矩阵分析PPT课件
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(AB)T=BTAT; (AB)*=B*A*; (AB)-1=B-1A-1.
例2引出的一些结论
• 在R2中至少可定义两个不同的内积.
• 欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的, 同一实线性空间连同不同内积会定义不同的欧 氏空间.因此,用标准内积和例2的内积对R2能 定义出两个不同的欧氏空间.
• 这两个不同内积的确定义了两个不同欧氏空间. 例如,同一向量a=(1,0)T在标准内积下的长度 是(a,a)1/2=1;而在例2的内积下的长度是:
数学的重要性
① 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归 根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质 教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能 等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要 地位。
② 当今社会正日益数学化，数学是高科技的基 础。
数学在素质教育中的重要地位
• 数学授人以能力,数学训练能使人变聪明.
tr(k1A+k2B)=i (k1aii+k2bA+k2trB
欧氏空间例3 (例3.1.3 p.113)
A,BRmn={A=(aij)|aijR,i=1,…m,j=1,…,n}. 定义内积:(A,B)=tr(ATB)=ijaijbij.
1阶方阵
(k,)=TG(k)=kTG=k(,), (+,)=TG(+)=TG+TG=(,)+(,),
TG(b1
2 b2)1
1a1 1a2
(b1
b2)2aa11aa22
2 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
(a,a)1/2=(2+0+0+0)1/2=21/2,
二者不相同.
方阵A=(aij)Cnn,A的迹定义为其所有对角元 之和:
tr(A)=a11+…+ann. 易证,迹运算有下列线性运算性质: A,BCnn,k1,k2C,tr(k1A+k2B)=k1trA+k2 trB;
tr(AT)=trA.
线性空间Rmn的一组基是:{EijRmn|i=1,…m;j=1,…n} EijRmn的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0.
线性空间例3
* 闭区间[a,b]上所有实连续函数集 C[a,b]={f(x)|f(x)是[a,b]上实连续函数}.
f,gC[a,b],kR,(f+g)(x)=f(x)+g(x), (kf)(x)=kf(x).
欧氏空间(定义3.1.1)page112
n维实线性空间V称为n维欧氏空间,如果存在映 射(称为内积):
( ,):VVR
满足下列4条公理: ,,V,kR
① (,)=(,)
(,)R
② (k,)=k(,)
③ (+,)=(,)+(,)
④ (,)0 & (,)=0 =0
n维复线性空间V称为n维酉空间,如果存在映射 (称为内积): ( ,):VVC
满足下列4条公理: ,,V,kC ① (,)= ( , )共轭 ② (k,)=k(,)
③ (+,)=(,)+(,)
④ (,)0 & (,)=0 =0 注 当V为欧氏空间时,任2向量的内积为实数,其 共轭数等于它自己,故在此情况下酉空间的4条 公理也成立.因此,欧氏空间是酉空间的特例.为简
• 数学在工程技术以及国民生产中发挥愈来愈重 要的作用甚至是决定性的作用。
线性空间的公理化定义
非空集合V称为数域F上的线性空间,如果V上 定义了加法和数乘运算:(page 3)
,V,+V; kF,V,k=kV 并满足下列公理:对于,,V,k,hF成立 ①(交换) +=+ ②(结合) +(+)=(+)+ ③ 存在0元0V满足: +0= ④ V存在负元-V满足: +(-)=0 ⑤ F乘法单位元1F满足:V,1= ⑥ k(h)=(kh) ⑦ (k+h)=k+h ⑧ k(+)=k+k
10 01 00 00 E 1 1 00 ;E 1 2 00 ;E 2 1 10 ;E 2 2 01
A a a 1 2 1 1a a 1 2 2 2 a 1 1 1 0 0 0 a 1 2 0 0 1 0 a 2 1 1 0 0 0 a 2 2 0 0 1 0 a 1 1 E 1 1 a 1 2 E 1 2 a 2 1 E 2 1 a 2 2 E 2 2
并满足下列公式: ,,R2,kR
① (,)=(,)
② (k,)=k(,)
③ (+,)=(,)+(,)
④ (,)0 & (,)=0 =0
=(a1,a2)T, =(b1,b2)T,=(c1,c2)TR2 (,)=a1b1+a2b2
A12
A1n
A22
A2n
An2
Ann
Aij为A划去i行j列 的代数余子式
复矩阵(向量)一元运算的性质
k1A 1 k2A 2k1 ;A 1 k2A 2 (k 1 A 1 ; k 2 A 2 )T k 1 A 1 T k 2 A 2 T
(k 1 A 1 k 2 A 2 )* ;k 1 A 1 * k 2 ;A 2 * ABAB
n2维实线性空间 Rnn={A=(aij)|aijR,1i,jn}; n2维复线性空间 Cnn={A=(aij)|aijC,1i,jn}; (其中,R,C分别为实数,复数的集合.)
