第三章 量子力学中的角动量
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2
j1 , m1
j2 , m2 , J 2 Z j2 , m2 = m2
j2, m2
则无耦合表象中的基矢 j1 , m1 , j 2 , m 2 是
j1 , m1 , j 2 , m 2 = j1 , m1 j 2 , m 2
2、耦合表象 角动量 J1 和 J 2 之和是
J = J1 + J 2
容易证明， J 也是角动量，也满足
j1 , j 2 , j , m 按无耦合表象的基矢 j1 , m1 , j 2 , m 2 展开，得
j1 , j2 , j , m =
m1 , m2
∑
j1 , m1 , j2 , m2
j1 , m1 , j2 , m2 j1 , j2 , j , m
上式中的系数 j1 , m1 , j 2 , m 2 j1 , j 2 , j , m 称为克莱布希一高登(Clebsch 一 Gordon)系数。以算 符式 J z = J1z + J 2 z 分别作用于上式的两端，得
J×J =i J
2 而且 J 2 和 J Z 与 J12 、 J 2 等满足下述对易关系式
2 2 2 2 2 2 2 J , J1 = ( J1 + J 2 ) , J 1 = J1 + J 2 + 2 J1 J 2 , J 1 =0
因为 J 12 与向量 J 1 的任何分量对易。同理
35
1、实验基础 施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一，他们的 实验说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转.由于这是处于 s 态的氢原子，轨道角动量为零,s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁 矩.另外，由于实验上只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量 子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为 M，则它在沿 z 方向的外磁场 B 中的势能 为
M sz e =− Sz m
这个比值称为电子自旋的回转磁比率。另外，由于轨道角动量和轨道磁矩满足
ML = −
因而轨道运动的回转磁比率是 − 2、电子的自旋算符和自旋函数
e L 2m
e 。自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。 2m
36
电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色: (a) 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。 (b) 它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当 → 0 时，自旋效应消失 这可以从错误！未找到引用源。式看出。 (c) 它是角动量， 满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向 的投影只取± / 2 两个值。 （1） 、自旋算符 自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。自旋既然是角动量， 自旋算符必须满足
J1 × J 1 = i J 1 , J 2 × J 2 = i J 2
以及对易关系
38
2 2 J1 , J1i = 0, J 2 , J 2i =0
假定 J1 和 J 2 是两个独立的角动量，因此 J1 和 J 2 对易
[ J1 , J 2 ] = 0
2 J12 , J 2 , J1Z , J 2 Z 是四个两两相互对易的算符，可以用它们的共同的本征函数系构成一个表象，
ˆ=S ˆ +S ˆ （1） 、S 1 2
S1z 的本征态为 χ1/ 2 ( s1z ) ， χ −1/ 2 ( s1z ) S 2 z 的本征态为 χ1/ 2 ( s2 z ) ， χ −1/ 2 ( s2 z )
当两粒子体系的哈密顿算符不含自旋时，两个自旋为 1/2 的粒子的总的自旋波函数是每 个粒子自旋波函数的乘积。
中，有
σx =
相应地
0 1 0 − i 1 0 σy = σz = 0 −1 1 0 i 0
Sx =
0 1 0 − i 1 0 ,Sy = , Sz = 2 1 0 2 i 0 2 0 1
Sx2 = S y2 = Sz2 =
2
2
/ 4 ，即
/4
S 2 = Sx2 + S y2 + Sz 2 =
3 4
2
若将任何角动量平方算符的本征值记为 J 2 = j ( j + 1) 量子数 s 满足 S 2 = s ( s + 1) （2） 、泡利矩阵 为方便起见，引入算符 σ （无量纲） ，令 S= σ 2 即
39
J 2 j1 , j2 , j , m = j ( j + 1) J z j1 , j2 , j , m = m
2
j1 , j2 , j , m
j1 , j2 , j , m
