正弦函数余弦函数的性质 优秀课件

课堂练习：
P36 练习1
练习2：求下列函数的周期
(1)y sin 3 x, x R 4
T 2 2 4 8
3
33
4
(2)y cos4x, x R
(3)y 1 cosx, x R 2
(4)y sin(1 x ), x R
34
T 2
42
T 2 2
1
T 2 2 3 6
(3) Q 2sin(1 x ) 2sin(1 x 2 )
26
26
2
sin
1 2
(
x
4
)
6
,
y 2sin(1 x )
26
是以４π为周期的周期函数．
函数
周期
2
y 3cosx
T 2
1
y sin 2x
T
2
2
y 2sin(1 x )
26
T 4
2
1
y 2sin( 1 x )
T 4
2
2
26
1
2
函数 y Asin(x ), x R及函数 y Acos(x ), x R 的周期
两 y Asin(x ), x R
个
函 y Acos(x ), x R
数
T 2
（其中 A,, 为常数且A≠0)
的周期仅与自变量的系数有关，那么如何 用自变量的系数来表述上述函数的周期？
R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π
偶函数
在x∈[2kπ-π， 2kπ ]
上都是增函数 ,
在x∈[2kπ ， 2kπ+π ]
上都是减函数 。
(kπ+
π
2
,0)
x = kπ
在生活中的周期性现象!
思考1：今天是2012年3月21日，星期三，那 么7天后是星期几？30天后呢？为什么？
解： Q f x Asin x
Asinx 2
Asin x 2
Asin
x
2
f
x
2
T 2
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归纳总结
一般地，函数y Asin(x ), x R及函 数y A cos(x ), x R(其中A,,为常 数,且A 0, 0)的周期为: T 2 .
不能说T是y f ( x)的周期.
例如
:
sin( 4
2
)
sin
4
,但是
sin(
3
2
)
sin
3
.
就是说 不能对x在定义域内的每一个值使
2
sin( x ) sin x,因此 不是y sin x的周期.
2
2
求下列函数的周期：
(1) y 3cosx, x R (2) y sin 2x, x R
的正数就叫做f(x)的最小正周期。
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果 不加特别说明，一般都是指的最小正周期。
正弦函数 y sin x(x R)
y
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
x 结合图像：在定义域内任取一个 ，
由诱导公式可知： sin(x 2k ) sin x
即 f (x 2k ) f (x)
1 3
正弦函数、余弦函数的性质
探究
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
正弦函数y1的图象
3 2
2
5 3
2
x
1
3 5
2
2 3
2
O
余弦2 函数1 的图2象
3 2
2
5 3
2
x
问题：它们的定义域和值域分别为什么 ？
正弦函数、余弦函数的性质
探究
y
1
3 5
正弦函数余弦函数性质（一）
要点回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象
1)图象作法--- 几何法 五点法
2)正弦曲线、余弦曲线
y
正弦曲
-4 -3
-2
1 ( 2 ,1)
(0,0)
( ,0)
( 2 ,0)
- o
2
3
4
-1
3
( 2 ,-1)
线 5 6 x
y 余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
(3) y 2sin(1 x ), x R
26
解:(1) ∵对任意实数 x有
f (x) 3sin x 3sin(x 2 ) f (x 2 )
cos x 是以2π为周期的周期函数.
(2) Q sin(2x) sin(2x 2 )
sin2(x ),
y sin 2x是以π为周期的周期函数.
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
对称中心（k ,0)
对称轴：x k
2
余弦函数的对称性
y
1
x
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
对称中心（k ,0)
2
对称轴：x k
小结
函 数 y= sinx (k∈z)
y= cosx (k∈z)
因为 30=2+7x4 所以30天后与2天后相同， 故30天后是星期五
概
念
1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零 的常数T，使得当x取定义域内的每一个值
时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做
周期函数
非零常数T叫做这个函数的周期
2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小
性质
定义域
R
值域 最值及相应的 x
的集合
周期性 奇偶性
单调性
[-1,1]
x= 2kπ+
π
2
时
ymax=1
x=2kπ-
π
2
时 ymin=-1
周期为T=2π
奇函数
在上都x∈是[2增kπ函- 数π2, 2kπ+
π
2]
在x∈[2kπ+ π2,2kπ+
上都是减函数.
3]π2
对称中心 对称轴
(kπ,0)
π
x = kπ+ 2
☺正弦函数y sin x(x R)是周期函数，周期是2k
思考3：余弦函数是不是周期函数？如 果是，周期是多少？
由诱导公式可知： cos(x 2k ) cosx
即 f (x 2k ) f (x)
性质1：正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx 都是周期函数，且它们的周期为2k (k z, k 0) 最小正周期是 2
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦函数、余弦函数的性质
探究
1
3 5
2
2 3
2
O
2
2
正弦函数1的图象
3 2
2
5 3
2
x
1
3 5
2
2 3
2
O
余弦2 函数1 的图2象
3 2
2
5 3
2
x
问题：它们的图象有何对称性？
正弦函数、余弦函数的性质（四）～对称性
正弦函数的对称性
y
三角函数的周期性: y
y=sinx(x∈R)
x
-2
0X
2 X+2π
4
自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
y
o
4π
x 8π
y
x
o
6π
12π
3.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数)
注意:
1.定义是对定义域中的每一个x值来说的,
只有个别的x值满足:f ( x T ) f ( x)