mn 维实线性空间
Rmn={A=(aij)|aijR,i=1,…n,j=1,…,m}.
线性空间R22的一组基是:E11,E12,E21,E22 EijR22的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0.
矩阵（向量)乘积的运算性质
• 设 ABC…VW是矩阵(向量)乘积,则 (ABC…VW)T=WTVT…CTBTAT.
• 设 AB是矩阵(向量)乘积,k是数,则 (kA)B=k(AB)=A(kB).
• 设 ABC是矩阵(向量),则 A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA
欧氏空间例2(例3.1.2 p.113)
注 此处采取现代数学常用的公理化方法对内积与 欧氏空间进行定义.
欧氏空间例1(例3.1.1 page113)
,Rn,=(a1,…,an)T,=(b1,…,bn)T,定义标 准 内积:(,)=a1b1+…+anbn
则可证 Rn为n维欧氏空间.事实上4条内积公理全 部满足.
把内积表示为(,)=T.则由向量的运算性质得 (,)=T=(T)T=T=(,).(T为1阶方阵) (k,)=T(k)=kT=k(,). (+,)=T(+)=T+T=(,)+(,). (,)=a12+…+an20 & (,)=0 =0.
线性空间例1
* 2维实向量集 R2={x=(x1,x2)T|x1,x2R}. x,yR2,kR,x+y=(x1+y1,x2+y2)T,kx=(kx1,k
x2)T (在解析几何中已知R2满足8条公理,故它是2维实
线性空间.它的一组基是:(1,0)T,(0,1)T.)
* 将R2推广如下:
n维实线性空间 Rn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnR}; n维复线性空间 Cn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnC}. (其中,R,C分别为实数,复数的集合.)运算是
B,C);
n
AB aikbkj
k1
ATB n akibkj 的(i,i)元是
k1
n
a ki bki
k 1
nn
nn
t(rA TB ) akb iki aib jij
i 1k 1
i 1j 1
酉空间(定义3.1.2,p.114)
则Rmn是mn维欧氏空间.(n=1时为向量标准内积)
证:易见:求方阵的迹的运算是线性运算: A,BRmm,k1,k2R,tr(k1A+k2B)=k1trA+k2
trB. 此外，tr(AT)=trA.于是 (B,A)=tr(BTA)=tr((BTA)T)=tr(ATB)=(A,B); (kA,B)=tr((kA)TB)=ktr(ATB)=k(A,B); (A+B,C)=tr((A+B)TC)=tr(ATC+BTC)=(A,C)+(
,R2,定义内积(R2R2到R的映射):
(,)=2a1b1+a1b2+a2b1+a2b2 则可证 R2为2维欧氏空间.事实上4条内积公理全
部满足.