显然，总角动量量子数 j，它的 z 分量量子数 m 与 j1 , j 2 , m1 , m 2 有关，为了找出它们之间 的关系，首先必须将耦合表象和无耦合表象这两个表象联系起来。为此，将耦合表象的基矢
称为无耦合表象。 这个无耦合表象的基矢必定是 ( J12 J1Z ) 的共同本征矢与 ( J 22 J 2 Z ) 的共同本征矢 的乘积。即若
J12 j1 , m1 = j1 ( j1 + 1)
2 J2 j2 , m2 = j2 ( j2 + 1)
2
j1 , m1 , J1Z j1 , m1 = m1
J Z j1 , j2 , j , m =
m1 , m2
∑ (J
1Z
+ J 2 Z ) j1 , m1 , j2 , m2 × j1 , m1 , j2 , m2 j1 , j2 , j , m
于是有
m = m1 + m2
上式可写成
j1 , j2 , j , m = ∑ j1 , m1 , j2 , m − m1
L=r×p
其中， r 表示质点到原点的矢径， p = mv 表示动量。注意这里涉及的是矢量的叉乘。 L 的大 小为 L = mvr sin θ ，θ 为速度与质点到原点位移的夹角，即速度与旋转半径方向的夹角。在不 受外界作用时，角动量是守恒的。 二、量子力学的角动量 （一） 、轨道角动量 量子力学的基本对易式：
[ xi , p j ] = i δ ij
下面我们讨论一个非常重要的物理量,即轨道角动量.轨道角动量 L 是与经典力学中的角动量
r × P 相对应的算符: L=r×p [ Lx , Ly ] = i Lz ， [ Ly , Lz ] = i Lx ， [ Lz , Lx ] = i Ly
（二） 、自旋角动量 电子有一种内禀的角动量， 称为自旋角动量， 它源于电子的内禀性质,一种非定域的性质， 一种量级为相对论性的效应在量子力学中，自旋是与粒子相关的内禀角动量。自旋角动量是 系统的一个可观测量，它在空间中的三个分量和轨道角动量一样满足相同的对易关系。
Sz =
2
(2) 每个电子均具有自旋磁矩 M s ，它与自旋角动量之间的关系是
Ms = −
e S m
式中，电子带的电荷是 −e ,质量是 m。由于 s 取值量子化，因此，Ms 在空间任意方向上的投影 也只能取两个值。
M sz = ±
e = ±M B 2m
MB 是玻尔磁子。电子自旋磁矩和自旋角动量之比是
m1
j1 , m1 , j2 , m − m1 j1 , j2 , j , m
克莱布希-戈尔登系数其实就是幺正变换所对应的幺正矩阵的矩阵元。 二、自旋单态和自旋三重态 讨论两个自旋都是 1/2 的粒子，自旋和自旋之间的耦合，它适用于两个电子的耦合，也 适用于一个电子和另一个自旋为 1/2 的粒子的耦合。当然，对两个电子，要考虑全同性。 1、总自旋角动量算符与对易关系
S×S =i S
写成分量形式是
S x S y − S y S x = i S z S y S z − S z S y = i S x S z S x − S x S z = i S y
由于 S 在空间中任意方向的投影只能取± / 2 两个值。 因此， 任意选定 x、 y、 z 坐标后， Sx , S y , Sz 三个算符的本征值都是± / 2 ； S x 2 , S y 2 , S z 2 的值都是
3、耦合表象（ S 2 , S z ）的基矢 （ S 2 , S z ）的本征态可以由（ S1z ，S 2 z ）的本征态 χ1/ 2 ( s1z ) ，χ −1/ 2 ( s1z ) ，χ1/ 2 ( s2 z ) ，χ −1/ 2 ( s2 z ) 组合得到
2 2 J , J2 =0
另外显然还存在
2 J Z , J12 = 0, JZ , J2 =0
J 2, JZ =0
这些对易关系表明 J12 , J 22 , J 2 , J Z 这四个算符两两对易，它们具有共同的正交、归一、完备、封 闭的本征函数系。记相应于量子数 j1 j 2 , j, m 的本征函数为 j1 , j 2 , j , m 有
χ ( s1z , s2 z ) = χ1 ( s1z ) χ 2 ( s2 z )
（2） 、对易关系 2、耦合表象（ S1z , S2 z ）的基矢
40
χ (1) = χ1/ 2 ( s1z ) χ1/ 2 ( s2 z ) χ (2) = χ −1/ 2 ( s1z ) χ −1/ 2 ( s2 z ) χ (3) = χ1/ 2 ( s1z ) χ −1/ 2 ( s2 z ) χ (4) = χ −1/ 2 ( s1z ) χ1/ 2 ( s2 z )
第三章
量子力学的角动量
角动量理论在量子力学中的重要性远超过在经典力学，其主要原因在于两点：其一，普 朗克常量 与角动量量纲相同，Bohr 假说中角动量的单位是 = h / 2π ；其二，量子力学有与 经典力学完全不同的“态”和“线性叠加”的概念。 无数实验表明，除静质量，电荷外，自旋和内禀磁矩也是标志各种粒子（电子，质子， 中子等）的很重要的物理量。特别是自旋是半奇数或整数（包括零）就决定粒子遵守 Fermi 统计或 Bose 统计。 §3.1 量子力学的角动量 一、经典力学中的角动量 角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，角动量是矢量, 通常写 做L.
