结构向量自回归(SVAR)模型

第9章
结构向量自回归（SVAR）模型
本章内容：
1 SVAR模型初步
2 SVAR模型的基本识别方法
3 SVAR模型的三种类型
4 SVAR模型的估计方法总结
5 S VAR与缩减VAR模型的脉冲响应及方差分解比较
Macroeconometricians do four things: describe and summarize macroeconomic data, make macroeconomic forecasts, quantify what we do or do not know about the true structure of the macroeconomy, and advise macroeconomic policymakers.
---James H. Stock and Mark W. Watson
Journal of Economic Perspectives, Vol. 15, 2001
导读：上面这段话是时序分析领域的两位著名专家，斯坦福大学的James Stock 和哈佛大学的Mark Watson在一篇关于VAR模型综述性的文章中的一段评语，从中读者可能会洞悉出关于多维模型的计量方法在“经济结构”等方面分析的重要性。

实际上，多维时间序列模型的另一个重要的模型是结构向量自回归模型，本章将一般的VAR 模型拓展到经济金融领域经常用到的结构性（Structural）动态模型，即“结构向量自回归模型” （SVAR），并介绍了缩减式的VAR模型与结构式的VAR之间的本质联系。

通过本章的学习，读者能够掌握多元时间序列分析的更多核心方法、理论和实际应用等内容。

本章内容较多地涉及到矩阵代数，这方面基础薄弱的读者可以跳过矩阵推导等内容，而主要掌握SVAR模型的基本概念和应用步骤。

但是对于基础较好的读者，还是建议仔细研读本章的内容，因为SVAR模型在经济计量分析中应用相当广泛。

9.1 SVAR模型初步
9.1.1 SVAR模型的基本概念
严格地说，第8章介绍的VAR模型只是描述了多个变量之间的动态关系的统计描述，虽然在脉冲响应分析中我们曾经提到过VAR模型设立中各个变量的排序不同对脉冲响应分析可能影响很大，但我们始终没有对卷入VAR模型系统中的内生变量（所谓内生变量，就是指由系统内的方程式决定的变量；而与之相对的是外生变量，即那些不是由系统内的关系决定的、独立于模型系统之外的变量）之间的经济结构含义进行明确的刻画。

从一方面看，这是VAR模型的一个典型优点，因为经济变量之间的结构性关系有时候很难界定，因此使用VAR技术建模可以有利地规避这个问题。

而从另外一个方面看，经济变量之间没有给以明确的结构性关系，却又是VAR模型特别是无约束条件VAR模型的一个不足。

因此，VAR模型实质上应该视为一个缩减式（reduced form）的模型系统，在这个系统内各个变量的之间不存在当期的（contemporaneous）关系，而只是存在滞后期与当期之间的互动。

那么是否能够将一定的基于经济、金融理论的变量之间的结构性关系引入VAR模型呢？结构向量自回归模型（SVAR）的出现从一定程度上解决了这一难题。

所谓结构向量自回归模型，正如其名称所表明的，它可以捕捉模型系统内各个变量之间的即时的(instantaneous)结构性关系。

而如果仅仅建立一个VAR模型，这样的结构关联性却被转移或者说掩藏到了随机扰动向量的方差-协方差矩阵中了。

也正是基于这个原因，VAR模型实质上是一个缩减形式，没有明确体现变量间的结构性关系。

回顾SVAR的发展历史，在SVAR研究领域，Amisano and Giannini （1997）的专著从某种程度上说，是具有里程碑式的意义的。

因为这两位意大利的计量经济学家在他们的这本专著中，比较透彻地总结了SVAR模型的设立、识别、估计以及应用等内容。

不过，阅读该书需要较高的计量理论基础，所以对于一般读者来说，可读性并不高。

我们在本章将使用更为通俗易懂的方式介绍与SVAR模型相关的知识，而在第3小节对Amisano and Giannini （1997）的精髓内容做了归纳和系统的诠释，以期读者能够比较顺利地理解SVAR的相关知识。