21
把内积表示为 (,)=TG,G= 1 (=1 GT) 则
(,)=TG=(TG)T=TGT(T)T=TG=(, ),
• 社会进步依赖于科学的创新而数学对于科学的 发展则具有根本的意义。在今天，数学已成为 高科技的基础，并且在一定意义上，可以说是 现代文明的标志。(2002年北京国际数学家大会 欢迎词摘录)
• 各行各业日益依赖于数学，可以说，当今社会 正日益数学化。数学正在向一切领域渗透，数 学正在不断与别的学科结合产生活跃的新兴学 科。高科技本质上是一种数学技术。
不难证明C[a,b]满足线性空间的8条公理,故它是 无限维实线性空间,因为它包含下列线性无关 的无穷序列:1,x,x2,x3,…
第3章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵
从解析几何知二平面向量
=(a1,a2)T,=(b1,b2)TR2 的内积定义为:
(,)=‖‖‖‖cos = a1b1+a2b2
线性空间例2
* 2阶实方阵集 R22={A=(aij)|aijR,1i,j2}. A,BR22,kR,A+B=(aij+bij),kA=(kaij). (不难证明R22满足线性空间的8条公理,故它是
22=4维实线性空间,一组基是E11,E12,E21,E22) * 将 R22 推广如下:
并满足下列公式: ,,R2,kR ① (,)=(,) a1b1+a2b2=b1a1+b2a2 ② (k,)=k(,) =k(a1b1+a2b2) ③ (+,)=(,)+(,)
(a1+b1)c1+(a2+b2)c2=(a1c1+a2c2)+(b1c1+ b2c2) ④ (,)0 & (,)=0 =0 =a12+a220
矩阵分析
前言
1. 开设《矩阵分析》的必要性 数学的重要性 理工科研究生数学能力培养的重要性 矩阵分析在信息,计算等领域的特殊重要性
2. 关于教材与教学内容 讲授3,4,5,6,8章;重点是3,8章
3. 关于教学方面 以提高数学思维与分析能力为主,而不以考试过 关为目的 在理解和掌握数学思维,表述,分析和解决问题的 系统方法与技巧方面严格要求,狠下功夫 提倡刻苦钻研,要求认真做作业,建议预习
• 数学除了锻炼敏锐的理解力,发现真理以外,它还 有一个训练全面周密科学系统的头脑开发功能.
• 数学的思维方式有着根本的重要性,简言之,数学 为组织知识提供方法.一旦数学用于技术,它就能 产生系统的,可再现的并能传授的知识.分析,设计 ,建模,模拟和应用便会变成可能的高效的富有结 构的活动.
数学是高科技的基础
单起见,今后基本限于酉空间的研究.
复矩阵(向量)的4个一元运算
ACmn,A=(aij).
AT=(aji)Cnm;
A ai;j
A*=(A )T(A T) ; aji
A-1=adj(A)/det A(当A可逆时)
A11 A21 An1
adj( A)
例2引出的一些结论
• 在R2中至少可定义两个不同的内积.
• 欧氏空间是由实线性空间连同内积一起定义的, 同一实线性空间连同不同内积会定义不同的欧 氏空间.因此,用标准内积和例2的内积对R2能 定义出两个不同的欧氏空间.
• 这两个不同内积的确定义了两个不同欧氏空间. 例如,同一向量a=(1,0)T在标准内积下的长度 是(a,a)1/2=1;而在例2的内积下的长度是:
数学的重要性
① 新世纪国家间的竞争主要是经济竞争。但归 根结底是人才的竞争。人才培养的关键是素质 教育。素质教育包括修养、品质、知识、技能 等各个方面。数学教育在素质教育中占据重要 地位。
② 当今社会正日益数学化，数学是高科技的基 础。
数学在素质教育中的重要地位
• 数学授人以能力,数学训练能使人变聪明.
tr(k1A+k2B)=i (k1aii+k2bA+k2trB
欧氏空间例3 (例3.1.3 p.113)
A,BRmn={A=(aij)|aijR,i=1,…m,j=1,…,n}. 定义内积:(A,B)=tr(ATB)=ijaijbij.
1阶方阵
(k,)=TG(k)=kTG=k(,), (+,)=TG(+)=TG+TG=(,)+(,),
TG(b1
2 b2)1
1a1 1a2
(b1
b2)2aa11aa22
2 a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
(a,a)1/2=(2+0+0+0)1/2=21/2,
二者不相同.
方阵A=(aij)Cnn,A的迹定义为其所有对角元 之和:
tr(A)=a11+…+ann. 易证,迹运算有下列线性运算性质: A,BCnn,k1,k2C,tr(k1A+k2B)=k1trA+k2 trB;
tr(AT)=trA.
线性空间Rmn的一组基是:{EijRmn|i=1,…m;j=1,…n} EijRmn的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0.
线性空间例3
* 闭区间[a,b]上所有实连续函数集 C[a,b]={f(x)|f(x)是[a,b]上实连续函数}.
f,gC[a,b],kR,(f+g)(x)=f(x)+g(x), (kf)(x)=kf(x).