σ x , σ y , σ z 的本征值为 ± 1 ，而且
σ x 2 = σ y 2 = σ z 2 =1
σ y , σ z = 0, [σ z , σ x ]+ = 0 σ x , σ y + = 0 +
σ x , σ y , σ z 之间相互反对易。 σ x , σ y , σ z 算符的矩阵形式。由于 S 2 与 S z 对易（或称 σ 2 与 σ z 对易） ，在它们的共同表象
U = − M ⋅ B = − MB cos θ
Baidu Nhomakorabea
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按错误！未找到引用源。式，原子在 z 方向所受的力是
Fz = − ∂U ∂B cos θ =M ∂z ∂z
实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于 cos θ =+1 和-1 两个值。 为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电 子具有自旋角动量的说法，他们认为: (1) 每个电子都具有自旋角动量 S , S 在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间 的任意方向取为 z 方向，则
§3.2 角动量耦合初步 在同一个原子内，电子既有自旋角动量，也有轨道角动量，因此很自然地，总要讨论两 个角动量之问的耦合。对于由多个粒子组成的体系，只要粒子具有角动量，总存在角动量之 间耦合的问题。而且，有许多问题，在耦合后得出的总角动量表象中讨论会更方便。两个具 体角动量的耦合： 自旋与轨道角动量的耦合 j = l + s ； 自旋与自旋角动量的耦合 S = s1 + s2 。 一、无耦合表象和耦合表象 1、无耦合表象 讨论两个角动量 J1 和 J 2 的耦合，J1 和 J 2 既可以是自旋角动量，也可以是轨道角动量或其 他角动量。按定义 J1 和 J 2 满足
2
2
， j 称为角动量量子数，则自旋角动量
=
3 4
2
,
s = 1/ 2
Sx = σ x , S y = σ y , Sz = σ z 2 2 2
σ 满足的对应关系是
σ × σ = 2iσ
37
写成分量形式是
σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z σ yσ z − σ zσ y = 2iσ x σ σ − σ σ = 2iσ x z y z x
j1 , m1
j2 , m2 , J 2 Z j2 , m2 = m2
j2, m2
则无耦合表象中的基矢 j1 , m1 , j 2 , m 2 是
j1 , m1 , j 2 , m 2 = j1 , m1 j 2 , m 2
2、耦合表象 角动量 J1 和 J 2 之和是
J = J1 + J 2
容易证明， J 也是角动量，也满足
j1 , j 2 , j , m 按无耦合表象的基矢 j1 , m1 , j 2 , m 2 展开，得
j1 , j2 , j , m =
m1 , m2
∑
j1 , m1 , j2 , m2
j1 , m1 , j2 , m2 j1 , j2 , j , m
上式中的系数 j1 , m1 , j 2 , m 2 j1 , j 2 , j , m 称为克莱布希一高登(Clebsch 一 Gordon)系数。以算 符式 J z = J1z + J 2 z 分别作用于上式的两端，得
J×J =i J
2 而且 J 2 和 J Z 与 J12 、 J 2 等满足下述对易关系式
2 2 2 2 2 2 2 J , J1 = ( J1 + J 2 ) , J 1 = J1 + J 2 + 2 J1 J 2 , J 1 =0
因为 J 12 与向量 J 1 的任何分量对易。同理
35
1、实验基础 施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一，他们的 实验说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转.由于这是处于 s 态的氢原子，轨道角动量为零,s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁 矩.另外，由于实验上只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量 子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为 M，则它在沿 z 方向的外磁场 B 中的势能 为
M sz e =− Sz m
这个比值称为电子自旋的回转磁比率。另外，由于轨道角动量和轨道磁矩满足
ML = −
因而轨道运动的回转磁比率是 − 2、电子的自旋算符和自旋函数
e L 2m
e 。自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。 2m
36
