基本不等式与最大(小)值最新版

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[规范解答] (1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元，则 y＝50n－98－12×n＋nn2－1×4(2 分) ＝－2n2＋40n－98 ＝－2(n－10)2＋102(4 分) ∴当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元(6 分)
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题型一 利用基本不等式求函数的最大值
【例1】 已知 x∈0，23，求函数 y＝x(2－3x)的最大值． [思路探索] 我们发现x＋2－3x不是定值，用基本不等式 求最值时要求有定值，“积定和小，和定积大”，所以要凑 x的系数使和x＋2－3x为定值．
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【训练1】 已知 0＜x＜13，求函数 y＝x(1－3x)的最大值． 解 ∵0＜x＜13.∴1－3x＞0.
∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112.
当且仅当 x＝16时，函数 y＝x(1－3x)取得最大值112.
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(1)若 x＋y＝S(和为定值)，则当_x_＝___y_时，积 xy 取_最__大__值__14_S_2. (2)若 xy＝p(积为定值)，则当_x_＝__y__时，和 x＋y 取得_最__小__值___ 2___p_.
上述命题可归纳为口诀：和定积最大，积定和最小．
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2．二元均值不等式具有将“_和__式__”转化为“_积__式__”和将“积式” 转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证 明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特 点，选择好利用均值不等式的切入点．
3．基本不等式的实际应用问题 解不等式实际应用题的解题思路
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想一想：两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？
提示 不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．基
本不等式中说，“当且仅当 a＝b 时取等号”是说 a＝b 时“≥”
中的“等号”成立，但有时“a”和“b”不一定能相等．如 sin x 与
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题型二 利用基本不等式求最小值
【例2】 已知 x＞54，求函数 y＝4x－2＋4x1－5的最小值． [思路探索] 要求目标函数的最值，可考虑利用基本不等 式，这就需要通过合理配凑，创造利用基本不等式的条件．
解 ∵x＞54，∴4x－5＞0，∴y＝4x－5＋4x1－5＋3.
∵4x－5＋4x1－5≥2 4x－5·4x1－5＝2.
4 sin
x，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积为定值．但是由
0＜sin
x≤1，
知 sin x≠2，所以 sin x＋sin4 x＞2
sin
4 x·sin
x＝4
等号不成立，
取不到最小值．
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名师点睛
1．利用基本不等式求最值的要求 必须满足三个条件： ①各项均ຫໍສະໝຸດ Baidu正数； ②含变数的各项的和(或积)必须是定值； ③当含变数的各项均相等时取得最值，即一正、二定、三相 等．
3.2 基本不等式与最大(小)值
【课标要求】 1．理解并掌握基本不等式及变形应用． 2．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．
【核心扫描】 1．利用基本不等式求最值．(重点) 2．利用基本不等式求最值时变形转化．(难点) 3．要注意和函数单调性的结合应用．
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自学导引
1．已知 x，y 都是正数
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题型三 利用基本不等式解应用题
【例3】 (本题满分12分)某渔业公司今年年初用98万元购进一 艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年 起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该 船每年捕捞总收入50万元． (1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 审题指导 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的 量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大 值或最小值问题；
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【训练2】 求函数 y＝x－x2 1(x＞1)的最小值．
解 ∵x＞1，∴x－1＞0. ∴y＝x2－x－1＋1 1＝x＋1＋x－1 1＝x－1＋x－1 1＋2≥ 2 x－1·x－1 1＋2＝4，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时， 等号成立．故当 x＝2 时，函数 y＝x－x2 1(x＞1)取最小值 4.
2．利用基本不等式解应用题的注意事项 (1)根据题意，把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成 数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关 系，以便确立下一步的解题方向．
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(2)根据(1)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结 论有关的不等关系，得到有关理论参数的值，再结合题目 要求得出实际问题的结论． 3．多次使用基本不等式的问题 运用基本不等式时，“正、定、等”缺一不可，但有些题中 由于连续使用基本不等式或者限定了某些量的取值范围， 而导致等号成立的条件不具备，不能直接运用基本不等 式，这时应进一步转化，使其转化成能用不等式求解或用 其他方法求解．
当且仅当 4x－5＝4x1－5，即 x＝32时，等号成立，
∴y≥2＋3＝5.
故当 x＝32时，函数 y＝4x－2＋4x1－5取最小值 5.
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规律方法 对于能拆分为形如 y＝ax＋bx＋c 的函数，只要满 足“一正，二定，三相等”的条件，就可以利用基本不等式求 其最值或值域，在拆分时可适当换元，拆分后若两项为负， 可提取负号，创造变量为正数的条件，再求之．
解 ∵x∈0，23，∴2－3x＞0.∴y＝x(2－3x)＝13·3x·(2－3x)≤ 133x＋22－3x2＝13，
当且仅当 3x＝2－3x，即 x＝13时，等号成立．
∴当 x＝13时，函数 y＝x(2－3x)有最大值13 .
规律方法 求两数积的最值时，一般需要知道这两数的和 为定值，当条件不满足时，往往利用题目中的已知条件将 两数进行适当的拆项和添项，通过变形使转化后的两数和 为定值，再利用基本不等式求最值，变形后仍要求满足“ 一正二定三相等”．