欧氏空间(定义3.1.1)page112
n维实线性空间V称为n维欧氏空间,如果存在映 射(称为内积):
( ,):VVR
满足下列4条公理: ,,V,kR
① (,)=(,)
(,)R
② (k,)=k(,)
③ (+,)=(,)+(,)
④ (,)0 & (,)=0 =0
n维复线性空间V称为n维酉空间,如果存在映射 (称为内积): ( ,):VVC
满足下列4条公理: ,,V,kC ① (,)= ( , )共轭 ② (k,)=k(,)
③ (+,)=(,)+(,)
④ (,)0 & (,)=0 =0 注 当V为欧氏空间时,任2向量的内积为实数,其 共轭数等于它自己,故在此情况下酉空间的4条 公理也成立.因此,欧氏空间是酉空间的特例.为简
• 数学在工程技术以及国民生产中发挥愈来愈重 要的作用甚至是决定性的作用。
线性空间的公理化定义
非空集合V称为数域F上的线性空间,如果V上 定义了加法和数乘运算:(page 3)
,V,+V; kF,V,k=kV 并满足下列公理:对于,,V,k,hF成立 ①(交换) +=+ ②(结合) +(+)=(+)+ ③ 存在0元0V满足: +0= ④ V存在负元-V满足: +(-)=0 ⑤ F乘法单位元1F满足:V,1= ⑥ k(h)=(kh) ⑦ (k+h)=k+h ⑧ k(+)=k+k
10 01 00 00 E 1 1 00 ;E 1 2 00 ;E 2 1 10 ;E 2 2 01
A a a 1 2 1 1a a 1 2 2 2 a 1 1 1 0 0 0 a 1 2 0 0 1 0 a 2 1 1 0 0 0 a 2 2 0 0 1 0 a 1 1 E 1 1 a 1 2 E 1 2 a 2 1 E 2 1 a 2 2 E 2 2
并满足下列公式: ,,R2,kR
① (,)=(,)
② (k,)=k(,)
③ (+,)=(,)+(,)
④ (,)0 & (,)=0 =0
=(a1,a2)T, =(b1,b2)T,=(c1,c2)TR2 (,)=a1b1+a2b2
A12
A1n
A22
A2n
An2
Ann
Aij为A划去i行j列 的代数余子式
复矩阵(向量)一元运算的性质
k1A 1 k2A 2k1 ;A 1 k2A 2 (k 1 A 1 ; k 2 A 2 )T k 1 A 1 T k 2 A 2 T
(k 1 A 1 k 2 A 2 )* ;k 1 A 1 * k 2 ;A 2 * ABAB
n2维实线性空间 Rnn={A=(aij)|aijR,1i,jn}; n2维复线性空间 Cnn={A=(aij)|aijC,1i,jn}; (其中,R,C分别为实数,复数的集合.)
mn 维实线性空间
Rmn={A=(aij)|aijR,i=1,…n,j=1,…,m}.
线性空间R22的一组基是:E11,E12,E21,E22 EijR22的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0.
矩阵（向量)乘积的运算性质
• 设 ABC…VW是矩阵(向量)乘积,则 (ABC…VW)T=WTVT…CTBTAT.
• 设 AB是矩阵(向量)乘积,k是数,则 (kA)B=k(AB)=A(kB).
• 设 ABC是矩阵(向量),则 A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA
欧氏空间例2(例3.1.2 p.113)
注 此处采取现代数学常用的公理化方法对内积与 欧氏空间进行定义.
欧氏空间例1(例3.1.1 page113)
,Rn,=(a1,…,an)T,=(b1,…,bn)T,定义标 准 内积:(,)=a1b1+…+anbn
则可证 Rn为n维欧氏空间.事实上4条内积公理全 部满足.
把内积表示为(,)=T.则由向量的运算性质得 (,)=T=(T)T=T=(,).(T为1阶方阵) (k,)=T(k)=kT=k(,). (+,)=T(+)=T+T=(,)+(,). (,)=a12+…+an20 & (,)=0 =0.
线性空间例1
* 2维实向量集 R2={x=(x1,x2)T|x1,x2R}. x,yR2,kR,x+y=(x1+y1,x2+y2)T,kx=(kx1,k
x2)T (在解析几何中已知R2满足8条公理,故它是2维实
线性空间.它的一组基是:(1,0)T,(0,1)T.)
