关于体能测试的时间安排问题

关于体能测试的时间安排问题
沈剑
摘要：某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶，学校要求整个测试所需时间段最少的条件下，尽量节省学生的等待时间，该如何安排班级测试？以每个时间段测试的人最多为目标，用时间的限制为约束，建立0-1整数规划模型，在lingo中求解得到各个时间段测试的班级，计算各班测试时间。

这5项测试的仪器测试时间不同，总体上讲台阶、立定跳远和肺活量时间较长，学校可以考虑引进这几项仪器，测完的同学就可以离开测试场所，人员容量就不用再扩大，在模型中为节省时间把班级分组。

关键词：组合方式；0-1规划；lingo
某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。

包
括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验5个项目，均由电子仪器动测量、
阶试验测量仪器各2台。

其中，身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。

每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。

仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。

学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。

5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。

同时学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。

一、问题的分析
经过初步分析，用0-1整数规划可以优化此问题。

考虑到学校的要求：同一班级的所有同学在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条下，尽量节省学生的等待时间。

考虑以下几方面：
(1)为节省等待时间我们按班级一一测试，在测试过程中把班级人数分组，测试完的同学可以走，5人一组，但要求每组的学生的学号相连减少录入时间。

(2)每组测试各项所用时间不同，其中第5项所花时间最多，我们让同学以第5项开始测试减少等待时间。

考虑到录入学号的时间每组需要215秒，因有两台台阶测试仪器，每测一组出来10人，在台阶测试下一组完成的期间，前一组的10个人可以全部完成前4项的测试，所以我们把第5项测试所用时间在加上各班级交换的时间和最后一组
完成前4项的时间即为整个时间段的约束。

(3)整个测试所需的时间段最少，就要求每个时间段所测试的人数是最多的，在人数最多的情况下要求班级之间的最优的搭配能使同一时间段测试的人越多，在时间的限制下，对于班级搭配使人数最多的问题我们用0-1整数规划求解，得出不同班级的搭配。

(4)一个班级测完，在测另一个班级，那先测试的同学就可以回教室减少场地容纳人数，这样就不会对场所的人数有要求，即问题给出场地人数的限制不用考虑。

以上述条件求解得到了每个时间段班级搭配的方案，在计算各班级测试的时间，以便给出集体的时间统治。

二、建立模型解决问题
1.假设：(1)测试过程，每个同学不会出现以外情况，延长测试时间；
(2)在测试期间各班、各组之间的衔接不会有间隔；
(3)在测试期间各测量仪器都不会出现障碍；
(4)每组的成员都是以学号先后顺序排好，不会出现差错；
(5)在测试的时间之前班级的排序以及其他准备问题都已完成；
(6)班级要求一起来；
(7)为了结果更准确同一时刻同一同学只能进行一项测试。

符号说明：i x ：待测班级编号，j ：已测班级数目，i c ：班级人数（i=1，2，… 56），
i y ：各项目测试的仪器数（i=1，2，3，4，5）
，w ：每个时间段内测试的总人数， i T ：对应时间段含有的秒数，i t ：各个仪器测试时间，p ：录入学号所用的时间（5秒）。

2.建立模型：
总人数一定，要求所需时间段最少，那么每个时间段测试的人数就越多越好。

要在满足同一班级的所有同学在同一时间段内测试完成所有项目的条件下，用0-1整数规划模型，引入0-1变量：其中i x =0表示班号为i 的班级没有参加测试；i x =1表示班号为i 的班级参加了测试。

则目标函数：w =∑-=j
i i i c x 561
约束条件：
∑=561i i i c
x 5\2\5t ⨯+∑=⨯56
1i i x p +210<=i T ；i x =0或1 (其中5t =215，因第5项花费的时间最多，两组完成第5项的时间也可以完成前4项) ；
3. 求解模型:
在测试之前，将学号相连的同一个班的十个同学分成两组。

同步进行的两组中的第一组：台阶测试→立定跳远→握力→身高体重→肺活量（注：第二组的第二个测试）；第二组：台阶测试→肺活量→握力→身高体重→立定跳远（注：第一组的第二个测试）。

其中每组在录入个人信息后直接进入立定跳远测试，紧接着依次进入握力，身高与体重的测试，考虑到各项的录入时间和测试时间第一个人只要60秒就可以完成第一组4项测试等待肺活量测试完另外一组。