同时，因为EViews软件内嵌的SVAR分析机理以Amisano and Giannini （1997）的理论模型为基础，本章对相关内容的介绍，也可能对使用EViews软件从事实证研究的人员有一定帮助。

要理解SVAR 模型，首先要明确，SVAR 的建立一般都是基于一定的经济理论基础。

例如，现代货币政策传导机制的一条途径是通过欧拉等式（即IS 等式）、菲利普斯曲线和货币政策反应方程 （Taylor 规则）的动态系统实现的。

如果令 t x 表示真实总产出缺口，t π表示通货膨胀，t i 表示短期利率，那么这样一个货币传导机制系统就可以写成以下模型形式 ，即
1112211231123()t t t t xt
t t t t t t t t it
x c x i u c x u i c i x u πααππβπβγγγπ−−−=++−+=+++=++++ (9.1)
其中xt u 、t u π和it u 分别表示需求冲击、供给冲击和货币政策冲击项。

我们暂时假定这些随机冲击项都不存在序列相关性。

从以上模型系统我们可以看到，IS 等式描述了真实经济产出缺口与真实利率()t t i π−之间的线性关系；菲利普斯曲线将通货膨胀定义为历史的通胀率和真实经济产出缺口的函数；而货币政策反应方程则说明了货币政策工具，即短期利率，本身具有一定的平滑性特征（利率滞后项的出现），同时受到经济产出缺口和通胀压力的影响。

所以，(9.1)这个模型系统每个等式都是基于一定的经济理论基础而建立起来的，并且这三个变量之间通过三个等式形成一个有机地动态系统。

这就是一个典型的SVAR 模型，在整个系统中，每个变量除了受各自的滞后项的影响，同时还包含了其它变量的即时（当期）的影响。

注意，对于(9.1)这样的SVAR 模型系统，每个等式不再能够使用OLS 进行回归而获得无偏的估计结果了。

这就是计量经济学科经常提到的联立方程偏倚问题(simultaneous equation bias)。

之所以会出现整个问题，就是因为每个等式中的解释变量，通过整个系统的联系或者称为传导，实际上是与各自等式中的随机扰动项具有相关性。

而这违背了OLS 估计的根本假设要求之一。

有关联立方程偏倚问题，这里不再深入讨论。

我们这里继续介绍SVAR 模型的相关内容。

为进一步分析SVAR 模型，我们尝试将模型系统(9.1)中的等式写成向量的形式。

所以，首先定义向量
t t t t x Y i π⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (9.2)
这样，就可以将(9.1)重新写成如下形式，即
011t t t Y Y u δ−Γ=+Γ+ (9.3) 其中
2202231
101ααβγγ−⎡⎤⎢⎥Γ=−⎢⎥
⎢⎥−−⎣⎦
， (9.4)
1111000000αβγ⎡⎤
⎢⎥Γ=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦， (9.5)
123c c c δ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， (9.6)
以及
xt t t it u u u u π⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (9.7)
基于以上定义，(9.3)就是一个SVAR(1)模型的形式，其中各个变量的结构性关系体现在了非单位矩阵的0Γ上。

而以前我们介绍的简单VAR
型，无一例外地都假设了当期变量t Y 的系数矩阵为单位阵。

9.1.2 SVAR 与缩减式VAR 模型
进一步推导可以帮助我们认识到SVAR 与VAR 的内在联系和区
别。

假设矩阵0Γ有定义，并且可逆，那么在(9.3)左右同乘以1
0−Γ，得到下面的等式，即
111
00110t t t Y Y u δ−−−−=Γ+ΓΓ+Γ (9.8)
此时，我们看到，由SVAR 经过变换后的模型(9.8)，至少从形式上看与VAR 模型一致。

