信道编码-有限域和多项式

五、有限域GF(q)的乘法结构
1. 定理 6 ：Fq上的n级元素 生成的n阶循环群G()是方程
xn -1 = 0的全部根。
证明：
1) 设 ´ G() 的级为h,由定理4，´可生成一个阶为h的 循环子群，而子群的阶必为G()的阶n的因子，所以h|n, ´n = ( ´ h)n/h=1
找到次数为n的素多项式，由其倍式组成一个理 想，求其商群，共有qn个元素，构成一个qn有限 域GF(qn) 。
四、循环群
1. 定义
循环群: 由某个元素的所有整数幂组成的群 { 0, 1, 2, 3 , …. }, 成为生成 元。 为研究有限域服务
可以是乘法幂和加法幂，即对环和域，其子集 对两种运算都可构成循环群 元素a的级：满足an=e 的最小正整数n, 若n N: a n e, 则称a的级为无限大。
d d |n
Q(d)(x)为分圆多项式， m ( d / m) (d) ( x 1 ) Q (x) = =
m m|d
d /m ( m) ( x 1 ) m m|d
为Mobius函数， (m)= 0, m有平方因子 =(-1)k, m 不含平方因子, 且可分 解为k个因子的积 = 1 , m =1
二、多项式剩余类环
性质 整数环 多项式环 主理 m为生成元（m的一 以f(x)为生成元:f(x)的一切倍式 想I 切倍数的集合） 组成的集合If(x)组成一个理想 （引理4.2.1) 例 I(x +1)
2
剩余 以模m的剩余类为 类环 元素,记为Zm或 Z/(m) 主理 是主理想环 想环
以f(x)对If(x) 的陪集为元素,记为 Fq[x]/f(x) （定理4.2.8)
二、多项式剩余类环
定理2：集合G与G 同构 （G为群(环、 域) G为群(环、域) ） 首一多项式： fn =1，最高次数为1，
f(x)1。
Fq[x]: 表示系数属于Fq的所有多项式的集 合
2. 多项式环
整数是一个环，多项式与整数类似。 定理3：Fq[x]构成一个环 零元：f(x)=0
i i 0
14
来自百度文库
(x )
i i 0
14
[(x-)(x-2)(x-4)(x-7)(x-8)(x-11)(x-13)(x-14)] =Q(1)(x) Q(3)(x) Q(5)(x) Q(15)(x)
五、有限域GF(q)的乘法结构
分园多项式 xn-1= ( x )
一、剩余类环
4. 剩余类环 定理1 (定理4.1.2)：设I 为可换环R的一个理 想，则R/I构成一个可换环，称为模I的剩余类 环。 例: Mod5的剩余类环 I {0}: 0 5 -5 10 -10 …. 1+I {1}: 1 6 -4 11 -9 …. 2+I {2}: 2 7 -3 12 -8 …. 3+I {3}: 3 8 -2 13 -7 …. 4+I {4}: 4 9 -1 14 -6 …. { {0},{1}, {2}, {3}, {4} }对模5+和模5*构成可换环
n 1 i 0 i
为n级元素, 则i为n/(n,i)级元素, 把同级的分为一类,得k 类, 即n1=n/(n,i1), nd=n/(n,id),…, nk=n/(n,ik)
xn 1
k
s 1 为GF ( q )中 的ns级元素

（x ) Q ( d ) ( x)
d d |n
二、多项式剩余类环
1. 多项式
Fq上的多项式：
f(x)= fnxn +fn-1xn-1+…+f2x2 +f1x +f0 fi Fq i=0,1,2,…,n 次数n记为：f(x), f, degf(x), degf
Why多项式？ 矢量 a = (1,0,1,1,0,1) （位置） 多项式f(x)= x5 +x3+x2 +1 （次数）
是主理想环 （定理4.2.10)
有限 m为素数 Zm是一 f(x)为既约多项式 Fq[x]/f(x) 域 个域 是一个域 （定理4.2.9)
三、基于多项式的有限域
1. 基于整数的有限域 由素数p的同余类构成一个域，阶为p 2. 基于多项式的有限域
定理3*：f(x)是Fq上素多项式 Fq[x]/f(x)是一个域。 基于多项式的有限域的生成办法：
单位原根: n 阶循环群的n级元素。
四、循环群
无限循环群：成为生成元， n m (nm) 有限循环群：h,kZ,且hk: h=k
设h>k,n=h-k, n= h-k =h-k = k-k= e 一定是 { 0 =e,, 2, ……, n-1} 例: Z/(8) 2.定理4 (定理4.3.1)：可换群G的任一n 级元素a 皆可生成一个n 阶循环子群 。
2.