两组测试流程图是对称的，当第一组的第一个人等待完右边进行肺活量测试进行肺活量测试时同时第二组的第一个人进行立定跳远测试，即在整个前4项测试中肺活量和立定跳远仪器不会停止，简便理解完成时间相当与进行肺
活量或立定跳远测试十个人的时间，在加上两组的录入信息，总共时间210秒。

第5项每测试一组要215秒，这样在下一组完成第5项出来时前一组的前4项测试已经完成。

所以整个测试时间主要考虑第5项完成的时间。

把各个变量的对应值代入上面的模型，用lingo 求解。

方案一：结果可得出第一天上午测试班号为2，3，4，6，7，13，14，15，16，41，46，47，49，51，54，最大测试人数684；第一天下午测试班号为1，10，19，21，22，31，34，37，40，42，45，50，53，最大测试人数531；第二天上午测试班号为5，8，9，11，17，18，20，23，24，25，26，28，29，30，32，33，38，39，43，44，48，总测试人数为683；第二天下午测试班号为12，27，35，36，52，55，56，测试人数138，且下午还有时间剩余。

从中发现，最后一天中13：30-16：45这一时间段在14：20之前能完成剩余人员的测试，测试所用时间不到一个小时，剩余两个多小时，这半天的工作日比较浪费。

上午的时间段要比下午的时间段多55分，考虑利用三个上午的时间段来测试结果（方案二）如下：结果可得出第一天上午测试班号为2，3，4，6，7，13，14，15，16，41，46，47，49，51，54，最大测试人数为684；第二天上午测试班号为1，10，11，19，21，22，31，34，37，38，40，42，43，45，48，50，53，最大测试人数为683；第三天上午测试班号为5，8，9，12，17，18，20，23，24，25，26，27，28，29，30，32，33，35，36，39，44，52，55，56，最大测试人数为669。

有效时间达93.8%，充分利用各个工作日，即减少了时间段数又提高了时间的利用率。

考虑到实际还使同学多了一下午稳定上课的时间，选择方案二比较合适，用三个上午的时间段来进行测试。

为了测试的班级更好的衔接，各班之间要提早30秒去测试。

（时间安排可见附表） 同一时间内各项测试完成的人数相等的话，可以在各项之间在相互交换测试，每一项中的每台机器都不会停止即能让人数最到有提高仪器的工作效率避免有的仪器空闲，所以他们之间存在着这样的关系，把测试的时间整体看成1,则：
5544332211/15/1/1/1/1t y t y t y t y t y ⨯⨯=⨯=⨯=⨯=⨯
计算出：54321y y y y y ：：：：=1：2：2：1.5：4.2。

如果学校要引进仪器，做好是让所拥有的各项的仪器数达到上面的比例越好。

三、总结
本模型对各个班级进行5人分组，而且要求学号相连，给测试之前的准备工作增加负担。

同时它的好处可以减少学生的等待时间，对场地的人数也没有限制。

能利用0-1规划科学的得到不同班级的搭配能使时间段测试的人数达到最大，减少时间段。

但在问题求解时，每组（五人一组）的第一个人在做完立定跳远（或肺活量）后按流程图到肺活量（或立定跳远）时，他需等待45秒后才能进行测试。

这样第一个人等待时间过长。

学校体能测试包括5个项目，每个同学都要把这5项进行完不能缺项目，各个仪器测试规则和测试时间不同，在这个条件下模型可以对更多的班级求解，班级的数量可以扩展得更多。

从学生的等待时间的不同角度考虑，可以把学生的等待时间理解为，等待了几个工作日，在测试的那个工作日的等待时间不考虑到学生的等待时间内。

可以给工作日加权重，第一个工作日的权重为0，第二个工作日的权重为0.5，第三个工作日的权重为1，第四个工作日的权重为1.5，用0-1规划模型，建立时间段测试人数最多和利用权重建立等待时间最少的多目标函数，把时间段的时间限制和场所的人数限制做为条件求解。

此类模型可以推广到新生报名交费，由于它程序较多，人也多，这就要求对整过报名环节要有个大体的安排，以便缩短报名的时间。

还适用于医院体检有关问题和在银行办理有关业务问题。

参考文献
[1] ：姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型》，北京市:高等教育出版社，2003（3）.8.
[2] ：杨启帆等,《数学建模》,杭州:浙江大学出版社,1999.
[3] ：谭永基等,《数学模型》,上海:复旦大学出版社,1997.
[4] ：徐永仁,《运筹学试题精选与答题技巧》,哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2001.。