管理运筹学第四章整数规划与指派问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
☺如何定界？
• 整数规划ILP的最优解不会优于松弛LP的最优解； • 对极大化问题来说，松弛 LP 的目标函数最优值是原
管理运筹学第四章整数 规划与指派问题
2020年4月19日星期日
• 线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但 许多实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才 有意义。
例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完 成工作的人数等，分数或小数解显然是不合理的。
• 要求全部或部分决策变量的取值为整数的线性规划 问题，称为整数线性规划，简称整数规划(Integer Programming)。
资源
小号容器
金属板（张）
2
劳动力（个）
2
机时（小时）
1
中号容器 大号容器 资源拥有量
4
8
500
3
4
300
2
wk.baidu.com
3
100
利润
4
5
6
解：设x1 , x2 , x3分别表示小、中、大号容器的生产数量， M为很大的正数，z表示总利润
引入逻 辑变量
若xj=0时，yj=0,
若xj>0时，yj=1。
2. 逻辑变量在整数规划建模中的作用 (1) m个约束条件中只有k个起作用。
分枝定界法的算法流程：
解LP
无可行解 问题无界
ILP无解 或无界
x0有非整分量
解x0为整数向量 x0为ILP的解
将原问题分解为两个子问题，使得非整分量恰好排除在外 而又没有去掉原问题的可行解，再分别判断两个子问题。
分枝定界法的两个要点：分枝和定界
☺如何分枝？
如果最优解x i中某个分量 非整
分枝定界法的两个要点：分枝和定界
该问题的数 学模型为
例4 某公司制造小、中、大3种尺寸的金属容器，所用的资 源为金属板、劳动力和机时。制造一只容器所需的各种资源
数量如下表所示，不考虑固定费用，每售出一只小、中、大 号容器所得的利润分别为4元、5元、6元，可使用的金属板 有500张，劳动力有300个，机时有100小时，如果生产某种 容器，不管生产数量多少，都要支付一笔固定费用，小、中 、大号容器的固定费用分别为100元、150元、200元，现要 制订一生产计划，使获得的利润最大。
定义 则上述条件可以表示成
(2) 约束条件的右端可能是 r个值中的某一个 定义 则上述条件可以表示成
(3) 两组条件中满足其中的一组
定义 则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用 目标函数是总费用最小 定义
则目标函数可以表示成
3. 整数规划问题的特征与性质
特征—变量整数性要求 来源
待定地址
投资金额 （万元） 年利润 （万元）
A1 A2 A3 A4 A5 投资总额
20 30 25 40 45
100
10 25 20 25 30
解：设 则该问题的数学模型为
例 3 工厂选址问题： 某商品有n 个销地，各销地的需求量为bj 吨/天；现拟在m 个地点中选址建生产厂，一个地点最多只能建一个工厂； 若选i 地建厂，生产能力为ai吨/天，固定费用为di元/天；已 知i 地至第j 销地的单位运费为cij元/吨。问如何选址和安排 调运，才能使总费用最小？ 设：yi=1，表示选择第i 地建厂， yi=0，表示不选择第i 地建 厂；从厂址i 至销地j 运量为xij，总费用为z。
分枝定界法的基本思想
▪ 先求放松的LP的最优解，若放松LP问题无解，则原 ILP问题也无解。
▪ 若放松LP问题的最优解符合整数要求，则是原ILP的 最优解；
▪ 若放松LP问题的最优解含非整数分量，则将ILP问题 分为几个子问题，试图做到：要么找到某个子问题的 最优解，要么判断原问题ILP的最优解一定不在子问 题的可行区域内。
问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可行域是离散集合
4. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 则称为纯整数规划 (All IP)； 混合整数规划
仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 划(Mixed IP)；
