高中数学不可怕系列——找规律学数列(四)高考数列专题

高中数学不可怕系列——找规律学数列（四）
钢老师
高中数学是高考的重头戏，学生容易因其产生差异。

针对高考数学的核心知识点，我将讲解每个知识点的特点、考法以及做题技巧。

希望我的一点点见解可以帮助大家学好高中数学，从容面对高考。

一
本节我会以近3年全国各卷数列真题为例，通过对题目内容、考法以及难度的分析，让大家了解高考数列题并不难，掌握做数列题目的规律方法。

希望我的讲解能给您带来帮助！
全国I 卷
（2019年、理）
9、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知04=S ，55=a ，则（）A.5
2-=n a n B.10
3-=n a n C.n
n S n 822
-= D.n n S n 22
12
-=
14、记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若3
11=a ，62
4a a =，则=5S .
（2018年、理）
4、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4233S S S +=，21=a ，则=5a （）
A.12
- B.10
- C.10
D.12
14、记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12+=n n a S ，则=6S .
（2017年、理）
4、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若2454=+a a ，486=S ，则{}n a 的公差为（）
A.1
B.2
C.4
D.8
12、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列
,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1，其中第一项是02，接下来的两项是102,2，再接下来的三项是2102,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：100>N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.
那么该款软件的激活码是（）
A.440
B.330
C.220
D.110
全国II 卷
（2019年、理）
19、已知数列{}n a 和{}n b 满足11=a ，01=b ，4341+-=+n n n b a a ，4341--=+n n n a b b .（1）证明：{}n n b a +是等比数列，{}n n b a -是等差数列；（2）求{}n a 和{}n b 的通项公式.（2018年、理）
17、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71-=a ，153-=S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.（2017年、理）
3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
15、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33=a ，104=S ，则
=∑=n
k k
S 11
.
全国III 卷
（2019年、理）
5、已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且13543a a a +=，则=3a （）
A.16
B.8
C.4
D.2
14、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，01≠a ，123a a =，则=5
10S S .
（2018年、理）
17、等比数列{}n a 中，11=a ，354a a =.（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若63=m S ，求m .
（2017年、理）
9、等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若632,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）
A.24
- B.3
- C.3
D.8
14、设等比数列{}n a 满足121-=+a a ，331-=-a a ，则=
4a .
（做题有益身心健康呦！）
二
全国I 卷①（内容）
等差等比都考，各自算Sn，不交叉；17年、18年等比为隐藏条件；②（考法）
两道小题共10分，每类数列5分；数列性质与前n 项和一起考；18年需说明等比，17年利用等比求和特征计算；③（难度）
都不大，可算可猜（除了17年12题）。

