2020届河北省衡水中学2017级高三衡水金卷(密卷二)数学(理)参考答案

则
n1 A1C1 n1 EA1

0, 0
即

3x 0,

3 4
x3 4
y

z
0,
取 z 3 ，则 n1
所以 cos n1, n2
(0,n41,3n)2. | n1 || n2 |

又因为 n2 (0,1, 0) 为平面 A1C1C 的一个法向量，
.
设 O 到 l 的距离为 d,则 d= k k , （9 分） 1 k2 1 k2
∴S△ABO= 1 2
k 4 1 k2
3

1 k2 2 3k
2
=2
3
k 2 (1 k 2 ) 2 6 (2 3k 2)2 5
,解得 k=±1.
（11 分）
（8 分）
26
综上所述,当△ABO 面积为 时,l 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. (12 分)

由 x2 3

y2 2
1
⇒(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,
6k 2
3k2 6
得 x1+x2= 2 3k 2 , x1·x2= 2 3k 2 ,
（7 分）
∴|AB|=
1+k 2
( 2
6k 2 3k 2
)2
4

3k 2 wenku.baidu.com6 2 3k 2
=4
3
1+k 2 2 3k 2
3
3
解得 k ， k Z ，而 0 ，所以 .
26
2
3
(6 分)
（2）由（1）知，
f
(x)

2 sin(
x
)，
令
f
(x)

3，
33

得
x
2k


或
x
2k

2
，kZ
，
33
33 3
3
所以 x 6k 或 x 6k 1 ，
4
3
0，
∵弦
AB
的中点为
M，∴

x1 y1

x2 y2

2x0 , 2y0 ,
（4 分）
代入上式化简得： (x1 x2 )x0
( y1 y2 ) y0
，即有
y1 y2

y0
=
3
，
4
3
x1 x2 x0
4
又∵ kAB

y1 y2 x1 x2
, kOM

所以 A1O // CC1 ，且 A1O CC1 . 所以 A1O 底面 ABCD .
以 O 为原点， OA, OB, OA1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，
则 A（ 3 ，0，0），A1（0,0,2），C1（- 3 ，0,2），B（0,1,0）.
由
A1B1

1 2
AB
得
B1（-
31
，
22
，2），因为 E 是棱 BB1 的中点，
所以 E（- 3 ， 3 ，1）.
（8 分）
44
所以 EA1
(
3 , 3 ,1) 44
， A1C1 (
3, 0, 0) .
设 n1 (x, y, z) 为平面 EA1C1 的法向量，
解得 a= 41 ，或﹣ 41 （舍去），
∴△ABC 的周长=a+b+c= 41 +8+ 41 =8+2 41 ．
（12 分）
22.解：（1）依题意得：圆心（0，0）到直线 x+y+4 2 =0 的距离 d=r，
4
∴d=r=
2 =4 ，
1+1
∴圆 C 的方程为 x2+y2=16. ① （5 分）
（2）连接 OA，OB，
c
∴可得 sin2A+cos2A= 25 16 =1， c2 c2
=2R，可得 asinC=csinA，
∴解得 c= 41 ．
（6 分）
1
（2）∵△ABC 的面积 S= absinC=20，asinC=5．解得 b=8，
2
∴由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bccosA=64+41﹣2× 41 ×8× 4 =41， 41
又 AC CC1 C ，所以 BD 平面 ACC1 .
（3 分）
又由四棱台 ABCD A1B1C1D1 知， A1, A, C, C1 四点共面.
所以 BD AA1 .
（5 分）
（2）如图，设 AC 交 BD 于点 O ，依题意， A1C1 // OC 且 A1C1 OC ，
（6 分）
(2)因为点 P 为曲线 C 上的任一点,所以可设点 P( 5 cos, 2 sin ) ,
所以 PM 2 ( 5 cos 0)2 (2sin 2)2 cos2 8sin 8
（8 分）
sin2 8sin 9 = (sin 4)2 25 ,
5
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所以当 sin 1时, PM 2 16 , max
故 PM 2 的最大值为 16．
（12 分）
24．解：（1）因为 CC1 底面 ABCD ，所以 CC1 BD . 因为底面 ABCD 是菱形，所以 BD AC .
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15. 1 16.70 17. (, 3] [ 3 , ) 18. 3
7
24
3
三、解答题
19.解：设 A（ x1, y1 ），B（ x2 , y2 ），M（ x0 , y0 ），
则

x12 4 x22
4

y12 3 y22 3
1, 1,
两式相减得 (x1 x2 )(x1 x2 ) + ( y1 y2 )( y1 y2 )
(2)①当直线 l 斜率不存在时,l 方程为 x=1,此时 l 与 C 的交点分别为 A(1, 2 3 ),B(1,- 2 3 ),
3
3
43
即有|AB|= ,
3
1
4
则 S△ABO= ×1×
32
=
32
6
；
2
33
5
（6 分）
②当直线 l 斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1),
y k (x 1),
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2018—2019 学年度下学期高三二轮专题复习第二次调研考试
高三理数参考答案及解析
一、选择题 1.A 2.C 3.C 4.D 5.B 6.C 7.A 8.A 9.D 10.C 11.C 12.B 13.B 14.C 二、填空题
,
54
（1 分）
由

sin(
2

6
)

3 2 ,
（3 分）
所以直线 l1,l2 的交点 M 的极坐标为 M (2, 2 ) ,直角坐标为 M (0, 2) .
将点 M (0, 2) 代入方程 x2 y2 1可知 0 22 =1 ,
54
54
即点 M (0, 2) 在曲线 C 上．
∵PA，PB 是圆 C 的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴A，B 在以 OP 为直径的圆上，
（6 分）
设点 P 的坐标为（8，b），b∈R，
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b
则线段 OP 的中点坐标为(4, )，
2
∴以 OP 为直径的圆的方程为(x-4)2+(y- b )2=16+( b )2,b∈R，
2
2
化简得 x2+y2﹣8x﹣by=0 ,b∈R. ②
∵AB 为两圆的公共弦，
∴①﹣②得：直线 AB 的方程为 8x+by=16，b∈R，
即 8（x﹣2）+by=0，
（11 分）
则直线 AB 恒过定点（2，0）．
（12 分）
23．解:(1)由曲线
C
的参数方程为

x
y

2
5 cos sin
,
（

为参数），
x2
可知其普通方程为

y2
1
(8 分)
由图可知 ， C(1, 3) . 所以 BC (1, 3) ，所以| CB | 2 .
(10 分)
21.解：（1）∵由正弦定理可得 a b c sin A sin B sin C
5
∵asinC=5，可得 csinA=5，即得：sinA= ，
c
4
由 ccosA=4，可得 cosA= ，
4 5
，又由图可知，二面角
E

A1C1

C
为锐二面角，
所以二面角
E

A1C1

C
的余弦值为
4 5
.
（12 分）
25.解:(1)设 M(x,y),由题意可得 (x 1)2 y2 1 ,
x3
3
整理得 x2 y2 1,则曲线 C 的方程为 x2 y2 1.
32
32
(4 分)
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y0 x0
，∴
k AB

kOM
=

3 4
（定值）.
（8 分）
20.解:（1）由已知 f (0) 2 sin 3 ，
又| | ，所以 ，所以 f (x) 2 sin(x ) .
2
3
3
(3 分)
由 f (2) 0 ，即 2sin(2 ) 0 ，所以 2 k ， k Z ，