3.
五、有限域GF(q)的乘法结构
例 GF(2)上的多项式
– 1= ( x i ) i 0 2 3 GF(16)-{0}={1 , , , , …, 14} 每个元素的级是15的因子，15的因子有1、3、5、15， 所以GF(16)非0元素的级为1、3、5、15，其中i的级为 15/（15,i)，所以 1, , 2, 3, 4,5, 6,7, 8, 9,10, 11,12,13,14
二、多项式剩余类环
性质 整数环 多项式环 约数 最大公约数 最高公因式(定义4.2.3)(是首一多项式） (a,b),GCD(a,b) （f(x),g(x)), GCD(f(x),g(x)) 倍数 最小公倍数 最低公倍式(定义4.2.4)(是首一多项式） [a,b],LCM(a,b) [f(x),g(x)], LCM(f(x),g(x)) 欧几 a=qb+r 里德 (a,b)=(b,r) 算法 (a,b)=Aa+Bb A,B为正整数 f(x) =q(x)g(x)+r(x) (f(x),g(x))=(g(x),r(x))
x15
14
级:1,15,15, 5, 15, 3, 5, 15, 15, 5, 3, 15, 5, 15,15
级数为 1: 1,
3: 5 , 10 5: 3 ,6 ,9 ,12, 15: ,2 ,4 ,7, 8, 11, 13, 14
把同级的一次因式相乘得
( x ) =(x-1)[(x-5)(x-10 )][(x-3)(x-6)(x-9)(x-12)]
定义了两种运算+和* R对+构成阿贝尔群 *满足封闭性、结合律 *对+满足分配律 *不一定有恒等元1，R的元素不一定有逆元
2. 非空子集S是环（R，+，*）的子环的充要条件:
1) a,b S:a-b S ; S是群（R，+)的子群 2) a,b S:ab S S对*满足封闭性
一、剩余类环
(例f(x)= x9+x8+x7+x2+x+1,g(x)=x4+x3+x+1)
(f(x),g(x))=A(x)f(x)+B(x)g(x) 0 A(x)< g(x)- (f(x),g(x)) 0 B(x)< f(x)- (f(x),g(x))
[a,b]=ab/(a,b) [f(x),g(x)]=f(x)g(x)/(f(x),g(x))
4. 定理 5 (推论 4.3.3)：n 阶循环群中必有(n) 个单位原根。 (n) = | {a| 0 a n-1且 （a, n ）=1}| (欧拉函数，小于n且与n互素的自然数的个数)
四、循环群
5.由已知循环群寻找其全部子群 （定理4.3.2)
G(a)为由a生成的n阶有限循环群，H为G(a)的子群 1) H为有限阶循环群，或者是{e},或者是由am 生成的q 阶循环群： { e，am ，a2m，… ， an-m } （其中q|n, m= n/q） 2) 若m|n,则G中必有唯一的n/m阶循环子群，生成元是am
第四章 多项式与有限域
学习本章目的：对Xn-1进行因式分解(n=qm-1,q为素数) X15-1=(x+1)(x 4 + x 3+1)(x4+x3+x2 +x +1)(x2 +x +1)(x4+x +1) Xn-1? 循环：只有最高位和最低位
一、剩余类环
1. 环，子环、扩环
回顾环（R，+，*）的定义
五、有限域GF(q)的乘法结构
有限域GF(q)非零元素全体对乘法构成阿 贝尔群，由定理4，任一非零元素可生 成一个有限循环子群，其阶称为的级， 即使n=1的最小正整数n, 称为GF(q)的 n次单位原根，若n=q-1,则称为GF(q){0}的生成元，称为本原域元素。
