4.2 导数的乘法与除法法则

2

x cos x sin x x
2
.
（2）函数 y
x
2
是函数 f（x）=x2和函数g（x）
=lnx之商，根据导数公式表分别得出
ln x
f ( x ) 2 x , g ( x )
由求导的除法法则得
x
2
1 x
.
(
ln x
)
2x ln x x (ln x)
2
2
f (1)
.
曲线f (x)
2 ln x上点（ 1, 0）处的切线方程为
x
y
(x 1).
1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( D )
A．ab B．－a(a－b)
C ．0
D ．a －b
sinx 2．设 y＝ ，－π<x<π，当 y′＝2 时，x 等于( 1＋cosx 1 A．± π 3 1 C．± π 4 1 B．± π 6 2 D．± π 3
f (x) f (x)g(x) f (x)g (x) . 2 g (x) g(x)
特别地，若 g ( x ) k 时，有 kf ( x ) kf ( x ) .

【即时训练】
求下列函数的导数 (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
x－ 1 （2）y＝ . x＋ 1
由求导的乘法法则得
x
2
ln x sin x

2x ln x sin x x (
2 2
1 x
cos x)
x 2x ln x 2x sin x x cos x.
（2）函数
y
cos x x x
2
可以看成是函数f（x）=cosx-x
与g(x)=x2的商.由导数公式表及差函数的求导法则分别
2
因此，x 2 f ( x ) 的导数为
x f (x ) (x ) f (x ).
2
2
【抽象概括】
是
f ( x ) 和 g ( x ) ，我们有
比较与加减 法则的不同
一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别
[ f ( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ).
解析：
(1)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝ [(x ＋ 1)′(x ＋ 2) ＋ (x ＋ 1)(x ＋ 2)′](x ＋ 3) ＋ (x ＋ 1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11； 解法2：因为(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， 所以y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋ 6)′＝3x2＋12x＋11；
2
(1)y x (ln x sin x);
(2)y
cos x x x
2
.
解：（1）函数y=x2(ln x+sin x)是函数f（x）=x2 与g（x）=ln x+sin x的积，由导数公式表及和函 数的求导法则分别得出
f ( x ) 2 x , g ( x ) 1 x cos x
例2 求下列函数的导数：
(1)y sin x x ; (2)y x
2
ln x
.
解 （1）函数 y
sin x x
是函数f（x）=sin x与g（x）
=x之商，根据导数公式表分别得出
f ( x ) cos x , g ( x ) 1 .
由求导的除法法则得
( sin x x ) cos x x sin x 1 x
4.2 导数的乘法与除法法则
前面学习了导数的加法与减法法则，下面进行
复习回顾：
[ f ( x ) g ( x )]
f ( x ) g ( x )
对于导数的乘法与除法法则，我们能否给出这
样的结论呢？
f ( x) g ( x)
×

f ( x) f ( x ) f ( x ) g ( x ), g ( x ) g ( x)
回顾本节课的收获
导数的乘法与 除法法则
导数乘法、除 法公式
导数四则运算 法则的灵活运 用
应用导数运算 法则求曲线切 线
×

答案是否定的，那么如何求导数的乘法与除法？请
进入本节课的学习！
探究点1
导数乘法公式的推导应用
2
设函数y f (x) 在x 0 处的导数为f (x 0 ), g(x) x . 我们来求y f (x)g(x) x f (x) 在x 0 处的导数.
2
提示： 计算导数的步骤 求导的三个步骤： 求y 求
例1 求下列函数的导数：
(1) y x e ; ( 2 ) y
2 x
x s in x ;(3 )y = x ln x .
解：（1）函数y=x2ex是函数f（x）=x2与g（x） =ex之积，由导数公式表分别得出
f (x ) 2x, g (x ) e .
x
根据两函数之积的求导法则，可得
1－sin x 3．若 f (x )＝ ，则 x
π－1 2 π f ′(π )＝________.
(1－sinx)′x－(x)′(1－sinx) 【解析】f′(x)＝ x2 －xcosx－1＋sinx ＝ x2 －πcosπ－1＋sinπ π－1 所以 f′(π)＝ ＝ 2 . π2 π
4.求曲线y=xlnx平行于x-y+1=0的切线方程.
2 2 2 2 2 2