* 将R2推广如下:
n维实线性空间 Rn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnR}; n维复线性空间 Cn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnC}. (其中,R,C分别为实数,复数的集合.)运算是
B,C);
n
AB aikbkj
k1
ATB n akibkj 的(i,i)元是
k1
n
a ki bki
k 1
nn
nn
t(rA TB ) akb iki aib jij
i 1k 1
i 1j 1
酉空间(定义3.1.2,p.114)
则Rmn是mn维欧氏空间.(n=1时为向量标准内积)
证:易见:求方阵的迹的运算是线性运算: A,BRmm,k1,k2R,tr(k1A+k2B)=k1trA+k2
trB. 此外，tr(AT)=trA.于是 (B,A)=tr(BTA)=tr((BTA)T)=tr(ATB)=(A,B); (kA,B)=tr((kA)TB)=ktr(ATB)=k(A,B); (A+B,C)=tr((A+B)TC)=tr(ATC+BTC)=(A,C)+(
,R2,定义内积(R2R2到R的映射):
(,)=2a1b1+a1b2+a2b1+a2b2 则可证 R2为2维欧氏空间.事实上4条内积公理全
部满足.
21
把内积表示为 (,)=TG,G= 1 (=1 GT) 则
(,)=TG=(TG)T=TGT(T)T=TG=(, ),
• 社会进步依赖于科学的创新而数学对于科学的 发展则具有根本的意义。在今天，数学已成为 高科技的基础，并且在一定意义上，可以说是 现代文明的标志。(2002年北京国际数学家大会 欢迎词摘录)
• 各行各业日益依赖于数学，可以说，当今社会 正日益数学化。数学正在向一切领域渗透，数 学正在不断与别的学科结合产生活跃的新兴学 科。高科技本质上是一种数学技术。
不难证明C[a,b]满足线性空间的8条公理,故它是 无限维实线性空间,因为它包含下列线性无关 的无穷序列:1,x,x2,x3,…
第3章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵
从解析几何知二平面向量
=(a1,a2)T,=(b1,b2)TR2 的内积定义为:
(,)=‖‖‖‖cos = a1b1+a2b2
线性空间例2
* 2阶实方阵集 R22={A=(aij)|aijR,1i,j2}. A,BR22,kR,A+B=(aij+bij),kA=(kaij). (不难证明R22满足线性空间的8条公理,故它是
22=4维实线性空间,一组基是E11,E12,E21,E22) * 将 R22 推广如下:
并满足下列公式: ,,R2,kR ① (,)=(,) a1b1+a2b2=b1a1+b2a2 ② (k,)=k(,) =k(a1b1+a2b2) ③ (+,)=(,)+(,)
(a1+b1)c1+(a2+b2)c2=(a1c1+a2c2)+(b1c1+ b2c2) ④ (,)0 & (,)=0 =0 =a12+a220
矩阵分析
前言
1. 开设《矩阵分析》的必要性 数学的重要性 理工科研究生数学能力培养的重要性 矩阵分析在信息,计算等领域的特殊重要性
2. 关于教材与教学内容 讲授3,4,5,6,8章;重点是3,8章
3. 关于教学方面 以提高数学思维与分析能力为主,而不以考试过 关为目的 在理解和掌握数学思维,表述,分析和解决问题的 系统方法与技巧方面严格要求,狠下功夫 提倡刻苦钻研,要求认真做作业,建议预习
• 数学除了锻炼敏锐的理解力,发现真理以外,它还 有一个训练全面周密科学系统的头脑开发功能.
• 数学的思维方式有着根本的重要性,简言之,数学 为组织知识提供方法.一旦数学用于技术,它就能 产生系统的,可再现的并能传授的知识.分析,设计 ,建模,模拟和应用便会变成可能的高效的富有结 构的活动.
数学是高科技的基础
单起见,今后基本限于酉空间的研究.
复矩阵(向量)的4个一元运算
ACmn,A=(aij).
AT=(aji)Cnm;
A ai;j
A*=(A )T(A T) ; aji
A-1=adj(A)/det A(当A可逆时)
A11 A21 An1
adj( A)