圆锥曲线一个有趣的统一性质
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。（ ＋ ｉ 。 ：ｓ （ 一 ２ ｉ ｉ 。 Ｑ ）一 ｎ ｃｓ 。 ． ｃｓ ２ 。 ｓ ｉ ｎ ＝
ｓ （ ＋ ）ｉ（ — ）一 ｉ（ ＋ ）ｉ（ 一 ）＝ ｉ ｌ ２ ｓ ｌ ２ ｓ １ ２ ｓ １ ２ ０， ｎ ｎ ｎ ｎ
所 以
１
＋
）＝Ｙａ ，
， ＝ ｙ
》 ， ．
，
将 朋的 程 别 准 ｚ方 一 联 ，解 点 Ⅳ 纵 标，， 别 ， 方 分 与 线 的 程 ＝ 号 立可 得 ，的 坐 ）） 为 ，分
ｙ Ｍ
于是
— 一 一 —±－ 一 ± 一 —十一 —十 ＝ — ＝一 ：— ＋ — —
（ｎ将应焦 准 ｆ 程＝分与 船 方 ）相于点’ 线的 ２ ，的 ＋． 的 方 别
’
程联立 ， 可解 得 Ｍ， Ｎ的纵 坐标 Ｙ ， 分别 为 村Ｙ
ｙ
（ ｃ ｂｉｃ ａ＋ ） ｓ ｔ ｎ２ Ｃ １十 ＯＯ ） （ Ｃ Ｓ￣ ‘ ２
由点ＡＢ Ｆ ， ， 共线知， 与赢 共线， Ｆ Ａ 从而
ｂｉａ （ ｃｓｔ一 ）一 ｓ ａ （ ｃｓｌ Ｃ ０， ｓ １・ ａｏｏ ｃ ｂｉ ２・ ａｏ￣ — ）＝ ｎ ２ ｎ
即
Ｃ ｓ ａ 一ｓ ｃ ） （ｉ １ ｉ ｔ ｎ ｎ２
一 —
Ｓ Ｉ １一 ，Ｊ １ ｎ
因为
ｓ （ ＋ ）ｉ（ 一 ）一（ｉａ ＋ｓ ｃ ） ｓ ａ 一ｓ ｏ ）＝ ｉ ｌ ２ ｓ １ ２ ｎ ｎ ｓ １ ｉ ￣ （ｉ １ ｉ ￣ ｎ ｎ２ ｎ ｎ２
ｌ 。＞ ０ 过焦 点 Ｆ的 弦 ， （ ６＞ ） Ｐ是椭 圆的左 （ 或
右） 顶点 ， 直线 Ｐ ， 曰分别 交相应 于 焦点 Ｆ的准线 ｆ ＡＰ 于点 ， 记 点 Ａ， Ｍ， Ⅳ， Ｂ， Ｎ的纵坐 标 分 别为 Ｙ ， Ｙ Ｙ ， Ｙ ， ， 则
— ＋ —＝— ＋ 一— —＋— ： —＋— ．
・
２ ・ ６
中 学教 研 （ 学 ） 数
２１ ０ ０年
圆 锥 曲 线 一 个 有 趣 的 统 一 性 质
●彭 世金 （ 常德市第六中学 湖南常德 ４５０ ） １０３
笔 者通过探 究 ， 发现 圆锥 曲线一 个有 趣 的统一性 质 ， 现介绍 如下 ．
２ ２
性 质 １ 如 图 １设 Ａ ， 是椭 圆 ＋
第１ ０期
周 斌 ： 空 间 和 两异 面 直 线 成 等 角 的 直 线 条 数谈 起 从
・２ ・ ７
交 抛物 线 的准 线 ｌ 于点 Ｍ， 记 Ａ， Ｍ， 的纵 坐标 分 别 为 ） ， ，肘， 则 ＋ ： ＋一 Ⅳ， Ｂ， Ⅳ ， ） ） ， ， ， １
Ｙ Ｙ ｙ Ｍ Ｎ Ａ ’Ｂ
先 看 １９ ９３年全 国数 学高 考试 题 的解 法 ：
