牛顿定律应用举例

H
0
dh
t 6.11
0
解得物体到达的最大高度为
t mg mg [( v0 )e m ]dt k k
k
m mg H ( v0 )(1 e k k
k 6.11 m
45 45 9.8 ( 60)(1 e 0.03 0.03
0.036.11 45
• 例1
一质量为45kg的物体，由地面以初速 60m s 竖直向上发射，空气的阻力为 F kv ，其中 1 k=0.03,力F的单位是N，速率v的单位是 m s 。 求（1）物体发射到最大高度所需的时间；（2）最 大高度是多少？
1
解 （1）物体竖直向上发射后将受到向下的阻力F的作 用，取地面为原点，坐标h轴的正方向向上，按牛顿第二定 dv 律有 mg kv m
mg ) 6.11 k
45 9.8 ) 6.11 182m 0.03
• 例2
在一直半径为R的半球形碗内，有一粒质量为m 的小刚球.当小球以角速度 在水平面内沿碗内壁 作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？


图1 解 由题意，可得出受力分析如图1所示。由图可列动力学方 程 F sin ma mR 2 sin
dt
1 dt dv k g v m
由题意知，t=0时物体位于地面，其速度为 v0 ，t=t时，物体 位于最高点，其速度为零，故对上式积分，
有
dv 0 dt v0 k g v m
t 0
得物体自地面发射到最大高度所需的时间为
t m ln k g k 0.03 v0 9. 8 60 45 m 45 ln 6.11s g 0.03 9 .8
故飞机着陆后10s内所滑行的距离
s x x0 v0t

6m
t
3 t 10
467m
• 例5
质量为m的跳水运动员，从10.0m高台上由静止 跳下落入水中.高台与水面距离为h.把跳水运动员视 为质点，并略去空气阻力.运动员入水后垂直下沉， 水对其阻力为 bv2 ，其中b为一常量.若以水面上一 点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，求：（1）运动 b 0.40m 1 员在水中的速率v与y的函数关系；（2）若 m ，跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速度v减 少到落水速率 v0 的 110 ？（假定跳水运动员在水中 的浮力与所受的重力大小恰好相等）
3
解 以地面飞机滑行方向为坐标正方向，由牛顿定律及初始 dv 条件，有 F ma m t
dt v t t dv dt v0 0 m
得
v v0

2m
t2
因此，飞机着陆10s后的速率为
v 30.0m s 1
又

x
x0
dx (v0
0
t

2m
t 2 )dt
上式分离变量后积分，有

x
x0
dx (6.0 4.0t 6.0t 2 )dt
0
t
x (5.0 6.0t 2.0t 2 2.0t 3 ) m
• 例4
轻型飞机连同驾驶员总质量为 1.0 10 kg 飞 1 机以 55.0m s 的速率在水平跑道上着陆后，驾驶 员开始制动，若阻力与时间成正比，比例系数 2 1 5.0 10 N s ，空气对飞机的升力不计，求（1） 10s后飞机的速率；（2）飞机着陆后10s内滑行的 距离

y
0
v dv b ( dy v0 v m bv m
v v0e
（2）将已知条件
2 ghe

bv m
b 0.4m 1 , v 0.1v0 m
代入上式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ则得
m v y ln 5.76m b v0
（2）因 故
dt
1 dv k g v m
v
1 dv o vo k g v m k g v0 m m t ln k k g v m
t
dt

得
t mg mg m v( v0 )e k k
k
又因 所以
dh v dt
t mg mg m dh [( v0 )e ]dt k k k
N n
FN cos mg
且有
cos
( R h) R
由上述各式可解得钢球距碗底的高度为
h R
h 可见， 随 的变化而变化
g
2
• 例3
一质量为10kg的质点在力F的作用下沿x轴作直线 运动，已知F=120t+40，式中F的单位为N，t的单位 v0 6.0m s 1 为s，在t=0时，质点位于x=5.0m处，其速度 求质点在任意时刻的速度和位置
解 运动员入水前可视为自由落体运动，故入水时的速度为 运动员入水后，由牛顿定律得 由题意
v0 2 gh
P Ff F ma
dv dv P F、Ff bv , 而a v dt dy
2
代入上式后得
dv bv m v dy
2
考虑到初始条件 y0 0时v0 2gh ，对上式积分，有
解 因加速度
a
dv dt
，在直线运动中，根据牛顿定律有
120 t 40 m dv dt
依据质点运动的初始条件，即 t0 0时v0 6.0m s 1 ，运用 分离变量法对上式积分，得

v
v0
dv (12.0t 4.0)dt
0
t
v (6.0 4.0t 6.0t 2 ) m s 1 dx v ，并由质点运动的初始条件：t 0时x 5.0m 对 又因 dt 0 0