第5章 自适应卡尔曼滤波及融合方法

件下，xk的最优最小二乘估计xk|j为
j
xk| j min
yi

HiFik x
2

(
X
T kj
X
kj
)
1
X
kTjY
j
(5-13)
i0
若k=j，则xk|j称为滤波；若k>j，则xk|j表示预测；若k<j，则xk|j表
示平滑。下面根据式(5-13)推导其等价的递推公式。
第5章 自适应卡尔曼滤波及融合方法
第5章 自适应卡尔曼滤波及融合方法
5.2 扩展遗忘因子递推最小二乘算法
5.2.1 问题描述 假设动态时变系统如下
xk1 Fk xk wk , k 0,1,
yk Hk xk vk , k 0,1,
(5-1) (5-2)
量测值yk的维数lk通常依赖于k时刻传感器对量测值的检测和传输 情况，因为存在漏检和传输丢失的情况。wk和vk是零均值随机变 量。若把时变xk看做为一个待估计的参数，则动态矩阵Fk假设为 单位矩阵。Hk是一个已知的量测矩阵。
滤波问题中，状态向量依据不同时刻的观测值或者量测 值进行估计。然而量测总是不精确的，这是因为量测系统受 到内外部各种因素的干扰，包括量测误差和环境扰动。为了 简化问题，人们通常假定量测误差序列服从均值为零、方差 已知的高斯分布。然而，量测噪声总是波动的，相应的噪声 方差也随时间的不同而有所变动。此外，在实际应用中，量 测噪声方差总是未知的。
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尽管卡尔曼滤波算法在实际应用中取得了巨大成功，但 是也有一些显著缺点。首先，必须知道过程噪声方差和量测 噪声方差。如果两者未知，则需要对其进行估计。然而在一 些实际应用中，尤其是状态向量的维数较高的情况下，噪声 方差难于估计。如果将不准确的噪声方差应用到卡尔曼滤波 过程中，滤波精度会大大降低。其次，如果噪声项随时间的 相关性未知，或者如果噪声v k和噪声w k是交叉相关的， 且相关性未知，此时卡尔曼滤波性能表现就比较差。再次， 如果噪声项的统计特性随时间变化，则时变参数系统的识别 问题仍然难以解决。为了在一定程度上克服上述问题，下面 介绍朱允民提出的扩展遗忘因子递推最小二乘算法(EFRLS)[6]。
上述系统的一个重要应用是在给定观测值yk的条件下获得最 优估计xk。有两种方法求解未知状态或者时变参数xk的最优估计。
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第一种方法是最小二乘法(Least Squares， LS)，估计公 式为
k
xˆk
arg min x r i 0
Hi x yi
2
(5-3)

FT ( j 1)
k
H
T j 1
H
F j 1 ( j 1)k
)1 FkT

Fk [I

P FT kj ( j 1)k
H
T j 1
(
I
Baidu Nhomakorabea

H
F j 1 ( j 1)k
P FT kj ( j 1)k
H
T j 1
)1
H
F j 1 (
j 1)k
]Pkj FkT
(5-21) 由式(5-5)、式(5-16)、式(5-20)和式(5-21)，根据前面提到的递推 最小二乘法，易知递推公式成立。证毕。
该方法的缺点是只能适用于随时间缓慢变化的动态系统。
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第二种方法是推导一种线性无偏的最小误差方差或者是 最小均方误差估计器(Least Mean Square， LMS)。这种估计 方法使用yi，Hi，Fi(i≤k)来估计xk。这需要知道动态过程噪声 w k和量测噪声v k的二阶矩。卡尔曼滤波是已知的最好的 递推最小均方估计算法。卡尔曼滤波具有两个显著的优点， 即：最小均方意义下的最优性和算法过程的递推性。
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5.2.2 扩展递推最小二乘算法 将0时刻到j时刻的所有量测信息综合到一起，结合最小
二乘准则来获得最优状态估计xk|j。为此，引入下列符号
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利用式(5-5)~式(5-9)，上述模型可以改写为
xk1 Fk xk vk , k 0,1,
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5.1 引言 5.2 扩展遗忘因子递推最小二乘算法 5.3 变分贝叶斯自适应卡尔曼滤波算法 5.4 双重迭代的VB_AKF 算法 5.5 基于VB_AKF 的集中式融合方法 5.6 小结
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5.1 引 言
)1[
X
T kj
FT ( j 1)k
H
T j 1
]
(5-20)
对于任意的k≥k0和j≥j0，上述两个矩阵都是行满秩的。根据式
(5-19)和式(5-13)，易知式(5-14)成立。此外，根据式(5-20)、
定义(5-17)和大家所熟知的矩阵求逆引理，可得
Pj 1| j 1

Fk
(
P 1 kj
定理5.1
假设 X X T k0 j0 k0 j0
是非奇异矩阵，则对于任意k≥k0
和j≥j0，有如下递推公式
证明：将式(5-6)、式(5-8)、式(5-9)和式(5-12)代入X(k+1)j得
因此有 类似地，使用式(5-19)可得
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XT x1| j 1

(FkT
(5-10)
Yj Xkj xk ηkj , j 0,1, , k 0,1,
(5-11)
其中
X kj H j Fkj , ηkj v j H j ekj
(5-12)
在上述过程中，可以看到Yj中的每一个块向量yi被当作为状
态xk的量测，状态转移矩阵Fi也被合并到Xkj中。在Yj和Xkj给定条
以及增加了遗忘因子的最小二乘法估计公式
k
xˆk
arg min ki x r i0
Hi x yi
2
(5-4)
其中λ是一个给定的遗忘因子(0<λ≤1)。若状态转移矩阵Fi是一个 单位矩阵，则上述估计是常规的最小二乘法。Fk通常情况下并 不是单位矩阵，因此上述估计方法只能称为近似最小二乘方法。
当j=k时，上述定理针对的就是滤波问题。即：ERLS滤波 公式如下
xk 1|k 1 Fk [ xk|k Lkk ( yk 1 Hk 1Fk xk|k )]
(5-22)
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Lkk