线性方程组和矩阵

第二章 矩阵
第一节 矩阵
矩阵概念的引入 矩阵的定义 小结
一、矩阵概念的引入
1. 线性方程组
a11x1 a12x2 L a1n xn b1
La21Lx1L
a22x2 L LLLL
L
a2n xn b2 LLLL
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
反 称 矩 阵
实对称矩阵
同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
1 2 14 3
例如

5 3
6 7

与

8 3
4 9

为同型矩阵.
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵, 并且对应
元素相等,即

0
1L
L L L

0
0L
0
0

单位阵.
L
1

线性变换

x1 y1

cos x sin x

sin cos
y, y.
对应 cos sin

sin
cos

这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1

都为零的方阵称为对角矩阵，如
a11

A



a22


ann
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即 aij = 0 , i j , i, j = 1, 2, ···, n ,
对角矩阵常记为 A = diag( a11 , a22 , ···, ann ).
y1 a11x1 a12x2 L a1n xn ,

y2
a21x1 a22x2 L a2n xn , LLLLLLLLL
ym am1x1 am2x2 L amn xn.

a11 a12 L
A


a21
a22
L
L L L
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
如 A = ( a11 ，a12 ，···，a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量).
a11
如
B


aam211 .
(2) 零矩阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零
矩阵记作 omn 或 o .
如
EA = AE = A .
(6) 数量矩阵 主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵
c

n 阶数量矩阵
例如
c



（c 为常数）.

c n
(7) 三角形矩阵
主对角线下 (上) 方的元素全为零的方阵称为
上 (下) 三角形矩阵.
例如
a11 a12
a22
Px, y

O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m 行 n列 的 一 个 数 表
a11
A


a21
am1
a12 a22 am1
a1n a2n amn
方阵 m n;
a1
(2) 特殊矩阵
行矩阵与列矩阵;
单位矩阵; 11
00 对角矩阵;
A 00 12

aB1



,a 20000,aan2., ,a n
,
零矩阵.
00 00 1n
思考题
矩阵与行列式的有何区别?
例1 n个变量 x1, x2,L , xn与m个变量 y1, y2,L , ym之 间的关系式
二、矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2,L ,m; j 1,2,L ,n
排成的 m行 n 列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n


am1 am2 amn
称为 m n 矩阵.简称 m n 矩阵. 记作
主对角线 a11
A


a21
3 0 0 例如 diag(3,1,2) 0 1 0.
0 0 2
对角矩阵
(5) 单位矩阵
主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为单
位矩阵, 简记为 E 或 I .
1



如
En



1

.
1 n
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地
位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似.
的解取决于 系数 aij i, j 1,2,L ,n, 常数项 bi i 1,2,L ,n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21 an1
a12 a22 an2
a1n a2n ann
b1 b2 bn
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
aij bij i 1,2,L ,m; j 1,2,L ,n,
则称矩阵 A与B 相等, 记作 A B.
例设
1 2 3
A


3
1
2
,
1 x 3
B


y
1
z
,
已知 A B, 求 x, y, z. 解 Q A B,
x 2, y 3, z 2.
例如
1

9
0 6
3 4
5
3

是一个 2 4 实矩阵,
13 6 2i
1

2 2
2 2
2 2

是一个 3 3 复矩阵,

2 4

2 3 5 9
是一个 31 矩阵,
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵


a1n a11
a2n ann
,
a21

an1
a22 an2



.
ann
上三角形矩阵
下三角形矩阵
(8) 对称矩阵与反称矩阵
在方阵 A = ( aij )n 中, 如果 aij = aji (i, j = 1, 2, ···, n) ,
则称 A 为对称矩阵.
如果 A 还是实矩阵,则 称 A 为实对称矩阵.
如果 aij = -aji (i, j = 1, 2, ···, n) , 则称 A为反称矩阵.
2 1 5 1 2 3 1 3 7 , 2 0 7 . 5 7 4 3 7 2
副对角线 am1
a12 a22 am1
a1n a2n amn
矩阵A的
m , n 元
简记为 A Amn aij mn aij .
这 m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
y1 a11x1 a12x2 L a1n xn ,

y2
a21x1 a22x2 L a2n xn , LLLLLLLLL
ym am1x1 am2x2 L amn xn.
表示一个从变量 x1, x2,L , xn 到变量 y1, y2,L , ym的 线性变换. 其中 aij 为常数.

am1
am1
L
a1n
a2n

L
amn

系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
若线性变换为
y1 x1,

y2 L
L
x2 L
,
yn xn
y1 x1,

y2 L
L
x2 L
,
yn xn
称之为恒等变换.
对应
1 0 L
B
2. 某航空公司在A,B,C,D四
城市之间开辟了若干航线 ,
如图所示表示了四城市间的 A
C
航班图,如果从A到B有航班,
则用带箭头的线连接 A与B.
D
四城市间的航班图情况 常用表格来表示:
B
A
C
A
A 发站 B
C D
到站
B
C
D D
A
B
C
D
A B
C D
0
1
1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如
0 0 0 0

0
0
0
0


0
0
0
0.
0 0 0 0

0
0
0
0

(3) 方阵 行数与列数都等于n 的矩阵 A ，称为n 阶 方阵.也可记作 An.
例如
13 6 2i

2 2
2 2
2 2

是一个3 阶方阵.
(4) 对角矩阵 主对角线上的元素不全为零，其余的元素全