所以，VAR 模型从某种程度上说，是SVAR 模型的缩减形式。

所以，(9.8)还可以写成
1122t t t t Y c Y Y ε−−=+Φ+Φ+ (9.9)
当然，如果我们将SVAR(1)模型(9.8)拓展到高阶的形式，即SVAR(p)模型，即
01122t t t p t p t Y Y Y Y u δ−−−Γ=+Γ+Γ++Γ+ (9.10)
其中p 表示滞后期数，t u 仍然代表随机扰动项向量。

与(9.8)类似，我们还可以得到相应的缩减VAR 形式，即
1122t t t p t p t Y c Y Y Y ε−−−=+Φ+Φ++Φ+ (9.11) 其中
1
0k k −Φ=ΓΓ (9.12)
10c δ−=Γ (9.13) 10t t u ε−=Γ (9.14)
以及
11
00()()t t u E εεε−−′′Ω==ΓΩΓ (9.15)
模型(9.10)就是一个典型的SVAR(p)模型。

在下面研究中，为简单起见，我们暂时假定在SVAR 模型中，t Y 包含的所有变量均为内生变量。

对于缩减形式的VAR 模型(9.11)，如果其对应的扰动项向量被假设为服从多维高斯分布（multivariate Gaussian distribution ），就可以使用 OLS 或者MLE 方法估计这个模型系统。

可见，通过将SVAR 模型转化成VAR 模型，我们可以规避联立方程偏倚问题。

而在估计VAR 模型之后，原始的SVAR 模型可以通过SVAR 与对应的VAR 模型之间的内在联系而获得。

当然，在大多数情况下，SVAR 模型的估计并不一定像上面陈述的那样简单，经常用到的估计方法也不一定是OLS ，而更多的用到所谓的全信息最大似然估计（Full Information Maximum Likelihood Estiomator: FIMLE ）。

FIMLE 估计是MLE 在多维模型情况下的拓展，我们将在下面的小节中介绍。

但是，在估计SVAR 模型之前，还要涉及一个问题，就是SVAR 模型的识别（identification ）。

所谓SVAR 模型的识别，就是指通过限制一定的条件，使得能够利用样本信息估计出待估计的统计量。

9.2 SVAR 模型的基本识别方法
9.1.1 SVAR 模型的识别问题
对于SVAR 模型的识别问题，其基本思想就是，如果通过一定的约束条件，使得估计出的VAR 模型对应的系数矩阵、对应的方差矩阵等统计量的个数不少于SVAR 模型中待求的未知量的个数。

我们知道，SVAR 模型与VAR 模型有着内在的联系，而SVAR 模型的识别正是基于这种联系的基础上，欲通过对VAR 模型的估计结果，估计出SVAR 模型中的待估计未知量。

要想获得SVAR 模型中的结构性系数，首先需要考虑所谓的“排序”（order ）问题。

什么是order 问题呢？简单地解释，order 问题就是对比SVAR 模型中待估计量的个数与VAR 模型中可以估计出来的对应量的个数。

例如，我们知道，对于一个包含n 个变量的VAR(p)模型，如(9.11)，系数矩阵,1,2,,i i p Φ= 中含有2pn 个元素，另外，在VAR 模
型(9.11)中，扰动项的方差-协方差矩阵11
00()u ε−−′Ω=ΓΩΓ含有(1)/2
n n +个元素。

但是，对于与这个VAR(p)模型对应的SVAR(p)模型而言，系数矩阵,0,1,,i i p Γ= 含有2(1)p n +元素，并且SVAR 模型的扰动项的方差-协方差矩阵u Ω含有 (1)/2n n +个元素待估计。