0-1整数规划
要求决策变量只能取0或1值，则称为0-1规划(0-1 Programming)。
某公司准备投资100万元在甲、乙两座城市修建健身中心 ，经过多方考察，最后选定A1, A2, A3, A4和A5五个位 置，并且决定在甲城市的A1、 A2、 A3三个位置中最多 投建两个；在乙城市的A4、A5两个位置中最少投建一 个。如果已知各点的投资金额和年利润如下表。 问：健身中心投建在哪些位置才会使总的年利润最大？
第二节 整数规划的求解方法
1. 分支定界法 2. 割平面法
1.分支定界法
分枝定界法是本世纪60年代初由Land Doig和Dakin 等人提出的，可用于解纯整数规划或混合整数规划。
整数规划ILP
放松的线性规划LP
放松问题的最优目 标函数等值线
整数规划问题的最 优目标函数等值线
整数规划的最优解不一定在顶点上达到； 整数规划的最优解不一定是放松问题最优解的邻近整
本章内容的安排
第一节 整数线性规划问题的数学模型 第二节 整数规划的求解方法* 第三节 指派问题及匈牙利解法
第一节 整数线性规划问题的数学模型
1. 引例 2. 逻辑变量在整数规划建模中的作用 3. 整数规划问题的特征与性质 4. 整数规划模型的分类
1. 引例
例1（装载问题）
有一辆卡车的最大载重量为b 吨,现有n 种货物可供装 载。设第j 种货物每件重aj 吨,每件的装载费用为cj 元 (j=1,…n)。问应该采用怎样的装载方案才能使卡车一 次装载货物的收入最大?
数解； 整数可行解的个数远多于顶点个数，枚举法不可取。
整数规划ILP
放松的线性规划LP
整数规划ILP和放松问题LP的关系 ➢ ILP的可行区域是LP的可行区域的子集； ➢ 如果LP无可行解，则ILP无可行解； ➢ LP的最优值是ILP的最优值的一个上界； ➢ 若LP的最优解为整数向量，则它也是ILP的最优解。
解:设xj为卡车装载第j 种货物的件数(j=1,2,…,,n), z表 示卡车一次装载的收入,则该问题的数学模型为
max z = c1x1 + c2x2+…+ c n x n
s.t. a1x1 + a2x2+…+ a n x n b x j 0 且为整数(j=1,2,…,,n)
例2.（选址问题—相互排斥的计划）
• 整数规划ILP的最优解不会优于松弛LP的最优解； • 对极大化问题来说，松弛 LP 的目标函数最优值是原
管理运筹学第四章整数 规划与指派问题
2020年4月19日星期日
• 线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但 许多实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才 有意义。
例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完 成工作的人数等，分数或小数解显然是不合理的。
• 要求全部或部分决策变量的取值为整数的线性规划 问题，称为整数线性规划，简称整数规划(Integer Programming)。
资源
小号容器
金属板（张）
2
劳动力（个）
2
机时（小时）
1
中号容器 大号容器 资源拥有量
4
8
500
3
4
300
2
wk.baidu.com
3
100
利润
4
5
6
解：设x1 , x2 , x3分别表示小、中、大号容器的生产数量， M为很大的正数，z表示总利润
引入逻 辑变量
若xj=0时，yj=0,
若xj>0时，yj=1。
2. 逻辑变量在整数规划建模中的作用 (1) m个约束条件中只有k个起作用。
分枝定界法的算法流程：
解LP
无可行解 问题无界
ILP无解 或无界
x0有非整分量
解x0为整数向量 x0为ILP的解
将原问题分解为两个子问题，使得非整分量恰好排除在外 而又没有去掉原问题的可行解，再分别判断两个子问题。
分枝定界法的两个要点：分枝和定界
☺如何分枝？
如果最优解x i中某个分量 非整
分枝定界法的两个要点：分枝和定界
该问题的数 学模型为
例4 某公司制造小、中、大3种尺寸的金属容器，所用的资 源为金属板、劳动力和机时。制造一只容器所需的各种资源
数量如下表所示，不考虑固定费用，每售出一只小、中、大 号容器所得的利润分别为4元、5元、6元，可使用的金属板 有500张，劳动力有300个，机时有100小时，如果生产某种 容器，不管生产数量多少，都要支付一笔固定费用，小、中 、大号容器的固定费用分别为100元、150元、200元，现要 制订一生产计划，使获得的利润最大。
