上的多元连续函数,如 在有界闭区域D上的多元连续函数, 果在D上取得两个不同的函数值,则它在D 果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次. 取得介于这两值之间的任何值至少一次.
xy + 1 1 1 解 原式 = lim = lim x → 0 xy( xy + 1 + 1) x →0 xy + 1 + 1 y→ 0 y→ 0
1 = . 2
�
§3
二元函数的连续性
连续的概念
定义3 定义3 设 n 元函数 f (P ) 的定义域为点集 D , P0
是其聚点且 P0 ∈ D ,如果 lim f ( P ) = f ( P0 )
P → P0
处连续. 则称 n 元函数 f (P ) 在点 P0 处连续.
的定义域的聚点, 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点 , 如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续,则称 P0 是函数 f ( P ) 的 处不连续, 间断点. 间断点
= ρ (sin 3 θ + cos 3 θ ) < 2 ρ
ε > 0, δ = , 当 0 < 2
ε
x2 + y2 < δ 时
f ( x , y ) f (0,0) < 2 ρ < ε
( x , y )→ ( 0 , 0 )
lim
f ( x , y )Hale Waihona Puke Baidu= f (0,0),
故函数在(0,0)处连续 处连续. 故函数在 处连续
例6 讨论函数
xy , x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
的连续性. 在(0,0)的连续性. 的连续性 解 取 y = kx xy k kx 2 lim 2 = = lim 2 2 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k x 1+ k2 y→ 0 y = kx 其值随k的不同而变化, 极限不存在. 其值随 的不同而变化, 极限不存在. 的不同而变化 故函数在(0,0)处不连续. 处不连续. 故函数在 处不连续
一般地, 一般地,求 lim f ( P ) 时,如果 f ( P ) 是初等函
P → P0
的定义域的内点, 数,且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点,则 f ( P ) 在 点 P0 处连续,于是 lim f ( P ) = f ( P0 ). 处连续,
P → P0
xy + 1 1 例7 求 lim . x →0 xy y→0
x3 + y3 , ( x , y ) ≠ (0,0) 2 2 例5 讨论函数 f ( x , y ) = x + y 0, ( x , y ) = (0,0)
处的连续性. 在(0,0)处的连续性. 处的连续性 解 取 x = ρ cosθ ,
y = ρ sinθ
f ( x , y ) f ( 0, 0 )
(3)一致连续性定理 ) 在有界闭区域D 在有界闭区域D上的多元连续函数必定 上一致连续. 在D上一致连续. 多元初等函数:由多元多项式及基本初等函数 多元初等函数: 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.