比较含有n 个变量的VAR(p)与SVAR(p)模型的这些数字关系，我们看到，SVAR(p)模型要比VAR(p)模型多2n 个未知量待估计。

因此，如果希望通过估计VAR 模型然后利用VAR 与SVAR 的内在联系再估计出SVAR 模型的所有系数，那么就必须对SVAR 模型施加 2n 个约束条件。

常见的一个约束条件是令矩阵0A 的对角线上的元素都为1，例如在开始使用的货币政策传导机制模型的例子，即模型（9.3）。

但是这个约束只能获得n 限制条件，所以如果要保证SVAR 模型能够被识别，就还需要至少(1)n n −个限制条件。

当然，如果，约束条件多于这个标准，则称为“过度识别”（over-identified ），反之则称为“不足识别”（under-identified ）。

那么一般来讲，要保证SVAR 能够被识别的约束条件如何确定呢？Watson (1994)提出，约束条件应该由模型背后的经济含义来确
定。

所以，如果不甄别所建立的SVAR 模型的经济含义，那么任何讨论可能都没有什么实际意义。

9.1.1 识别SVAR 模型的约束条件
在设立约束条件的过程中，下面几种情况是实证研究可以考虑采用的方法。

第一:对结构冲击项(structural shocks)的方差-协方差矩阵约束。

与Watson (1994)的讨论相似，我们使用一个2元的SVAR(p)模型对这种约束方法进行介绍。

假定SVAR 模型中包含的两个变量分别式真实GDP 增长率和货币供应量的增长率，分别使用1t y 和2t y 来表示这两个变量。

这样，我们就可以获得由总供给和货币供给反应方程组成的SVAR 模型，即
(0)()
()
112
2111,122,11
1
p
p
i i t t t i
t i t i i y y y
y u γγγ−−==+=++∑∑ (9.16)
(0)
()
()
2211211,222,21
1
p
p
i i t t
t i
t i t i i y y y
y u γγγ−−==+=++∑∑ (9.17)
模型(9.16)可以解释为总供给等式，因为当期的经济增长率是当期和滞后的货币供给增长率以及滞后的经济增长率的函数。

这样，1 t u 就具有一定的经济含义，它表示总供给或者生产率冲击。

模型(9.17)是一个货币需求反应函数，它刻画了当期的货币总量变量率如何受到当期的经济产出增长率和这两个变量的历史观测值的影响。

在这个方程中，2t u 就可以解释为货币供给冲击。

就上面介绍的这个SVAR 模型，如果把它看成(9.10)的形式，那么对应的矩阵0Γ的对角线上的元素都为1，从前面的介绍我们知道这个约束给出了n 个限制条件。

而如果要保证SVAR 模型能够被识别，还需要至少(1)2n n −=个限制条件。

其中一个约束条件可以考虑对该SVAR 模型中的扰动项的方差-协方差矩阵u Ω进行限制而实现。

对这个矩阵的限制一般采用的形式是令对称矩阵u Ω为对角矩阵。

如果限制了这个条件，那就意味着我们假设
SVAR 模型中的结构扰动项之间彼此互不相关。

对于上面的例子，这个约束条件的含义是，总供给冲击与货币扰动因素彼此不相关。

这个假设经常被认为是比较合理的假设，因为这两个扰动因素之间在很多情况下确实并没有很强的关联性。

注意，这里限制u Ω为对角矩阵，只给出了 (1)/21n n −=个约束条件，还需要至少(1)/21n n −=个额外的约束条件。

这另外的约束条件如何获得呢？通常可以考虑采用下面介绍的方法，即对矩阵0A 的限制条件。

第二：对A 0矩阵的约束。

上面已经提到，尚缺的1个额外约束条件，可以考虑通过对矩阵0Γ进行适当的限制来获得。

当然，对0Γ的限制也应该有一定的经济含
义解释。

以上面的“产出-货币”SVAR 模型为例， 必须找到对(0)
12γ或者(0)
21
γ的限制条件。

从经济理论角度出发，我们可以考虑货币政策对现实经济影响普遍存在的时滞特点，从而假定当期的货币政策冲击对当期的经济产出并不马上产生影响。

这样，2t u 对1t y 的影响乘数(impact multiplier)应该为0，即
120t
t y u ∂=∂ (9.18)
如果限制了这个条件，那么考查(9.16)和(9.17)就知道，这个假设要求
实质上要求(0)
120γ=。