定义 则上述条件可以表示成
(2) 约束条件的右端可能是 r个值中的某一个 定义 则上述条件可以表示成
(3) 两组条件中满足其中的一组
定义 则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用 目标函数是总费用最小 定义
则目标函数可以表示成
3. 整数规划问题的特征与性质
特征—变量整数性要求 来源
待定地址
投资金额 （万元） 年利润 （万元）
A1 A2 A3 A4 A5 投资总额
20 30 25 40 45
100
10 25 20 25 30
解：设 则该问题的数学模型为
例 3 工厂选址问题： 某商品有n 个销地，各销地的需求量为bj 吨/天；现拟在m 个地点中选址建生产厂，一个地点最多只能建一个工厂； 若选i 地建厂，生产能力为ai吨/天，固定费用为di元/天；已 知i 地至第j 销地的单位运费为cij元/吨。问如何选址和安排 调运，才能使总费用最小？ 设：yi=1，表示选择第i 地建厂， yi=0，表示不选择第i 地建 厂；从厂址i 至销地j 运量为xij，总费用为z。
分枝定界法的基本思想
▪ 先求放松的LP的最优解，若放松LP问题无解，则原 ILP问题也无解。
▪ 若放松LP问题的最优解符合整数要求，则是原ILP的 最优解；
▪ 若放松LP问题的最优解含非整数分量，则将ILP问题 分为几个子问题，试图做到：要么找到某个子问题的 最优解，要么判断原问题ILP的最优解一定不在子问 题的可行区域内。
问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可行域是离散集合
4. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 则称为纯整数规划 (All IP)； 混合整数规划
仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 划(Mixed IP)；
0-1整数规划
要求决策变量只能取0或1值，则称为0-1规划(0-1 Programming)。
某公司准备投资100万元在甲、乙两座城市修建健身中心 ，经过多方考察，最后选定A1, A2, A3, A4和A5五个位 置，并且决定在甲城市的A1、 A2、 A3三个位置中最多 投建两个；在乙城市的A4、A5两个位置中最少投建一 个。如果已知各点的投资金额和年利润如下表。 问：健身中心投建在哪些位置才会使总的年利润最大？
第二节 整数规划的求解方法
1. 分支定界法 2. 割平面法
1.分支定界法
分枝定界法是本世纪60年代初由Land Doig和Dakin 等人提出的，可用于解纯整数规划或混合整数规划。
整数规划ILP
放松的线性规划LP
放松问题的最优目 标函数等值线
整数规划问题的最 优目标函数等值线
整数规划的最优解不一定在顶点上达到； 整数规划的最优解不一定是放松问题最优解的邻近整
本章内容的安排
第一节 整数线性规划问题的数学模型 第二节 整数规划的求解方法* 第三节 指派问题及匈牙利解法
第一节 整数线性规划问题的数学模型
1. 引例 2. 逻辑变量在整数规划建模中的作用 3. 整数规划问题的特征与性质 4. 整数规划模型的分类
1. 引例
例1（装载问题）
有一辆卡车的最大载重量为b 吨,现有n 种货物可供装 载。设第j 种货物每件重aj 吨,每件的装载费用为cj 元 (j=1,…n)。问应该采用怎样的装载方案才能使卡车一 次装载货物的收入最大?
数解； 整数可行解的个数远多于顶点个数，枚举法不可取。
整数规划ILP
放松的线性规划LP
整数规划ILP和放松问题LP的关系 ➢ ILP的可行区域是LP的可行区域的子集； ➢ 如果LP无可行解，则ILP无可行解； ➢ LP的最优值是ILP的最优值的一个上界； ➢ 若LP的最优解为整数向量，则它也是ILP的最优解。
解:设xj为卡车装载第j 种货物的件数(j=1,2,…,,n), z表 示卡车一次装载的收入,则该问题的数学模型为
max z = c1x1 + c2x2+…+ c n x n
s.t. a1x1 + a2x2+…+ a n x n b x j 0 且为整数(j=1,2,…,,n)
例2.（选址问题—相互排斥的计划）