电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色: (a) 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。 (b) 它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当 → 0 时，自旋效应消失 这可以从错误！未找到引用源。式看出。 (c) 它是角动量， 满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向 的投影只取± / 2 两个值。 （1） 、自旋算符 自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。自旋既然是角动量， 自旋算符必须满足
J1 × J 1 = i J 1 , J 2 × J 2 = i J 2
以及对易关系
38
2 2 J1 , J1i = 0, J 2 , J 2i =0
假定 J1 和 J 2 是两个独立的角动量，因此 J1 和 J 2 对易
[ J1 , J 2 ] = 0
2 J12 , J 2 , J1Z , J 2 Z 是四个两两相互对易的算符，可以用它们的共同的本征函数系构成一个表象，
ˆ=S ˆ +S ˆ （1） 、S 1 2
S1z 的本征态为 χ1/ 2 ( s1z ) ， χ −1/ 2 ( s1z ) S 2 z 的本征态为 χ1/ 2 ( s2 z ) ， χ −1/ 2 ( s2 z )
当两粒子体系的哈密顿算符不含自旋时，两个自旋为 1/2 的粒子的总的自旋波函数是每 个粒子自旋波函数的乘积。
中，有
σx =
相应地
0 1 0 − i 1 0 σy = σz = 0 −1 1 0 i 0
Sx =
0 1 0 − i 1 0 ,Sy = , Sz = 2 1 0 2 i 0 2 0 1
Sx2 = S y2 = Sz2 =
2
2
/ 4 ，即
/4
S 2 = Sx2 + S y2 + Sz 2 =
3 4
2
若将任何角动量平方算符的本征值记为 J 2 = j ( j + 1) 量子数 s 满足 S 2 = s ( s + 1) （2） 、泡利矩阵 为方便起见，引入算符 σ （无量纲） ，令 S= σ 2 即
39
J 2 j1 , j2 , j , m = j ( j + 1) J z j1 , j2 , j , m = m
2
j1 , j2 , j , m
j1 , j2 , j , m
显然，总角动量量子数 j，它的 z 分量量子数 m 与 j1 , j 2 , m1 , m 2 有关，为了找出它们之间 的关系，首先必须将耦合表象和无耦合表象这两个表象联系起来。为此，将耦合表象的基矢
称为无耦合表象。 这个无耦合表象的基矢必定是 ( J12 J1Z ) 的共同本征矢与 ( J 22 J 2 Z ) 的共同本征矢 的乘积。即若
J12 j1 , m1 = j1 ( j1 + 1)
2 J2 j2 , m2 = j2 ( j2 + 1)
2
j1 , m1 , J1Z j1 , m1 = m1
J Z j1 , j2 , j , m =
m1 , m2
∑ (J
1Z
+ J 2 Z ) j1 , m1 , j2 , m2 × j1 , m1 , j2 , m2 j1 , j2 , j , m
于是有
m = m1 + m2
上式可写成
j1 , j2 , j , m = ∑ j1 , m1 , j2 , m − m1
L=r×p
其中， r 表示质点到原点的矢径， p = mv 表示动量。注意这里涉及的是矢量的叉乘。 L 的大 小为 L = mvr sin θ ，θ 为速度与质点到原点位移的夹角，即速度与旋转半径方向的夹角。在不 受外界作用时，角动量是守恒的。 二、量子力学的角动量 （一） 、轨道角动量 量子力学的基本对易式：
[ xi , p j ] = i δ ij
下面我们讨论一个非常重要的物理量,即轨道角动量.轨道角动量 L 是与经典力学中的角动量
r × P 相对应的算符: L=r×p [ Lx , Ly ] = i Lz ， [ Ly , Lz ] = i Lx ， [ Lz , Lx ] = i Ly
（二） 、自旋角动量 电子有一种内禀的角动量， 称为自旋角动量， 它源于电子的内禀性质,一种非定域的性质， 一种量级为相对论性的效应在量子力学中，自旋是与粒子相关的内禀角动量。自旋角动量是 系统的一个可观测量，它在空间中的三个分量和轨道角动量一样满足相同的对易关系。
Sz =
2
(2) 每个电子均具有自旋磁矩 M s ，它与自旋角动量之间的关系是
Ms = −
e S m
式中，电子带的电荷是 −e ,质量是 m。由于 s 取值量子化，因此，Ms 在空间任意方向上的投影 也只能取两个值。
M sz = ±
e = ±M B 2m
MB 是玻尔磁子。电子自旋磁矩和自旋角动量之比是
m1
j1 , m1 , j2 , m − m1 j1 , j2 , j , m
克莱布希-戈尔登系数其实就是幺正变换所对应的幺正矩阵的矩阵元。 二、自旋单态和自旋三重态 讨论两个自旋都是 1/2 的粒子，自旋和自旋之间的耦合，它适用于两个电子的耦合，也 适用于一个电子和另一个自旋为 1/2 的粒子的耦合。当然，对两个电子，要考虑全同性。 1、总自旋角动量算符与对易关系