如果有了这个限制条件，加上前面介绍的对矩阵
u Ω的限制条件，对应的SVAR 模型就可以被识别了。

虽然上面的讨论以2变量的SVAR 模型为例，但是容易拓展到对n 变量情况下矩阵0Γ的约束。

在这种情况下，对0Γ进行类似的约束所，经常被称为“伍德因果链”（Wold Causal Chain ：WCC ）约束，即
/0, it jt y u i j ∂∂=< (9.19)
从实质上看，WCC 给出了一个递归的SVAR 系统，其中0Γ为下三角矩阵，从而就给出了(1)/2n n −个约束条件。

举例来说，如果n=3，即一个3变量SVAR 模型，WCC 约束给出的模型可以写成如下形式，即
()
()
()
1111,122,133,11
1
1
(0)()
()
()
2211211,222,233,211
1
(0)(0)()
()
()
331132
2311,322,333,1
p
p p
i i i t t i
t i t i t i i i p
p
p
i i i t t
t i
t i t i t i i i p
i i i t t
t t i
t i t i y y
y y u y y y
y y u y y y y
y y γγγγγγγγ
γ
γγγ−−−===−−−===−−−==++++=+++++=++∑∑∑∑∑∑∑31
1
p
p
i t i i u ==+∑∑ (9.20)
这个例子中，矩阵0Γ的形式为
(0)
021(0)(0)31321
00101γγγ⎡⎤⎢⎥Γ=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ (9.21)
当然，如果拓展到n 个变量的SVAR 系统，WCC 约束条件对应的矩阵0Γ就变成如下形式，即
(0)210(0)(0)
121
00101n n γγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Γ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(9.22)
这个约束条件的形式可以回溯到Wold (1954)的文献，后来在Sims (1980)的重要研究中重新获得新生。

第三：长期关系约束。

在SVAR 的识别过程中，还有一种著名的约束条件，被称为长期关系（long-run relationship ）约束条件。

这种约束的实质可以通过下面的公式说明，即
01
(1)p
i i =Γ=Γ−Γ∑ (9.23)
长期关系约束条件限制矩阵(1)Γ是一个下三角矩阵，从而就可以获得(1)/2n n −个约束条件。

这就是Blanchard and Quah (1989)最初提出的长期关系约束条件。

Watson (1994)以及其他研究人员对这种约束条件的理论和应用做了进一步的讨论，下面的内容将会 继续介绍这种方法。

实际上，以上介绍的识别SVAR 模型要求的约束条件的方法，是一般性地讨论，实践研究者可以根据这里介绍的方法，并必须结合手中研究的具体问题来制定识别系统的约束条件。

很多时候，这些约束条件需要利用计量软件编制一定的程序实现。

当然，前人的研究出来的一些既定呈现，可能也会提高实际分析SVAR 模型的效率。

例如，WinRATS 学习群经常会提供一些已有的处理SVAR 模型的WinRATS 程序。

当然，不同的计量软件在处理问题的灵活程度上还是存在一定差别的，例如GAUSS 编程工具在处理SVAR 问题时就具有更大的灵活性，功能也更加强大。

我们在本章开始还提到过，EViews 软件以Amisano and Giannini （1997）的专著为蓝本分析SVAR 模型。

所以，下面一个小节集中介绍Amisano and Giannini 归纳的三种模型，即AB-模型，C-模型和K-模型。

这些模型的识别和估计方法与以上介绍的内容既有重叠的地方，又有其独特的方面，希望读者认真比较。

9.3 SVAR 模型的三种类型
应该指出，模型(9.10)只是SVAR 模型的一种类型，它对应的是Amisano and Giannini (1997)归纳的C-模型，而Amisano and Giannini (1997)根据SVAR 系统中对当期变量之间的结构性关系假设不同，提出了三种不同类型的SVAR 模型，即C -模型，K -模型和AB -模型。