空 间任 意一 点 ， 过 点 Ｐ且 与 平 面 Ｏ和 所 成 的 则 ／ 角都 是 ２ 。 ５ 的直 线条 数 为
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ． ５
证明 设 Ａ ，Ａ ， （ ， ，Ｂ的方程为 ＝ｎ ． 彻 的方程与抛物线方程 ｙ ＝ ｐ （ ０ （ａＹ）Ｂ ））Ａ ， ｙ＋Ｐ 将 ２ ２ ２ｘｐ＞ ）
联立 ， 消去 得
Ｙ 一２ ｙ —Ｐ ＝ Ｏ ｐｎ ．
由韦达定 理 得
Ｙａ ８ Ｙ 一Ｐ２・
ｚ． Ｐ Ｐ 的方程 分 别为 ｊ￣ Ａ， 曰 ：
１
一
（＋） 去 ＝ ・ 南 （
＋ ）藤 ） 一 ＋ ＝ （
ｃｉ（ ＋ ）一ａ ｓ ａ ＋ｓ ｃ ） ｓ 】 ２ ｎ （ｉ １ ｉ ｔ ｎ ｎ２
（ ｃ ｂｉｔ ｎ ２ ａ＋ ） ｓ ￣ｓ ｔ ｎ１ ￣ ｉ
ｃｉ（￣ ＋ ）ｉ（ １ ２ ｓ ｃ ２ ｓ ａ 一 ）一ｃ ｓ １ ｓ ２ ｎ １ ｎ （ｉ ｎ 一ｉ ） ｎ （ ａ＋ｂ ｂｉｔ ｓ ｃ ｓ （ 一 ） ） ｓ ￣ ｉ ｔ ｉ １ ２ ｎ １ｎ ２ ｎ
’ ｊ
＼
Ｍ
ＹＭ Ｙ Ｙ Ｎ Ａ
） ， 口
性质 ２类似 于性 质 ｌ的证 明过程 ．
图２
图３
性质 ３ 如 图 ３ 设 Ａ ， Ｂ是 抛物 线 Ｙ ２ｘ ｐ＞ ） 焦点 Ｆ的 弦 ， ＝ ｐ （ ０ 过 Ｐ是 抛物 线 的顶点 ， 线 Ｐ Ｐ 直 Ａ， Ｂ分别
．
１
Ｊ 图 １
Ｙ Ｙ Ｙ Ｙ Ｍ Ｎ Ａ Ｂ
证明
设 Ａ ａｏａ ，ｓ ￣ ）Ｂ（ ｃｓ：ｂｉｃ ） Ｐ （ ｃｓ。ｂｉ ， ａｏ￣ ，ｓ ｔ ， （一口０ ， 点 ，（ ，）则 Ｐ Ｐ ｎ ｎ ，）焦 ｃ０ ， Ａ，Ｂ的方 程分别 为）＝ ，
≠ （。， ）＝ ＋， ）
（ ｊ Ｕ
的弦 ， Ｐ是双 曲线 的顶点 ， 直线 ， 分别 交相应 于焦 点 Ｆ的准线 Ｚ 船 于 点 ， 记点 ， ， Ⅳ， ， Ⅳ的纵 坐标 分别 为 Ｙ ，口Ｙ Ｙ ， ＡＹ ，Ｍ， 则
ｌ
— —
＋ —— ＝ —— ＋ ——．
１
ｌ
１
＼ Ｊ 研 、～ ． ｖ Ｍ 弋
Ｙ ＹＮ Ｍ —Ｐ Ｙ ＹＢ Ａ Ｙ Ｙ ａ Ｂ
从 空 间 和 两 异 面 直 线 成 等 角 的 直 线 条 数 谈 起
●周 斌 １ 问题 的提 出 （ 东沙中学 浙江岱山 ３６１ ） １２ １
２ 与 两异 面直 线成 等角 的 直线 条数 问题
题 目 已 知 二 面 角 — 的大 小 为 ５ 。 Ｐ 为 ｆ ０，
ｃ ｓ （ ＋ ）ｉ（ — ）一（ｉａ ＋ｓ ａ ） ｓ ａ 一ｓ ａ ） ｎ ［ｉ １ ２ｓ ｌ ２ ｎ ｎ ｓ ｌ ｉ ２ （ｉ １ ｉ ２ ］ ｎ ｎ ｎ ｎ — —— — — 面 — —— ～ ＿， Ｕ
于是 一 ＋ １： １ １ 一
一
＋ 一
１
．