（2019年、理）
9、猜法：5554==+S a S ，排除C、D，列出A、B 前四项求和排除B，A 为正确答案；
※算法：⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=n
n S n a d a d a a d a S n n 45223540642
11514，选A；☆技巧：50003241504-=⇒=+=+=+⇒=a a a a a a a S ，选A.14、猜法：由于311=
a ，猜测公比为3（好算），数列为 81,27,9,3,1,31满足62
4a a =，累加得3
1215=S ；※算法：⎪⎩⎪⎨⎧
==
⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==33131311516211624
1q a q a q a a a a a ，31211151
5=--=q q a S ；☆技巧：利用算法算出3=q ，列举数列前5项 27,9,3,1,31
，加起来得3
121
5=S .（2018年、理）
4、猜法：利用选项算公差，A、D 公差不为整数先不算，B、C 算出公差，口算验证，选B；
※算法：()02364233331111423=+⇒+++=+⇒+=d a d a d a d a S S S ，3-=d ，选B；☆技巧：由算法得050460235111=+⇒=+⇒=+a a d a d a ，选B.
14、猜法：取2,1=n ，算出2,121-=-=a a ，猜测为等比数列2=q ，进一步算出1
2
--=n n a ，
n n S 21-=满足等式，故636-=S ；
※算法：1=n 时，12111+==a S a ，11-=a ；
1>n 时11111
222121
2-----=⇒-=-=⇒⎩⎨⎧+=+=n n n n n n n n n n n a a a a S S a a S a S ；
故{}n a 是首项1-公比2的等比数列，所以n
n S 21-=，636-=S .
☆技巧：高考只考等差等比，它们的通项和前n 项和是有固定关系的（常数列为n 倍）；
等差数列中()12a a n
S n n +=，其倍数关系一定为2
n ，且两者不存在加减常数关系，即33-=n n a S ，()5+=n n a n S ，42
+=n n a n
S 等形式，数列一定不是等差数列；
等比数列中111---=q a a q q S n n ，其倍数关系一定为1
-q q ，且两者必存在加减常数关系，即n n a n
S 2
=
，n n a S 2=，()31+-=n n a n S 等形式，数列一定不是等比数列；本题，12+=n n a S ，应该为等比数列，221
=⇒=-q q q
，结合11-=a ，轻松算出636-=S .（2017年、理）
4、猜法：利用答案估计，2454=+a a ，估计公差为2则114=a ，前6项为15,13,11,9,7,5，矛盾；估计公差为4，则104=a ，前6项为18,14,10,6,2,2-，满足条件，选C；※算法：①⎩⎨
⎧=-=⇒⎩⎨
⎧=+==+=+42
48
1562472116154d a d a S d a a a ，选C；☆技巧：245463=+=+a a a a ，所以021=+a a ，所以()()
46
2154=+-+=a a a a d ，选C.
12、等比数列1
2
-=n n a 为本题涉及数列，故所有方法基于看出本等比数列；数列每一个完整等比数列
部分和可算，每部分和为12-=n
n S ，故当()2
1+=
n n N 时，
n N S S S S +++= 21()()()
22121212121--=-++-+-=+n n n ，只有能算到这里，本题才
可能做对（毕竟是选择压轴题，不可能随便就猜出来的）.
※算法：100>N ，故
()10021>+n n ，14≥n ，当N 较大且()2
1+=n n N 时221
--=+n S n N ，由于n
n 22=+最大解为2=n ，故不可能存在14≥n 且恰好()2
1+=n n N 时N S 为2的整数幂，需要再
加上后一个等比数列的部分和，不妨在后一个等比部分取k 项，则12-=k
k S ，此时可得前k N +项和为1222
1
-+--=++k n k N n S ，需满足0122=-+--k n ，由于14≥n ，故1732≥+=n k ，
所以5≥k ，取5=k 时，29=n ，此时44052
30
29=+⨯=+k N ，选A；☆技巧：反代检验，440=N 时，301295
2
30
2944021684212292=+++++--==++⨯S S ，
330=N 时，421684212252261255
2
26
25330+=+++++--==++⨯S S ，不满足，220=N 时，t S S +=++++--==+⨯21912010
2
21
2022022212202 ，不满足，
110=N 时，1521684212142151145
2
15
14110+=+++++--==++⨯S S ，不满足，选A.
三
全国II 卷①（内容）
17年都考，各算Sn，填空题求和与等差数列Sn 的特征有关；18年只考等差及求和，并考查和的最值问题；19年只考等差等比的定义与通项，并利用通项简单计算；②（考法）
17年两道小题共10分，每类数列5分，有基础有技巧；18年、19年都为解答题12分，考定义的应用；③（难度）
17年15题需掌握裂项求和（小学奥数技巧）；18年送分题没难度；19年难在对定义的理解，即到底什么是数列，数列的通项是什么，整体看依然没难度。

（2019年、理）19、（1）证明：
由条件可得()()()n n n n n n n n b a a b b a b a +=--++-=+++243434411，因为0111≠=+b a ，所以
2
1
11=++++n n n n b a b a ，
所以{}n n b a +是首项为1，公比为
2
1
的等比数列；同时()()84443434411+-=---+-=-++n n n n n n n n b a a b b a b a ，
所以211+-=-++n n n n b a b a ，即()()211=---++n n n n b a b a ，结合111=-b a ，所以{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列.（2）解：
由（1）问结论可知，在等比数列{}n n b a +中，通项1
21-⎪
⎭
⎫
⎝⎛=+n n n b a ，
在等差数列{}n n b a -中，通项12-=-n b a n n ，所以()()
21212-+⎪⎭⎫
⎝⎛=-++=
n b a b a a n n n n n n ，()()21212+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=--+=n b a b a b n
n n n n n .
（2018年、理）
17、（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得⎩⎨
⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=+=-=27
15337113
1d a d a S a ，所以()9211-=-+=n d n a a n ；（2）解：
利用公式得()
n n a a n S n n 82
21-=+=
，配方得()1642
--=n S n ，所以当4=n 时，n S 取最小值为164-=S .（2017年、理）
3、猜法：列出来加，A 64,32,16,8,4,2,1共123不对，B 192,96,48,24,12,6,3共381正确，选B；
※算法：利用等比数列前n 项和公式，33812
12117
17=⇒=--=a a S ，选B；
☆技巧：()
n n
n q q
a q q a S --=--=111111，故n S 是q a -11的倍数，可简单对比判断，不用列式计算，
本题C.D.不能被381整除排除，A 的和可口算（12-=n
n S ）不满足，选B.15、猜法：猜数列为 ,4,3,2,1满足条件，列举法猜测，
111=S ，341121=+S S ，2
3111321=++S S S ，找规律，写成2211=S ，341121=+S S ，46
111321=++S S S ，故1211+=
∑=n n S n
k k
；※算法：⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+==+=1
110643211413d a d a S d a a ，22n n S n +=，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=111
2121n n n n S n ，所以
12111
231212211211+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=n n n n S n
k k
；☆技巧：同算法.
四
全国III 卷①（内容）
17年、19年等差等比都考，各自结合前n 项和，不交叉；18年只考等比；②（考法）
17、19年两道小题共10分，每类数列5分，考查基本计算；18年解答题12分，结合考查分类讨论；③（难度）
基本难度，不设陷阱，不考复杂技巧。

