概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分教学内容
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Ew IPx2PLxC 2
EIw Px3PL x2C xD 62
确定积分常数
当 x0 时，
AwA0， wA 0
求得：
C0; D0
y
L
P
B
x
B wB
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
w(x)Px2 (x3L) 6EI
最大转角及最大挠度（绝对值最大）
maxB
PL2 2EI
（
）
wmax wB
PL3 3EI
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d2w dx2
M (x) EI
EI
d2w dx2
M(x)
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
Ed d Iw xEI(x)M (x)dxC
E ( x ) I w M ( x ) d x d x C D x
曲线称为挠曲线， w =f (x) —— 挠曲线方程。
二、梁变形的两个基本位移量
yx
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线
P x
方向的线位移，用w表示。规定：
w
w （＋）， w (－）。
2.转角：横截面绕其中性轴转动的
角度，用 表示。规定： （＋）， (－）。
三、转角与挠度的关系：tgdw小 变形 dw(1
（
）
wAw1x10
3 P3a 2EI
（
）
§6-4 按叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 P 2 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
式中C、D为积分常数，可根据梁的边界条件和连续性条件确定。
2.边界条件和连续性条件
边界条件：挠曲线上某些点的挠度和转角是已知的。
P
P
A
C
B
D
例如，图示简支梁铰支座处截面的挠度为零；
悬臂梁固定端处截面的挠度和转角都等于零。
讨论题：指出下列梁的边界条件。
q
q
A
A
B
B
L
a
l
a
连续性条件: 挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角。 若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续(图a)和不光滑(图b)。
（
）
题二、解： 建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) 0 P(ax1)
(0x1a) (ax2L)
写出挠曲线微分方程并积分
y
a
P
Ax 1
C
x2
L
x
B
Ew I 0 P(ax1)
(0x1a) (ax2L)
EIw
P 2
x12
Pa1xC1
C2
EIw P 6x13P2ax12C1x1D1
C2x2D2
确定积分常数 边界条件
AB段 Ew 1 IM 1P1x
Ew I1EI1P 2x12C1
EIwP 6x13C1x1D1
BC段
2Ew 2 IP2x Pa
2Ew 2 I2E2IP 2x22P2 a C x2
2E2 I w P 6x23P 2x a 22C 2x2D 2
确定积分常数
边界条件：当 x2 a 时，2＝ 0， w 20
wma x wB6PE2aI(3La)
(x2)dw d(xx22)
Pa2 2EI
y
a
P
C
Bx
C wB
L
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
P
EI 2EI
解： 建立坐标系并写出弯矩方程
A x1
B x2 C
a
a
AB段 (0x1a)
M1 P1x
BC段 (0x2a)
M 2P (ax2)
写出挠曲线微分方程并积分
Pa 2 4EI
wPC
Pa3 6EI
A
q B
qA
qa 3 3EI
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
wqC
5qa4 24EI
A
P
q B
PA
Pa 2 4EI
Pa3 wPC 6EI
C
a
a
qA
qa 3 3EI
wqC
5qa4 24EI
P
叠加
=
APAqA
A
B
a2 (3P4qa)
12EI
+
q
wCwPCwqC
A
B
(5qa4 Pa3)
w ( P 1 P 2 P n ) w ( P 1 ) w ( P 2 ) w ( P n )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
P
q 例3 按叠加原理求A点转角和C点
A
B
挠度。
C
a
a
解、载荷分解如图
由梁的简单载荷变形表(表 P
6.1)查简单载荷引起的变形。
=
A
B
+
PA
A
C
B
A
C
B
（图a）
（图b）
对上述梁：
边界条件： wA 0, wB 0
连续性条件： wC左wC右,
C左
C右
挠曲线近似微分方程
d2w dx2
M (x) EI
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的边界条件、连续性条件确定。
dx
dx
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
y
M>0
1M EI
1 M(x)
(x) EI
d2w
o
d2w dx2
0
x
1
dx2
小变形
(x) [1(dw)2]3/2
(1x)dd2xw 2
dx
y
M<0
dd2xw 2
M(x) EI
d2w dx2
0
x
o
dd2xw2 ME(xI)(2)
④优点：使用范围广，可求出挠度和转角的普遍方程； 缺点：计算较繁。
§6–3 用积分法求梁的挠度与转角
例1 求下列各等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。
题一、解：
x
y
L
P
建立坐标系并写出弯矩方程
A
B
M (x)P (Lx)
x
写出挠曲线微分方程并积分
E w IM (x ) P (L x )
第六章 弯曲变形
§6–1 概述 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 用积分法求梁的挠度与转角 §6–4 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–5 梁的刚度校核 §6–6 简单超静定梁的求解方法
§6－１ 概 述
齿轮传动轴的弯曲变形 轧钢机（或压延机）的弯曲变形
一、挠曲线：弯曲变形后，梁轴线变为xy平面内的光滑曲线，该
求得 C22 3P2 a,D26 5P3 a
连续性条件：在 x1a,x20处， 12,w 1w2
求得
C154P2a,D123P3a
写出AB段的转角方程和挠曲线方程
EI1
P 2x12
5Pa2 4
E1 I w P 6x135 4P2a x12 3P3a
自由端的转角、挠度为
A
1
x10
5 Pa2 4EI
EI 0 x10
EIw 0 x10
C1 0
D1 0
连续性条件
当 x1x2 a时，
1 2
C2
Pa 2 2
w1 w2
D2
Pa 3 6
y
a
P
Ax 1
C
x2
L
x
B
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
