梁的变形分析与刚度问题
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6lEI
b
设a>b
x2 l
B
w2
l
Fabl
6lEI
a
max B
B
x
FB
例题
例 题 13-6
w
EIw1
Fb 6l
l2
b2
3x12
A
a
EI
F
b C
EIw1
Fbx1 6l
l 2 b2 x12
FA
x 1
fmax B
l
EIw2
Fbx1 6l
l 2 b2 x22
F 6
x (13.9)
转角方程 = (x)
由平面假设，小变形时得：
(13.10)
挠度转角关系
tan dw
dx
(13.11)
2.挠曲线近似微分方程
由变形几何关系： 1 M(x)
(x) EI
平面曲线w = w(x) 的曲率为 (x)(1x)[1(w w((xx)))2]23
小变形简化：dw 10
dx
C2
EIw2
1 6
b l
Fx23
1 6
F x2
a3
C2 x2
D2
B
x
FB
例题
例 题 13-6
3.定解条件：
w w1a(x)
Fw2(x)
b
x1 0 w1 0
A
EI C
x1 x2 a w1 w2, w1 w2 FA
x1
l
x2 l w2 0
x2
解得常数为：D1 0
EIw1
Fbx1 6l
（如
u,,w,
）
也是载荷的
f中与 fmax相差 2.65%
位移计算中的叠加原理
1.叠加原理（对线弹性材料，小变形）
由于内力 FN ,T, FS , M是载荷 F, q, m 的线性函数。
因此 FN FNF FNq FNm
T TF Tq Tm
FS FSF FSq FSm
M MF Mq
同理，结构中的位移
Mm
第8章 梁的变形分析与刚度问题
1.弯曲变形的描述
w
(x) 挠曲线（轴）
(x)
w(x) x
x F
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移：
（1）截面形心的铅垂位移 ——挠度w(x)()
（2）截面绕中性轴转过的角度 ——转角(x)(为正)
w
(x) 挠曲线（轴）
(x)
w(x)
x F
挠度方程 w = w(x)
x a,
x 2a,
x
w1 0
w1
w2,
dw1 dx
dw2 dx
w2
w3
0,
dw2 dx
dw3 dx
例题
例 题 13-5
(2)w
q
弹簧系数为k
a
l
x
w1(x)
w2(x)
解： 此梁应分为2段积分，共4个常数。
定解条件： q
ql/2
ql/2
x 0, w1 0,1 0
x a, w1 w2
共有2n个积分常数
确定2n个积分常数的条件（定解条件）：
共 2n个 支座处的约束条件（2个）
条件
分段点处的挠度、转角连续条件（ 2(n-1)个 ）
常见的支座约束条件：
（1）铰支座（ w0 ）
w
例如： x 0,
w0
l
x
xl, w0
（2w）固支端（
w0,0）
例如：
l
x x0, w0, dw 0
dx
（3）弹簧铰支座（弹簧系数k）
例题
例 题 13-6
AC:
M 1 x1
b l
Fx1
w
CB：M 2(x2)F l x b2F(x2a)A
2.分段积分:
FA
AC：EIw1
1 2
b l
Fx12
C1
EIw1
1 6
b l
Fx13
C1x1
D1
w1a(x)
EI
Fw2(x)
b C
x1
l x2
CB：
EIw2
1 2
b l
Fx22
1 2
F x2
a2
1 w(x)
(x)
M>0
w(x) M(x) EI
w(x) 0
符号的选择：与w轴及M的符号规定有关 ——取+号
挠曲线近似微分方程
d2w M(x) dx2 EI
(13.12)
（若梁的M(x)分段表示，上式也应分段表示）
计算梁的位移的积分法
挠曲线近似微分方程
d2w dx2
M (x) EI
(13.12)
对上式积分一次，得转角方程：
(x)ddw xl E MIdxC
再积分一次，得挠度方程：
(13.13)
w(x)l(x)d xll E MdIx d xC xD (13.14)
其中，C，D为积分常数
对分段的M(x),每段有2个常数，—若分n段，有2n个常数。
积分常数的确定：
对静定梁——支座处有2个位移约束条件 若梁的M(x)方程分为n段表示——共有n-1个分段点
x a l,
w2
ql 2k
例题
例 题 13-6
求图示梁的 max和 fmax w
解： 1.列内力方程
A
FA
b l
F
FB
a l
F
FA
应分为2段列内力方程：
a
EI