在介绍 这几种不同的模型之前，我们首先需要重新回顾一下缩减式VAR 模型的形式。

为了与Amisano and Giannini (1997)中使用的假设相一致，我们暂时假设VAR 系统中不含有常数项。

实际上我们总可以先将数据去除均值（demean ），从而获得不包含常数项形式的VAR 模型。

我们以前的介绍一直以t Y 表示变量组成的向量，而这里为了与之加以区分，我们将n 个变量组成的向量表示为t y 。

这样，可以将缩减VAR 模型写成以下形式，即
()t t A L y ε= (9.24) 其中
212(0,) () ()t t t p
n p VGW E A L A L A L A L εεε⎧Ω⎪
′=Ω⎨⎪=Ι−−−−⎩
∼ (9.25)
这里，VGW （Vector Gaussian White Noise ）表示向量高斯白噪音过程，()A L 是滞后算子多项式的向量表现形式。

另外，我们假设等式
det[()]A L （即矩阵()A L 的行列式）的所有根均落在单位圆外。

这里需要提醒的是，我们这里使用(1,2,,)i A i p = 表示系数矩阵，这一方面是为了以下讲解的方便，而另一方面也是为了与常用的计量软件如EViews 使用的符号相一致，方便应用者理解。

如果进一步假设矩阵()A L 可逆，那么利用我们以前讲过的内容，就可以将t y 写成向量移动平均过程的形式(VMA)，即
()t t y C L ε= (9.26) 其中
1()()C L A L −= (9.27)
另外，在介绍VAR 模型的脉冲响应分析时，我们曾介绍过矩阵的乔莱斯基分解法。

例如矩阵Ω的乔莱斯基分解可以写出
1/21/2AD D A PP ′′Ω== (9.28) 其中
1/2P AD =
A 是一个可以唯一确定的下三角矩阵 D 是可以唯一确定的对角线矩阵
因此，如果在(9.24)的左右同时左乘矩阵Ω的乔莱斯基因子（注意矩阵的运算顺序），则可以获得以下结果，即
*(), (0,)t t t n A L y e e VWN =Ι∼ (9.29)
并且，通过(9.24)到(9.29)，不难看出，各种系数矩阵满足以下关系，即
*
**
1*101(),,p
i i i i A L A A P A P A −−====∑ (9.30)
在以上介绍的基础上，我们下面分别介绍三种不同类型的SVAR 模型。

9.3.1 AB 模型
1）AB 模型的基本定义
基于前面介绍的基础内容，我们首先介绍SVAR 的AB 模型，其基本定义如下：
假设A 和B 都是()n n ×维的可逆矩阵，并且满足下列条件：
()()0()t t
t t
t t t n AA L y A A Be E e E e e εε===′=Ι (9.31)
AB 模型的特点是，可以明确建立系统内各个内生变量的当期结构关系，并且可以直观地分析标准正交随机扰动项（orthonormal random shocks ）对系统产生冲击后的影响情况，即t e 对系统的冲击影响情况。

t e 就是所谓的“标准正交随机扰动项”，因为它的组成元素之间互相正交（即互相独立），并且其方差-协方差矩阵为单位阵。

另外，在(9.31)中，矩阵A 和B 被称为正交因子分解矩阵(orthogonal factorization matrices)。

从(9.31)第二个等式可以看到，矩阵A 将缩减式VAR 模型中的扰动项t ε的向量进行转化，生成一个新的 向量t t A Be ε=。

所以，t A ε可以理解为n 个互相独立的扰动项t e 通过一定的线性组合（通过矩阵B ）而生成的。

2）AB 模型的识别与估计
如果实践者已经建立了一个AB-模型，那么如何进行模型识别呢？首先利用(9.31)中的关系式t t A Be ε=和()t t n E e e ′=Ι，可以得到以下关系，即
t t A A BB εε′′′= (9.32)
上面这个等式的关系成立是因为
()()()t t t t t t A A Be Be B e e B B B BB εε′′′′′′===×Ι×= (9.33)
现在我们来考虑模型的识别问题。