（2019年、理）
5、猜法：1+2+4+8=15，猜测等比数列为 ,32,16,8,4,2,1，检验等式满足，选C；
※算法：正等比数列，带公式⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==--=214315111
12141
4
1
4q a a
q a q a q q a S ，43=a ，选C；☆技巧：正等比数列，2434312
14
1135=⇒+=⇒+=q a q a q a a a a ，带答案检验4S 即可，选C.14、猜法：假设11=a ，则32=a ，数列为19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，直接算
425
100
510==S S ；※算法：111223a d a d a a =⇒=+=，
4205901010545101
11
111510=++=++=a a a a d a d a S S ；
☆技巧：111223a d a d a a =⇒=+=，
()44182292551
11
1113101510=++=++=+=a a a a d a d a a a a S S ；或者
425252522513555510=++=+=++=d
a d
a d S d S S S S .（2018年、理）
17、（1）解：记等比数列公比为q ，由题意
32354a q a a ==，所以242±=⇒=q q ，结合11=a ，
所以1
2-=n n a ，或者()
1
2--=n n a ；
（2）解：当1
2
-=n n a 时，66312111=⇒=-=--=m q
q a S m m
m ；
当()
1
2--=n n a 时，()()1882633
21111-=-⇒=--=--=m
m
m m q q a S 无整数解；
综上所述，6=m .（2017年、理）
9、猜法：根据答案猜测数列，数列6,5,4,3,2,1前6项和都比答案大，故公差小于1，一般出题不会给太复杂的公差，尝试公差为负，再结合三项成等比不能有0，猜测公差2-得数列9,7,5,3,1,1-----，满足条件，选A ；
※算法：()()()220252112
112
1622
3-=-=⇒=+⇒++=+⇒⋅=a d d a d d a d a d a a a a ，
所以2415616-=+=d a S ，选A ；☆技巧：()
()6161632
6a a a a S +=+=
，利用答案算6a ，C.6a 为0舍，D.不好算最后再看，A.96-=a ，B.26-=a ，A.好算公差，算出2-=d ，检验成立，选A.
14、猜法：等比没有0，等式有正有负公比可能为负，猜数列为 16,8,4,2,1--成立，84-=a ；
※算法：⎩⎨⎧=-=⇒=+-⇒⎩⎨⎧-=--=+123113
112
2
1111a q q q q a a q a a ，84-=a ；☆技巧：两式相减得()1,2212132=-=⇒-=+==+a q q a a q a a ，84-=a .
五
写在最后的话：
高考全国卷中的数列知识，一般占10-17分。

无论文理，考查都很基础，基本都是送分题，所以不能放弃。

参加考试，就一个目的：拿分。

拿分最稳的手段就是用常规计算方法算对，因此学习要以掌握基本知识和方法为核心，根据个人能力学习相应技巧，并在每次考试中磨炼自己的能力。

高中数学，知识繁多，但难的不多。

我们一定要提高对每个知识的熟悉程度，把自己能掌握的先掌握好，慢慢积累，才能提高自己的数学能力，从而提高成绩。

高中数学不可怕，从容面对，能学多少学多少，能考多少考多少，就够了。

本系列到此结束，
其他模块，敬请期待
推广数学，从我做起！。