(x 1)
.
探究点3
应用导数运算法则求曲线切线
f ( x) 1 1 x x 2 ln x 上点（1,0）处的
x
例4 求曲线
切线方程.
解：首先求出函数 f ( x ) 的导函数.
Βιβλιοθήκη Baidu
1 1
x x
2 ln x
x
根据导数公式表及导数的四则运算法则可得
f ( x ) (1 x )(1 x ) (1 (1 x)
y x
求 lim
y x
x 0
解析：给定自变量x0的一个改变量△x，则函数值y的 改变量为
y x0 x f ( x0 x ) x0 f ( x0 ),
2 2
相应的平均变化率可写成 y x ( x0 x ) f ( x0 x ) x0 f ( x0 ) x ( x0 x )
D )
sinx 【解析】因为 y＝ ， 1＋cosx cosx(1＋cosx)－sinx(－sinx) 1＋cosx 1 所以 y′＝ ＝ ＝ ， (1＋cosx)2 (1＋cosx)2 1＋cosx 1 因为 y′＝2，所以 ＝2， 1＋cosx 1 2 所以 cosx＝－ ，又－π<x<π，所以 x＝± π. 2 3
得出
f ( x ) sin x 1, g ( x ) 2 x.
由求导的除法法则得
cos x x ( ) 2 x
sin x 1 x cos x x 2x
2
(x )
2
2
(1 sin x)x 2 cos x 2x x
3
2 2 2

f ( x0 x)
f ( x0 ) ( x0 x ) x0
2

2
f (x )
0
x
2
( x0 x )
f ( x0 x ) f ( x0 ) x

( x0 x ) x0 x
2
2
f ( x0 )
令x 0由于 lim ( x0 x ) x0 ,
x 0
2
2
x 0
lim
f ( x0 x ) f ( x0 ) x ( x0 x ) x0 x
2 2
f ( x0 )
x 0
lim
2 x0
知
f ( x ) g ( x ) x f ( x ) 在x0处的导数值为
2
x 0 f ( x 0 ) 2 x 0 f ( x 0 ).
1 x x(2 ln x 1) . 2 ln x
探究点2
导数四则运算法则的灵活运用
较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、
积、商的几种运算，要注意：(1)先将函数式化
简，化为基本初等函数的和、差、积、商；(2)根 据导数的四则运算法则和公式求导，注意公式法则 的层次性．
例3
求下列函数的导数：
(x e ) 2xe x e (2x x )e .
2 x x 2 x 2 x
（2）函数 y x sin x 是函数 f (x) x 与 g(x ) sin x 之积，由导数公式表分别得出
f (x) 1 2 x , g (x) cos x.
根据两个函数之积的求导法则，可得

x sin x 2 cos x x x
3
.
【变式训练】 求下列函数的导数：
(1) y 2x (x 3); (2) y 2x x 1
2
.
解：(1)y 2(x 3) 2x 4x 6.
(2)y 2(x 1) 2x 2x (x 1) 2 2x
2
x )(1
x )
( 2 ) ln x 2 (ln x )
x
x

1 2 x
(1
x ) (1 (1 x)
x 2
x)
1 2 x (2 ln 2) ln x
x x
2
x
x

1 x (1 x)
2
2 ln 2 ln x
2
x
. 7 4
将x 1代入f (x), 得所求切线斜率 1 1 7 4 x x
( x sin x) sin x 2 x x cos x.
（3）函数 y x ln x是函数 f ( x ) x 与 g ( x ) ln x 之积，由导数公式表分别得出
f (x) 1, g (x) 1 .
x 根据函数乘法的求导法则，可得
(x ln x) 1 ln x x 1 x ln x 1.
【解析】设切点坐标为
p x 0， y0
,
由题意得切线的斜率为1,
y ' ( x ln x ) ( x ) ln x x (ln x ) ln x 1，
' ' '
所以1 所以
ln x 0 1，
ln x 0 0，
所 以 x0 1， y 0 = 0.
所以 切线方程为y=x-1. 即x-y-1=0.