我们知道，A 和B 都是()n n ×维的矩阵，所以这两个矩阵有22n 个系数需要估计。

而从(8.25)可知，()t t E εε′=Ω能够通过一定的估计方法（如OLS 估计）获得，而不需要约束条件。

所以，模型的识别问题就是要寻找到22n 个约束条件。

如何设定22n 个约束条件呢？首先，观察(9.32)可以发现，其两侧表达式都是对称矩阵。

这说明，一旦模型的基本形式(9.31)设定好了之后，关系式(9.32)就一定成立，而通过以上对(9.32)性质的分析可以知
道，SVAR 的AB 模型一旦设立，首先就对矩阵A 和B 中的系数施加了(1)/2n n +个非线性约束条件。

这样，要识别AB 模型，实质上就还剩下22(1)/2n n n −+个额外的约束条件需要加以限制。

一般来讲，剩下的22(1)/2n n n −+个约束条件可以考虑两种不同的限制方法，分别称为短期约束条件(short-run restrictions)和长期约束条件(long-run restrictions)。

但这两种方法都是对矩阵A 和B 进行进一步的限制，所以我们经常把加以限制的这两个矩阵称为“类型矩阵”(pattern matrices)。

一些计量软件，如EViews ，有专门的估计SVAR AB 模型的对话选项。

我们可以通过文字来表达对A 、B 矩阵的约束条件，也可以直接创建含有约束条件的类型矩阵A 和B 。

短期约束条件
在许多情况下，对矩阵A 和B 施加的约束条件是限制这两个矩阵中的某些位置上的元素取特定的值。

这种直接令矩阵A 和B 中某些元素为特定值的约束条件称为短期约束条件。

为了方便说明，一般可以使用类型矩阵来说明短期约束条件的具体实现过程。

例如，以2个变量的VAR 模型为例，假设要限制矩阵A 为下三角矩阵并且主对角线元素为1，而约束B 为对角矩阵。

那么类型矩阵可以分别写成以下形式，即
101A NA ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，00NA B NA ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (9.34)
在大部分计量软件中，都可以比较容易地设立这样的类型矩阵。

例如，在EViews 中，在估计一个缩减式VAR 模型之后，选择“Estimate Structural Factorization ”选项后，在左下角处选中“Matrix ”选项，就会看到下面图9.1的对话框，其中矩阵选项对应的“Short-run patte ”对应的就是这里介绍的矩阵A 和B 。

图9.1 EViews中SVAR－矩阵选项对话窗口
要实现上述过程，具体做法可以是这样，先在EViews的工作文档中创建(9.34)这样的矩阵，选Object/New Object …，然后出现如图9.2示范的对话窗口，选择Matrix-Vector-Coef…，当然这时你需要给矩阵一个名字，然后将生成的对应矩阵名称输入图9.1中“A”和“B”对应的位置中之后就可以了。

图9.2 EViews中创建矩阵的对话窗口
另外，还可以在EViews中以文本的形式，直接输入类型矩阵的限制条件。

例如，在估计一个缩减式VAR模型之后，选择“Estimate
Structural Factorization ”选项后，在左下角处选中“Text ”选项，就会看到下面图9.3的对话框，然后可以在文本对话窗口输入以下命令：
matrix (2,2) pata
pata.fill (by=r) 1, 0, na, 1, matrix (2,2) patb = 0 patb(1,1) = NA patb(2,2) = NA
这样，同样可以实现类型矩阵A 和B 的短期约束条件。