F
b C
x1
l x2
B
x
FB
AC段：
M1x1
b l
Fx1
(0 x1 a)
CB段： M 2(x2)F l x b2F(x2a)
(a x2 l)
i1xxi
i xxi
i1 xxi
仅挠度连续，转角不连续
A w1(x) w2(x) C lB l
B点挠度连续 w1xl w2xl
例题
例 题 13-5
指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。
w (1)
F
q
来自百度文库
a w1(x)
a w2(x)
解： 此梁应分为 3段积分， 共6个常数。
定解条件：
a w3(x) x 0,
w
4.求最大转角：
EIw1
Fb 6l
l2
b2
3x12
EIw1
Fbx1 6l
l 2 b2 x12
A
FA
a
EI
x 1
x2
F
b C
B
l
EIw2
Fbx1 6l
l 2 b2 x22
F 6
x2
a3
EIw2
Fb 6l
l 2 b2 3x22
F 2
x2
a2
x1 0
A
w10
Fabl
w
A
F
l
l
Bx FT
例如：FT kwB F/2 x0,w0 x2l,wF
2k
常见的分段点连续条件： （1）连续的挠曲轴上的分段点 连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。 第i个分段点处：
Mi(x) i Mi+1(x) x
xi wi(x) wi+1(x)
(2) 中间铰处
挠度连续 转角连续
w w i xxi
x2
a3
x2
B
x
FB
EIw2
Fb 6l
l 2 b2 3x22
F 2
x2
a2
5.求最大挠度：
设a>b，应在AC段出现，令
dw1 dx
1
3
0
得： x0
l2 b2 3
f max
w1x0
Fb l 2 b2 9 3lEI
2
f中
w1
l 2
Fb
3l 2 4b2 48EI
f中 fmax
l 2 b2 x12
D2
0
C1
C2
Fb 6l
l2 b2
EIw1
Fb 6l
l2
b2
3x12
(0 x1 a)
EIw2
Fbx1 6l
l 2 b2 x22
F 6
x2
a3
EIw2
Fb 6l
l 2 b2 3x22
F 2
x2
a2
(a x2 l)
B
x
FB
例题
例 题 13-6
b
设a>b
x2 l
B
w2
l
Fabl
6lEI
a
max B
B
x
FB
例题
例 题 13-6
w
EIw1
Fb 6l
l2
b2
3x12
A
a
EI
F
b C
EIw1
Fbx1 6l
l 2 b2 x12
FA
x 1
fmax B
l
EIw2
Fbx1 6l
l 2 b2 x22
F 6
x (13.9)
转角方程 = (x)
由平面假设，小变形时得：
(13.10)
挠度转角关系
tan dw
dx
(13.11)
2.挠曲线近似微分方程
由变形几何关系： 1 M(x)
(x) EI
平面曲线w = w(x) 的曲率为 (x)(1x)[1(w w((xx)))2]23
小变形简化：dw 10
dx
C2
EIw2
1 6
b l
Fx23
1 6
F x2
a3
C2 x2
D2
B
x
FB
例题
例 题 13-6
3.定解条件：
w w1a(x)
Fw2(x)
b
x1 0 w1 0
A
EI C
x1 x2 a w1 w2, w1 w2 FA
x1
l
x2 l w2 0
x2
解得常数为：D1 0
EIw1
Fbx1 6l
（如
u,,w,
）
也是载荷的
f中与 fmax相差 2.65%
位移计算中的叠加原理
1.叠加原理（对线弹性材料，小变形）
由于内力 FN ,T, FS , M是载荷 F, q, m 的线性函数。
因此 FN FNF FNq FNm
T TF Tq Tm
FS FSF FSq FSm
M MF Mq
同理，结构中的位移
Mm
第8章 梁的变形分析与刚度问题
1.弯曲变形的描述
w
(x) 挠曲线（轴）
(x)
w(x) x
x F
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移：
（1）截面形心的铅垂位移 ——挠度w(x)()
（2）截面绕中性轴转过的角度 ——转角(x)(为正)
w
(x) 挠曲线（轴）
(x)
w(x)
x F
挠度方程 w = w(x)
x a,
x 2a,
x
w1 0
w1
w2,
dw1 dx
dw2 dx
w2
w3
0,
dw2 dx
dw3 dx
