定积分的概念与性质

当 λ = max{xi}→0 + 时,即 n→ + ∞ 有 → → 1 n = 1. lim
n →+∞
e
1 n
1
于是有
1 n 1 e x dx = lim ∑ f (ξi )xi = lim (1 e 1 ) 1 n ∫0 λ →0 n →+∞ i =1 e n 1 1 n = 1 e 1. = (1 e 1 ) lim
A y y = f (x)
B
O α = x0 x1
xi-1 xi -
x n= b x
(2) 近似代替 ) ( ) 在每个小区间 [xi-1, xi](i = 1, 2, , n)上取一点 ξi (xi-1 ≤ξi ≤ xi), 以 f(ξi)为高,xi 为底作小矩形, ( 为高, 为底作小矩形, 用小矩形面积 f (ξi)xi 近似代替相应的小曲边梯形面 积 Ai , 即 Ai ≈ f (ξi) xi (i = 1, 2, , n) .
为了计算方便起见, 所以 e-x 在 [0, 1] 上可积 . 为了计算方便起见, ] 把区间 [0, 1] 等分成 n 份, 分点为 ]
x0 = 0, x1 = 1 2 i n , x2 = , , xi = , , xn = = 1, n n n n
每个子区间的长度都是
i 1 上都取左端点为 ξi ,即 ξi = , 于是和式为 n
1 xi = , n
在每个子区间
i 1 i n , n
∑ f (ξ )x
i= i =1 i
n
i
= ∑e
i =1
n
i 1 n
1 n
n 1 n
1 = (1 + e + e + + e n
1 1 (e ) = 1 n 1 en
1 n n
1 n
2 n
)
1 = (e 1) 1 n , en 1
高等数学课件
制做人: 制做人: 常胜利 顾永宏 孙焕志
第六章 定 积 分及其应用
第一节 定积分的概念
一,引进定积分概念的两个例子 二,定积分的定义 三,定积分的几何意义
一,引进定积分概念的两个例子
1.曲边梯形的面积 .
] 曲边梯形:在直角坐标系下, 由闭区间[ 曲边梯形:在直角坐标系下, 由闭区间[a, b] 上的连续曲线 y = f (x) ≥ 0, 直线 x = a,x = b 与 , , x 轴围成的平面图形 AabB.
i =1 i =1 n n
(4) 取极限 ) 无限增加, 当分点个数 n 无限增加,且小区间长度的最大值 λ(即λ = max{xi})趋近于 0 时,上述和式的极限就是 ) 曲边梯形面积的精确值, 曲边梯形面积的精确值, 即
A = lim ∑ f (ξi ) xi .
λ →0
i =1 n
2.变速直线运动的路程 .
(2) 近似代替 ) 在每个小区间上任意取一点 ξi (ti-1 ≤ ξi ≤ ti), 用 ξi 点的速度 v (ξi) 近似代替物体在小区间上的 速度, 速度,用乘积 v (ξi) ti 近似代替物体在小区间 [ti-1 , ti ] 上所经过的路程 si , 即 si ≈ v(ξi) ti (i =1, 2, , n) .
∫
b
a
f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du.
a a
b
b
(4) 该定义是在积分下限 a 小于积分上限 b ) 的 情况下给出的, 情况下给出的,如果 a > b ,同样可给出定积分
∫
b
过来写 a = x0 > x1 > x2 > > xi-1 > xi > > xn-1 > xn = b 即可, 即可, 由于 xi-1 > xi , xi = xi - xi-1 < 0, 于是有 , -
(2) 可以证明,闭区间上连续函数或只有有 ) 可以证明,闭区间上连续函数或只有有 限个第一类间断点的函数是可积的. 限个第一类间断点的函数是可积的 它是由函数 f (x) (3) 因为定积分是和式极限, ) 因为定积分是和式极限, 与区间[ ]所确定的,因此, 与区间[a, b]所确定的,因此,它与积分变量的记 号无关, 号无关, 即
∫
b
a
f ( x)dx, 即
∫
b
a
f ( x)dx = lim ∑ f (ξi )xi .
λ →0
i =1
n
其中: 其中: f (x) :被积函数; 被积函数; f (x)dx:被积表达式或称被积分式; :被积表达式或称被积分式; x:积分变量; :积分变量; [a, b] :积分区间; ] 积分区间; a 与 b:积分下限与上限 . : 符号
根据以上分析,可按下面四步计算曲边梯形面积 根据以上分析,可按下面四步计算曲边梯形面积. (1) 分割 ) 在区间[ ] 个分点: 在区间[a, b]内任意插入 n – 1 个分点: a = x0 < x1 < x2 < < xi-1 < xi < < xn-1 < xn = b, , 把区间[ 个小区间: 把区间[a, b]分成 n 个小区间: ] [x0, x1],[x1, x2], ,[xi-1, xi ], ,[xn-1, xn]. , , , 这些小区间的长度分别记为 xi = xi – xi -1 (i = 1, 2, , n). 过每一分点作平行于 y 轴的直线, 轴的直线, 它 们 把 曲 边 梯 个小曲边梯形. 形分成 n 个小曲边梯形
用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积, 用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积, 进而用所有小矩形面积之和近似代替整个曲边 梯形面积. 显然,分割越细, 近似程度就越高, 梯形面积. 显然,分割越细, 近似程度就越高, 当无限细分时, 当无限细分时, 则所有小矩形面积之和的极 限就是曲边梯形面积的精确值. 限就是曲边梯形面积的精确值
y y = f (x) B
A
ξ1
ξ2
ξi
xi-1 xi -
ξn
x n= b x
O α = x0 x1
(3) 求和 ) n 个小矩形面积加起来, 把 n 个小矩形面积加起来, 得和式 ∑ f (ξi ) xi , i =1 它就是曲边梯形面积的近似值, 它就是曲边梯形面积的近似值, 即
A = ∑ Ai ≈ ∑ f (ξi ) xi .