性质２ 如图２ Ｂ ， 是双曲 一 ｌａ ｏｂ ｏ过焦 设Ａ 线 告＝ （＞ ，＞ ） 点Ｆ
ｓ （ ＋ ）ｉ（ — ）一 ｉ（ ＋ ）ｉ（ 一 ）＝ ｉ ｌ ２ ｓ ｌ ２ ｓ １ ２ ｓ １ ２ ０， ｎ ｎ ｎ ｎ
所 以
１
＋
）＝Ｙａ ，
， ＝ ｙ
》 ， ．
，
将 朋的 程 别 准 ｚ方 一 联 ，解 点 Ⅳ 纵 标，， 别 ， 方 分 与 线 的 程 ＝ 号 立可 得 ，的 坐 ）） 为 ，分
ｙ Ｍ
于是
— 一 一 —±－ 一 ± 一 —十一 —十 ＝ — ＝一 ：— ＋ — —
（ｎ将应焦 准 ｆ 程＝分与 船 方 ）相于点’ 线的 ２ ，的 ＋． 的 方 别
’
程联立 ， 可解 得 Ｍ， Ｎ的纵 坐标 Ｙ ， 分别 为 村Ｙ
ｙ
（ ｃ ｂｉｃ ａ＋ ） ｓ ｔ ｎ２ Ｃ １十 ＯＯ ） （ Ｃ Ｓ￣ ‘ ２
由点ＡＢ Ｆ ， ， 共线知， 与赢 共线， Ｆ Ａ 从而
ｂｉａ （ ｃｓｔ一 ）一 ｓ ａ （ ｃｓｌ Ｃ ０， ｓ １・ ａｏｏ ｃ ｂｉ ２・ ａｏ￣ — ）＝ ｎ ２ ｎ
即
Ｃ ｓ ａ 一ｓ ｃ ） （ｉ １ ｉ ｔ ｎ ｎ２
一 —
Ｓ Ｉ １一 ，Ｊ １ ｎ
因为
ｓ （ ＋ ）ｉ（ 一 ）一（ｉａ ＋ｓ ｃ ） ｓ ａ 一ｓ ｏ ）＝ ｉ ｌ ２ ｓ １ ２ ｎ ｎ ｓ １ ｉ ￣ （ｉ １ ｉ ￣ ｎ ｎ２ ｎ ｎ２
ｌ 。＞ ０ 过焦 点 Ｆ的 弦 ， （ ６＞ ） Ｐ是椭 圆的左 （ 或
右） 顶点 ， 直线 Ｐ ， 曰分别 交相应 于 焦点 Ｆ的准线 ｆ ＡＰ 于点 ， 记 点 Ａ， Ｍ， Ⅳ， Ｂ， Ｎ的纵坐 标 分 别为 Ｙ ， Ｙ Ｙ ， Ｙ ， ， 则
— ＋ —＝— ＋ 一— —＋— ： —＋— ．
・
２ ・ ６
中 学教 研 （ 学 ） 数
２１ ０ ０年
圆 锥 曲 线 一 个 有 趣 的 统 一 性 质
●彭 世金 （ 常德市第六中学 湖南常德 ４５０ ） １０３
笔 者通过探 究 ， 发现 圆锥 曲线一 个有 趣 的统一性 质 ， 现介绍 如下 ．
２ ２
性 质 １ 如 图 １设 Ａ ， 是椭 圆 ＋
第１ ０期
周 斌 ： 空 间 和 两异 面 直 线 成 等 角 的 直 线 条 数谈 起 从
・２ ・ ７
交 抛物 线 的准 线 ｌ 于点 Ｍ， 记 Ａ， Ｍ， 的纵 坐标 分 别 为 ） ， ，肘， 则 ＋ ： ＋一 Ⅳ， Ｂ， Ⅳ ， ） ） ， ， ， １
Ｙ Ｙ ｙ Ｍ Ｎ Ａ ’Ｂ
先 看 １９ ９３年全 国数 学高 考试 题 的解 法 ：
空 间任 意一 点 ， 过 点 Ｐ且 与 平 面 Ｏ和 所 成 的 则 ／ 角都 是 ２ 。 ５ 的直 线条 数 为
Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ． ５