例题
例 题 13-5
(2)w
q
弹簧系数为k
a
l
x
w1(x)
w2(x)
解： 此梁应分为2段积分，共4个常数。
定解条件： q
ql/2
ql/2
x 0, w1 0,1 0
x a, w1 w2
共有2n个积分常数
确定2n个积分常数的条件（定解条件）：
共 2n个 支座处的约束条件（2个）
条件
分段点处的挠度、转角连续条件（ 2(n-1)个 ）
常见的支座约束条件：
（1）铰支座（ w0 ）
w
例如： x 0,
w0
l
x
xl, w0
（2w）固支端（
w0,0）
例如：
l
x x0, w0, dw 0
dx
（3）弹簧铰支座（弹簧系数k）
例题
例 题 13-6
AC:
M 1 x1
b l
Fx1
w
CB：M 2(x2)F l x b2F(x2a)A
2.分段积分:
FA
AC：EIw1
1 2
b l
Fx12
C1
EIw1
1 6
b l
Fx13
C1x1
D1
w1a(x)
EI
Fw2(x)
b C
x1
l x2
CB：
EIw2
1 2
b l
Fx22
1 2
F x2
a2
1 w(x)
(x)
M>0
w(x) M(x) EI
w(x) 0
符号的选择：与w轴及M的符号规定有关 ——取+号
挠曲线近似微分方程
d2w M(x) dx2 EI
(13.12)
（若梁的M(x)分段表示，上式也应分段表示）
计算梁的位移的积分法
挠曲线近似微分方程
d2w dx2
M (x) EI
(13.12)
对上式积分一次，得转角方程：
(x)ddw xl E MIdxC
再积分一次，得挠度方程：
(13.13)
w(x)l(x)d xll E MdIx d xC xD (13.14)
其中，C，D为积分常数
对分段的M(x),每段有2个常数，—若分n段，有2n个常数。
积分常数的确定：
对静定梁——支座处有2个位移约束条件 若梁的M(x)方程分为n段表示——共有n-1个分段点
x a l,
w2
ql 2k
例题
例 题 13-6
求图示梁的 max和 fmax w
解： 1.列内力方程
A
FA
b l
F
FB
a l
F
FA
应分为2段列内力方程：
a
EI
F
b C
x1
l x2
B
x
FB
AC段：
M1x1
b l
Fx1
(0 x1 a)
CB段： M 2(x2)F l x b2F(x2a)
(a x2 l)
i1xxi
i xxi
i1 xxi
仅挠度连续，转角不连续
A w1(x) w2(x) C lB l
B点挠度连续 w1xl w2xl
例题
例 题 13-5
指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。
w (1)
F
q
来自百度文库
a w1(x)
a w2(x)
解： 此梁应分为 3段积分， 共6个常数。
定解条件：
a w3(x) x 0,
w
4.求最大转角：
EIw1
Fb 6l
l2
b2
3x12
EIw1
Fbx1 6l
l 2 b2 x12
A
FA
a
EI
x 1
x2
F
b C
B
l
EIw2
Fbx1 6l
l 2 b2 x22
F 6
x2
a3
EIw2
Fb 6l
l 2 b2 3x22
F 2
x2
a2
x1 0
A
w10
Fabl
w
A
F
l
l
Bx FT
例如：FT kwB F/2 x0,w0 x2l,wF
2k
常见的分段点连续条件： （1）连续的挠曲轴上的分段点 连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。 第i个分段点处：
Mi(x) i Mi+1(x) x
xi wi(x) wi+1(x)
(2) 中间铰处
挠度连续 转角连续
w w i xxi
x2
a3
x2
B
x
FB
EIw2
Fb 6l
l 2 b2 3x22
F 2
x2
a2
5.求最大挠度：
设a>b，应在AC段出现，令
dw1 dx
1
3
0
得： x0
l2 b2 3
f max
w1x0
Fb l 2 b2 9 3lEI
2
f中
w1
l 2
Fb
3l 2 4b2 48EI
f中 fmax
l 2 b2 x12
D2
0
C1
C2
Fb 6l
l2 b2
EIw1
Fb 6l
l2
b2
3x12
(0 x1 a)
EIw2
Fbx1 6l
l 2 b2 x22
F 6
x2
a3
EIw2
Fb 6l
l 2 b2 3x22
F 2
x2
a2
(a x2 l)
B
x
FB
例题
例 题 13-6