循环群的单位原根：n级元素称为n次单位原 根。 本原域元素 (本原元): q-1级元素
二、多项式剩余类环
性质 零元素 整数环 0 多项式环 f(x)=0
恒等元 不可分 解的元
分解的 唯一性
1 素数
f(x)=1 既约多项式（除提取常数，不能 进行因式分解，定义4.4.2） 素多项式=首一 + 既约多项式
a=p1r1p2r2… f(x)=p1(x)r1p2 (x) r2… (素数幂的积） 每一个首一多项式可唯一分解为 素多项式的幂的积(定理4.2.3) 欧几里 若a>b,则a可唯 若f(x) > g(x),则: 德除法 一表示为: f(x) =q(x)g(x)+r(x) a=qb+r,0 r b 0 r(x) g(x) (定理4.2.2)
以d级元素为根的所有一次因式的积叫 分园多项式 (定义4.4.3) 分园多项式是GF(2)上的多项式, 并且可以通过后面介绍 的方法求得,亦即xn-1至少可分解为分园多项式的积
五、有限域GF(q)的乘法结构
定理7* (定理4.4.5, p120): (求分园多项式) xn –1 = Q ( d ) ( x )
2) 方程xn-1 = 0的根不多于n个，而G()中，n个元素都是
它的根，所以全部根落在G()中。
推论1：若Fq含有n次单位原根
，则xn
–1可分解为
( x )。
i i 0
n 1
五、有限域GF(q)的乘法结构
2. 定理 7：Fq 必有本原域元素存在，所以Fq – {0}是 一个 q-1阶乘法循环群。所以 Fq – {0}={, 2,… , q-2, q-1 =e} 这称为有限域的幂表示法。 推论2 (定理4.4.1)：方程xq-1 – 1 = 0的全部根构成 Fq – {0}. q 2 (x i ) Fq为xq – x = 0的全部根，即xq – x=x i 0 Fq称为xq – x的最小分裂域 推论3 (费马Ferma定理, 定理4.5.5)： Fq: q = .
为了借用多项式的运算来定义矢量的运算 多项式的除法 例：(x9+x8 +x7 +x2+x +1）/（x4+ x3 + x +1）
n次多项式域（群、环）与n维矢量域（群、环）在 下列映射下同构：
f(x)= fnxn +fn-1xn-1+…+f2x2 +f1x +f0 （ fnfn-1…f2f1f0）
循环群是可换群，所以由其中元素i皆能生成一个 循环群，其阶数为i的级数。 这个循环群可以是它本身，或是它的子群。
四、循环群
3. 循环群G 的性质： 1) G 必为阿贝尔群；
2) 3) 4) 5)
a为n 级元素，则 ak 的级为n /(k,n); a为n 级元素，则am = e n| m ; n 阶循环群中每个元素的级数m满足m|n. n 级元素a与m 级元素 b 满足 (n, m) =1, 则 ab 为nm 级元素;
3. 理想
定义: 交换环R中的非空子集I称为R中的理想，若：
1) a, b I: a-b I; 2) a I, r R: ar =ra I;
1)+2) 理想是个子环， 2) I 中任一元素a的倍数在I中，即I由R的一些元素 （可以是多个）的倍数组成。 主理想：由一个元素的的所有倍数组成的理想.这 个元素叫生成元. 主理想环:每一个理想都是主理想
六、有限域GF(q)的加法结构
1. 基本概念
1) 周期:模拟乘法的级 a+a +a +…+a +a =n`a =0