回归分析及独立性检验规律小结

一、本章知识结构

二、知识要点与联系

1．已知回归直线的斜率估计值为k ，样本点的中心为(m, n)，则回归直线方程为 。 2．相关指数R 2＝ ，R 2越 表示回归效果越好。 3．建立回归模型基本步骤： 第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 第五步：

4．三维柱形图中，估计“X 与Y 有关系”成立的可能性越大的依据是 。 5．二维条形图中，估计“X 与Y 有关系”成立的可能性越大的依据是 。 6．精确判断两个分类变量是否有关系的具体做法是 。 7．考查某种针剂的预防效果进行试验数据如下：

注射针剂的串病12例，未患病48例，未注射针剂的患病22例，未患病35例，则认为针剂无效的可能性约为 。

三、综合型问题剖析

使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

若由资料知,y 对x 呈线性相关关系。试求：线性回归方程$

$y bx a =+$的回归系数$,a b $；

统计案例

回归分析

独立性检验

解：由已知数据制成表格。

4;5;x y ==5

5

21

1

90;112.3.i

i i i i x x y ====∑∑

所以有ˆˆ1.23,0.08.b

a ==ˆ 1.230.08.y x ∴=+ 评注：

例2．为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下：

（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）描述解释变量与预报变量之间的关系； （3）计算残差、相关指数R 2. 解：（1）散点图如右所示

（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数2

1C x y C e =的周围，于是令Z=lny,则

x 1 2 3 4 5 6 Z

1.79

2.48

3.22

3.89

4.55

5.25

由计数器算得µ0.69 1.112Z

X =+，则有0.69x 1.112

ˆy =e +

$y 6.06 12.09 24.09 48.04 95.77 190.9 $y

6

12

25

49

95

190

n

22

i

i=1

1

ˆˆe

() 3.1643,n

i i i y y

==-=∑∑n

2

22i

1

i=1

()y

ny 25553.3.n

i

i y y =-=-=∑∑

2 3.1643

10.9999.25553.3

R ∴=-

=

即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%. 评注：

例3．在某医院，因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人秃顶，而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 人秃顶． (1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系．

(2)能够以 99 ％的把握认为秃顶与患心脏病有关系吗？为什么？

解：根据题目所给数据得到如下列联表：

(1)相应的三维柱形图如图3.2一4所示．比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”.

(2)根据题中的数据，得到2

1437(214597175451)3891048665772

k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈16.373>6 .

因此有 99 ％的把握认为“秃顶与患心脏病有关” . 评注：

例4．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

由表中数据计算得2

K 的观测值 4.514k ≈．能够以95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐明得出结论的依据．

解：可以有约95％以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．作出这种判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程如下：

分别用a , b , c , d 表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数．如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例a

a b

+与女生中喜欢数学课的人数比例c c d +应该相差很多，

即|

|||()()

a c ad bc

a b c d a b c d --=++++ 应很大．

,

然后平方得22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++,

其中n a b c d =+++．因此2

K 越大，“性别与喜欢数学课之间有关系”成立的可能性越大．

另一方面，在假设“性别与喜欢数学课之间没有关系”的前提下，事件A ={2

K ≥3.

K≥3. 841)≈0.05, 因此事件A 是一个小概率事件．而由样本数据841｝的概率为P (2

K的观测值k=4.514，即小概率事件A发生．因此应该断定“性别与喜欢数学课计算得2

之间有关系”成立，并且这种判断结果出错的可能性约为5 %．所以，约有95 ％的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”.

评注：

四、规律总结

1．作为非确定性关系的相关关系包括两种情况：其一，两个变量中，一个变量为可失控变量，另一个变量为随机变量；其二，两个变量均为随机变量，主要研究第二种情况。

2．一元线性回归分析是回归分析中最简单，也是最基本的一种类型，它类似于代数方程理论中的一元一次方程。

3．求回归直线方程和相关系数通常是用计算器完成的，列出相应的表格可便于求出回归直线方程中的系数和相关系数。

4．对两个变量的线性相关性进行检验，有几种彼此等价的方法，相关系数检验法只是其中一种。

5．用随机变量K2的值作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5，为此，在选取样本容量时，一定要注意这一点。

6．独立性检验的基本思想类似于反证法。要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理。根据随机变量K2的含义，可以通过概率评价假设不合理的程度。

五、反思感悟