(3) 求和 )
s = ∑ si ≈ ∑ v(ξi ) ti .
i =1 i =1 n n
(4) 取极限 )
s = lim ∑ v(ξi ) ti .
λ →0
i =1
n
二,定积分的定义
定义 设函数 f (x) 在区间 [a, b] 上有定义. ] 上有定义. 任意取分点 a = x0 < x1 < x2 < < xi-1 < xi < < xn-1 < xn = b 把区间[ 把区间[a, b]分成 n个小区间 [xi-1, xi], 称为子区间, ] 个小区间 , 称为子区间, 其长度记为 xi ≈ xi – xi - 1 (i = 1, 2, , n) 在每个子区间 [xi-1, xi]上, 任取一点 ξi (xi-1 ≤ ξi ≤ xi ), , 得相应的函数值 f (ξi ), 作乘积 , f (ξi ) xi (i = 1, 2, , n), ,
∫
b
a
f ( x)dx 读作函数 f (x) 从 a 到 b 的定积分 的定积分.
关于定积分定义的几点说明: 关于定积分定义的几点说明: (1) 所谓和式极限 lim ∑ f (ξi )xi 存在 ) λ →0
i =1 n
] (即函数 f (x) 可积), 可积) 是指无论对区间 [a, b] 怎样分法, 怎样分法, 也不论对点 ξi (i = 1, 2 , , n) 怎样取法, 极限都存在且有相同的极限值 怎样取法, 极限都存在且有相同的极限值.
设一物体作直线运动, 设一物体作直线运动, 已知速度 v = v(t) 是时间 () t 的连续函数,求在时间间隔 [T1,T2] 上物体所经 的连续函数, 过的路程 s . (1) 分割 ) 个分点: 在时间间隔 [T1,T2]内任意插入 n 1 个分点: T1 = t0 < t1 < t2 < < ti-1 < ti < < tn-1 < tn = T2 , 个小区间: 把[T1,T2]分成 n 个小区间: [t0, t1],[t1, t2], ,[ti-1, ti ], ,[tn-1, tn]. , , , 这些小区间的长度分别为: 这些小区间的长度分别为: ti = ti – ti – 1 (i = 1, 2, , n) . 段小路程: 相应的路程 s 被分为 n 段小路程:si (i = 1, 2, , n) .
y B y = f (x) A x=a O a x=b b x
是连续的,所以, 曲线 y = f (x) 是连续的,所以,当点 x 在区间 [a, b] 上某处变化很小时,则相应的高 f (x) 也就变 ] 上某处变化很小时, 化不大. 基于这种想法, 化不大 基于这种想法, 可以用一组平行于 y 轴的直线 把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形 , 把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形, 只要分割得较细, 每个小曲边梯形很窄, 则 其 高 只要分割得较细, 每个小曲边梯形很窄, f (x) 的变化就很小 这样,可以在每个小曲边梯形 的变化就很小. 这样, 上作一个与它同底, 底上某点函数值为高的矩形, 上作一个与它同底, 底上某点函数值为高的矩形,
A = ∫ f ( x)dx;
a
b
(2) 变速直线运动的路程 s 是速度函数 v (x) ) 上的定积分, 在时间间隔 [T1,T2] 上的定积分, 即
S = ∫ v(t )dt.
T1
T2
例1 解
用定义计算
∫
1
0
e x dx.
] 上连续, 被积函数 f (x) = ex, 在区间 [0, 1] 上连续,
a
此时, f ( x)dx 的定义, 此时 , 只要把插入分点的顺序反
∫
b
a
f ( x)dx = ∫ f (t )dx.
b
a
特殊地, 特殊地,当 a = b 时,规定 ∫a f ( x)dx = 0.
a
根据定积分的定义,上面两个例子都可以表 根据定积分的定义, 示为定积分: 示为定积分: (1) 曲边梯形面积 A 是曲边函数 f (x) 在区间 ) [a, b]上的定积分, 即 ]上的定积分,
即 ∫ f ( x)dx = A.
a b
y a O b x
A y=f (x) B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时, 定积分 ] 上有正有负时,
∫
b
a
源自文库
f ( x)dx 在几何上表示 x 轴上方的曲边梯形面
积减去 x 轴下方的曲边梯形面积
y y = f (x) a A1 A B A2 A3 b x
n →+∞
e
1 n
1
三,定积分的几何意义
当 f (x) > 0 时, 定积分在几何上表示曲边 y = f (x) 定积分在几何上表示曲边 在区间 [a, b] 上方的曲边梯形面积,∫ f ( x)dx = A. ] 上方的曲边梯形面积,
a b
轴下方, 如果 f (x) < 0 ,曲边梯形在 x 轴下方, 此时该定积分为负值, 它在几何上表示 x 轴下方 的曲边梯形面积是负值, 的曲边梯形面积是负值,
∫
b
a
f ( x)dx = A1 + A2 A3 .
高等数学课件
制做人: 制做人: 常胜利 顾永宏 孙焕志
�
把所有乘积加起来, 把所有乘积加起来,得和式
∑ f (ξ ) x ,
i =1 i i
n
无限增大, 当 n 无限增大, 且子区间的最大长度 λ (即 λ = max{xi }) 趋于零时, 如果上述和式的极限存 ) 趋于零时, 在, 则称函数 f (x) 在区间[a, b]上可积, 并将 在区间[ ]上可积, 此极限值称为函数 f (x) 在 [a,b] 上的定积分,记作 ] 上的定积分,