S×S =i S
写成分量形式是
S x S y − S y S x = i S z S y S z − S z S y = i S x S z S x − S x S z = i S y
由于 S 在空间中任意方向的投影只能取± / 2 两个值。 因此， 任意选定 x、 y、 z 坐标后， Sx , S y , Sz 三个算符的本征值都是± / 2 ； S x 2 , S y 2 , S z 2 的值都是
3、耦合表象（ S 2 , S z ）的基矢 （ S 2 , S z ）的本征态可以由（ S1z ，S 2 z ）的本征态 χ1/ 2 ( s1z ) ，χ −1/ 2 ( s1z ) ，χ1/ 2 ( s2 z ) ，χ −1/ 2 ( s2 z ) 组合得到
2 2 J , J2 =0
另外显然还存在
2 J Z , J12 = 0, JZ , J2 =0
J 2, JZ =0
这些对易关系表明 J12 , J 22 , J 2 , J Z 这四个算符两两对易，它们具有共同的正交、归一、完备、封 闭的本征函数系。记相应于量子数 j1 j 2 , j, m 的本征函数为 j1 , j 2 , j , m 有
χ ( s1z , s2 z ) = χ1 ( s1z ) χ 2 ( s2 z )
（2） 、对易关系 2、耦合表象（ S1z , S2 z ）的基矢
40
χ (1) = χ1/ 2 ( s1z ) χ1/ 2 ( s2 z ) χ (2) = χ −1/ 2 ( s1z ) χ −1/ 2 ( s2 z ) χ (3) = χ1/ 2 ( s1z ) χ −1/ 2 ( s2 z ) χ (4) = χ −1/ 2 ( s1z ) χ1/ 2 ( s2 z )
第三章
量子力学的角动量
角动量理论在量子力学中的重要性远超过在经典力学，其主要原因在于两点：其一，普 朗克常量 与角动量量纲相同，Bohr 假说中角动量的单位是 = h / 2π ；其二，量子力学有与 经典力学完全不同的“态”和“线性叠加”的概念。 无数实验表明，除静质量，电荷外，自旋和内禀磁矩也是标志各种粒子（电子，质子， 中子等）的很重要的物理量。特别是自旋是半奇数或整数（包括零）就决定粒子遵守 Fermi 统计或 Bose 统计。 §3.1 量子力学的角动量 一、经典力学中的角动量 角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量，角动量是矢量, 通常写 做L.
σ x , σ y , σ z 的本征值为 ± 1 ，而且
σ x 2 = σ y 2 = σ z 2 =1
σ y , σ z = 0, [σ z , σ x ]+ = 0 σ x , σ y + = 0 +
σ x , σ y , σ z 之间相互反对易。 σ x , σ y , σ z 算符的矩阵形式。由于 S 2 与 S z 对易（或称 σ 2 与 σ z 对易） ，在它们的共同表象
U = − M ⋅ B = − MB cos θ
Baidu Nhomakorabea
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按错误！未找到引用源。式，原子在 z 方向所受的力是
Fz = − ∂U ∂B cos θ =M ∂z ∂z
实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于 cos θ =+1 和-1 两个值。 为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电 子具有自旋角动量的说法，他们认为: (1) 每个电子都具有自旋角动量 S , S 在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间 的任意方向取为 z 方向，则
§3.2 角动量耦合初步 在同一个原子内，电子既有自旋角动量，也有轨道角动量，因此很自然地，总要讨论两 个角动量之问的耦合。对于由多个粒子组成的体系，只要粒子具有角动量，总存在角动量之 间耦合的问题。而且，有许多问题，在耦合后得出的总角动量表象中讨论会更方便。两个具 体角动量的耦合： 自旋与轨道角动量的耦合 j = l + s ； 自旋与自旋角动量的耦合 S = s1 + s2 。 一、无耦合表象和耦合表象 1、无耦合表象 讨论两个角动量 J1 和 J 2 的耦合，J1 和 J 2 既可以是自旋角动量，也可以是轨道角动量或其 他角动量。按定义 J1 和 J 2 满足
2
2
， j 称为角动量量子数，则自旋角动量
=
3 4
2
,
s = 1/ 2
Sx = σ x , S y = σ y , Sz = σ z 2 2 2
σ 满足的对应关系是
σ × σ = 2iσ
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写成分量形式是
σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z σ yσ z − σ zσ y = 2iσ x σ σ − σ σ = 2iσ x z y z x