图9.3 EViews 中SVAR －文本选项对话窗口
长期约束条件
上面已经介绍过，通过类型矩阵A 和B 实现t t A Be ε=的约束条件，属于短期约束。

而Blanchard and Quah (1989)提出了另外一种相对的约束条件，称为长期约束条件。

这种长期约束条件是基于结构扰动项的累积长期脉冲响应（accumulated long-run responses ）的性质设定的。

结构随机冲击项的累积长期脉冲响应可以通过(9.26)中的矩阵C 来刻画。

所以，所谓长期约束，实质上就是要限定短期条件下的矩阵 A 和B 与长期条件下的矩阵C 之间的关系。

而从(9.31)我们知道，
()t t AA L y Be = (9.35) 所以，
11(())()(())t t AA L AA L y AA L Be −−×= (9.36)
从而得到，
1(())t t y AA L Be −= (9.37)
基于以上分析可以证明，结构随机冲击项的累积长期脉冲响应给出以下等式关系
111ˆˆ()n p C A A A B −−=Ι−−− (9.38)
其中11ˆˆ()n p
A A −Ι−−− 是利用缩减式估计出的累积脉冲响应。

长期约束关系就是对矩阵C 中的元素加以限制，然后利用这些限
制条件以及C 与矩阵A 、B 的 关系(9.38)估计出矩阵A 和B 中的系数。

例如，常用的约束形式是设定,0i j C =，即
00NA C NA ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦ (9.39)
这个假设的含义是，第i 个变量对第j 个结构冲击项的反应从长期看是0。

如果使用比较灵活的矩阵运算工具软件，如GAUSS 等，长期约束的内部计算过程可能不会受到额外的限制。

但是如果使用既成的计量软件，如EViews ，在设立长期约束条件时需要注意，EViews 要求A 和B 中的限制条件均为线性的。

因次，在给定一个限制约束条件的矩阵C 后，EViews 内部算法会给出相应的SVAR 模型A 、B 矩阵中的系数，而无论如何限制矩阵C ，EViews 给出的结果中矩阵A 总是单位矩阵。

例如，我们利用第8章表8.5中对应的的美国GDPIPD 和FFR 数据构建的SVAR 模型，设定一个长期约束条件(9.39)，估计出的结果归纳在表9.1中。

容易看到，估计出的A 矩阵正是一个单位矩阵。

而如果使用其它更为灵活的计量工具软件，结果可能会有所不同。

表9.1 长期约束条件(9.39)对应的SVAR 模型的估计结果
Structural VAR Estimates Sample (adjusted): 1959Q4 2005Q2 Included observations: 183 after adjustments
Estimation method: method of scoring (analytic derivatives) Convergence achieved after 8 iterations
Structural VAR is over-identified (1 degrees of freedom) Model: Ae = Bu where E[uu']=I Restriction Type: long-run pattern matrix Long-run response pattern:
C(1) 0 0 C(2) Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C(1) 11.184 0.585 19.131 0.000 C(2) 15.254 0.797 19.131 0.000
Log likelihood -804.93 LR test for over-identification: Chi-square(1) 272.67 Probability 0.000 Estimated A matrix:
1.000 0.000 0.000 1.000 Estimated B matrix:
2.616 -0.917 -1.364 2.299
在实践中，如果使用EViews 软件，具体设立长期约束条件的做法是，先在工作文档中创建一个矩阵，例如矩阵C ，然后将有约束条件的元素设为0，其它设为NA 即可。

例如，假设我们考虑一个3个变量的SVAR 模型，我们希望限制第2个变量对第1个等式中的结构扰动项的冲击反应为0，而第3个变量对第2个等式中的结构扰动项的冲击反应为0，那么长期约束条件对应的矩阵C 就可以写成如下形式，即
000NA NA NA C NA NA NA ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
(9.40)
在此我们需要再次强调，使用长期约束条件时，EViews 在计算过程中同时限定了矩阵A 必须为单位矩阵，对于n 变量的SVAR ，这实质上又给出了2n 个限制条件。

所以，当在EViews 中设立长期约束条件时，实际上对矩阵C 的约束条件，只要 有222[2(1)/2](1)/2n n n n n n n −+−=−+个就满足了SVAR 模型的可识别条件。

所以，在上例中，3变量的SVAR 系统，我们实际上只需要在矩阵C 中设立233(31)/23−+=个限制条件。

例如，如果我们现在重新对表9.1对应的SVAR 模型进行估计，使用的约束条件是
0NA NA C NA ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦ (9.41)。