证明 设 Ａ ，Ａ ， （ ， ，Ｂ的方程为 ＝ｎ ． 彻 的方程与抛物线方程 ｙ ＝ ｐ （ ０ （ａＹ）Ｂ ））Ａ ， ｙ＋Ｐ 将 ２ ２ ２ｘｐ＞ ）
联立 ， 消去 得
Ｙ 一２ ｙ —Ｐ ＝ Ｏ ｐｎ ．
由韦达定 理 得
Ｙａ ８ Ｙ 一Ｐ２・
ｚ． Ｐ Ｐ 的方程 分 别为 ｊ￣ Ａ， 曰 ：
１
一
（＋） 去 ＝ ・ 南 （
＋ ）藤 ） 一 ＋ ＝ （
ｃｉ（ ＋ ）一ａ ｓ ａ ＋ｓ ｃ ） ｓ 】 ２ ｎ （ｉ １ ｉ ｔ ｎ ｎ２
（ ｃ ｂｉｔ ｎ ２ ａ＋ ） ｓ ￣ｓ ｔ ｎ１ ￣ ｉ
ｃｉ（￣ ＋ ）ｉ（ １ ２ ｓ ｃ ２ ｓ ａ 一 ）一ｃ ｓ １ ｓ ２ ｎ １ ｎ （ｉ ｎ 一ｉ ） ｎ （ ａ＋ｂ ｂｉｔ ｓ ｃ ｓ （ 一 ） ） ｓ ￣ ｉ ｔ ｉ １ ２ ｎ １ｎ ２ ｎ
’ ｊ
＼
Ｍ
ＹＭ Ｙ Ｙ Ｎ Ａ
） ， 口
性质 ２类似 于性 质 ｌ的证 明过程 ．
图２
图３
性质 ３ 如 图 ３ 设 Ａ ， Ｂ是 抛物 线 Ｙ ２ｘ ｐ＞ ） 焦点 Ｆ的 弦 ， ＝ ｐ （ ０ 过 Ｐ是 抛物 线 的顶点 ， 线 Ｐ Ｐ 直 Ａ， Ｂ分别
．
１
Ｊ 图 １
Ｙ Ｙ Ｙ Ｙ Ｍ Ｎ Ａ Ｂ
证明
设 Ａ ａｏａ ，ｓ ￣ ）Ｂ（ ｃｓ：ｂｉｃ ） Ｐ （ ｃｓ。ｂｉ ， ａｏ￣ ，ｓ ｔ ， （一口０ ， 点 ，（ ，）则 Ｐ Ｐ ｎ ｎ ，）焦 ｃ０ ， Ａ，Ｂ的方 程分别 为）＝ ，
≠ （。， ）＝ ＋， ）
（ ｊ Ｕ
的弦 ， Ｐ是双 曲线 的顶点 ， 直线 ， 分别 交相应 于焦 点 Ｆ的准线 Ｚ 船 于 点 ， 记点 ， ， Ⅳ， ， Ⅳ的纵 坐标 分别 为 Ｙ ，口Ｙ Ｙ ， ＡＹ ，Ｍ， 则
ｌ
— —
＋ —— ＝ —— ＋ ——．
１
ｌ
１
＼ Ｊ 研 、～ ． ｖ Ｍ 弋
Ｙ ＹＮ Ｍ —Ｐ Ｙ ＹＢ Ａ Ｙ Ｙ ａ Ｂ
从 空 间 和 两 异 面 直 线 成 等 角 的 直 线 条 数 谈 起
●周 斌 １ 问题 的提 出 （ 东沙中学 浙江岱山 ３６１ ） １２ １
２ 与 两异 面直 线成 等角 的 直线 条数 问题
题 目 已 知 二 面 角 — 的大 小 为 ５ 。 Ｐ 为 ｆ ０，
ｃ ｓ （ ＋ ）ｉ（ — ）一（ｉａ ＋ｓ ａ ） ｓ ａ 一ｓ ａ ） ｎ ［ｉ １ ２ｓ ｌ ２ ｎ ｎ ｓ ｌ ｉ ２ （ｉ １ ｉ ２ ］ ｎ ｎ ｎ ｎ — —— — — 面 — —— ～ ＿， Ｕ
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性质２ 如图２ Ｂ ， 是双曲 一 ｌａ ｏｂ ｏ过焦 设Ａ 线 告＝ （＞ ，＞ ） 点Ｆ