w(x1)P 6E1x2I(3ax1)
w(x2)6 PEa 2I(3x2a)
最大挠度及最大转角
maxC CB2PEa2I
EIw Px3PL x2C xD 62
确定积分常数
当 x0 时，
AwA0， wA 0
求得：
C0; D0
y
L
P
B
x
B wB
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
w(x)Px2 (x3L) 6EI
最大转角及最大挠度（绝对值最大）
maxB
PL2 2EI
（
）
wmax wB
PL3 3EI
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d2w dx2
M (x) EI
EI
d2w dx2
M(x)
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
Ed d Iw xEI(x)M (x)dxC
E ( x ) I w M ( x ) d x d x C D x
曲线称为挠曲线， w =f (x) —— 挠曲线方程。
二、梁变形的两个基本位移量
yx
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线
P x
方向的线位移，用w表示。规定：
w
w （＋）， w (－）。
2.转角：横截面绕其中性轴转动的
角度，用 表示。规定： （＋）， (－）。
三、转角与挠度的关系：tgdw小 变形 dw(1
（
）
wAw1x10
3 P3a 2EI
（
）
§6-4 按叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
( P 1 P 2 P n ) 1 ( P 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n )
式中C、D为积分常数，可根据梁的边界条件和连续性条件确定。
2.边界条件和连续性条件
边界条件：挠曲线上某些点的挠度和转角是已知的。
P
P
A
C
B
D
例如，图示简支梁铰支座处截面的挠度为零；
悬臂梁固定端处截面的挠度和转角都等于零。
讨论题：指出下列梁的边界条件。
q
q
A
A
B
B
L
a
l
a
连续性条件: 挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角。 若连续性条件不满足，则挠曲线就不连续(图a)和不光滑(图b)。
（
）
题二、解： 建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) 0 P(ax1)
(0x1a) (ax2L)
写出挠曲线微分方程并积分
y
a
P
Ax 1
C
x2
L
x
B
Ew I 0 P(ax1)
(0x1a) (ax2L)
EIw
P 2
x12
Pa1xC1
C2
EIw P 6x13P2ax12C1x1D1
C2x2D2
确定积分常数 边界条件
AB段 Ew 1 IM 1P1x
Ew I1EI1P 2x12C1
EIwP 6x13C1x1D1
BC段
2Ew 2 IP2x Pa
2Ew 2 I2E2IP 2x22P2 a C x2
2E2 I w P 6x23P 2x a 22C 2x2D 2
确定积分常数
边界条件：当 x2 a 时，2＝ 0， w 20
wma x wB6PE2aI(3La)
(x2)dw d(xx22)
Pa2 2EI
y
a
P
C
Bx
C wB
L
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
P
EI 2EI
解： 建立坐标系并写出弯矩方程
A x1
B x2 C
a
a
AB段 (0x1a)
M1 P1x
BC段 (0x2a)
M 2P (ax2)
写出挠曲线微分方程并积分
Pa 2 4EI
wPC
Pa3 6EI
A
q B
qA
qa 3 3EI
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
wqC
5qa4 24EI
A
P
q B
PA
Pa 2 4EI
Pa3 wPC 6EI
C
a
a
qA
qa 3 3EI
wqC
5qa4 24EI
P
叠加
=
APAqA
A
B
a2 (3P4qa)
12EI
+
q
wCwPCwqC
A
B
(5qa4 Pa3)
w ( P 1 P 2 P n ) w ( P 1 ) w ( P 2 ) w ( P n )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
P
q 例3 按叠加原理求A点转角和C点
A
B
挠度。
C
a
a
解、载荷分解如图
由梁的简单载荷变形表(表 P
6.1)查简单载荷引起的变形。
=
A
B
+
PA
A
C
B
A
C
B
（图a）
（图b）
对上述梁：
边界条件： wA 0, wB 0
连续性条件： wC左wC右,
C左
C右
挠曲线近似微分方程
d2w dx2
M (x) EI
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的边界条件、连续性条件确定。
dx
dx
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程
y
M>0
1M EI
1 M(x)
(x) EI
d2w
o
d2w dx2
0
x
1
dx2
小变形
(x) [1(dw)2]3/2
(1x)dd2xw 2
dx
y
M<0
dd2xw 2
M(x) EI
d2w dx2
0
x
o
dd2xw2 ME(xI)(2)
④优点：使用范围广，可求出挠度和转角的普遍方程； 缺点：计算较繁。
§6–3 用积分法求梁的挠度与转角
例1 求下列各等截面直梁的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。
题一、解：
x
y
L
P
建立坐标系并写出弯矩方程
A
B
M (x)P (Lx)
x
写出挠曲线微分方程并积分
E w IM (x ) P (L x )
第六章 弯曲变形
§6–1 概述 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 用积分法求梁的挠度与转角 §6–4 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–5 梁的刚度校核 §6–6 简单超静定梁的求解方法
§6－１ 概 述
齿轮传动轴的弯曲变形 轧钢机（或压延机）的弯曲变形
一、挠曲线：弯曲变形后，梁轴线变为xy平面内的光滑曲线，该
求得 C22 3P2 a,D26 5P3 a
连续性条件：在 x1a,x20处， 12,w 1w2
求得
C154P2a,D123P3a
写出AB段的转角方程和挠曲线方程
EI1
P 2x12
5Pa2 4
E1 I w P 6x135 4P2a x12 3P3a
自由端的转角、挠度为
A
1
x10
5 Pa2 4EI
EI 0 x10
EIw 0 x10
C1 0
D1 0
连续性条件
当 x1x2 a时，
1 2
C2
Pa 2 2
w1 w2
D2
Pa 3 6
y
a
P
Ax 1
C
x2
L
x
B
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
w(x1)P 6E1x2I(3ax1)
w(x2)6 PEa 2I(3x2a)
最大挠度及最大转角
maxC CB2PEa2I