2020年中学数学26 椭圆的基本量(解析版)

考点26 椭圆的基本量

1. 掌握椭圆定义和几何图形 .

2. 掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程 .

3. 掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 . 了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法 .

4. 会运用统一定义转化到椭圆上的点到焦点距离和到相应准线距离 .

高考在椭圆部分的考查主要体现在椭圆的标准方程与几何性质，主要考点椭圆的标准方程、几何意义，特别是离心率的问题，考查的形式有填空题、选择题和解答题的第一问。

椭圆的试题,在填空题中主要考查椭圆的离心率、椭圆的定义及统一定义的应用,在解答题中,主要考查直线与椭圆的综合问题,这类问题的解法是:由直线方程与椭圆的方程联立成方程组,求出交点后,再来进一步地研究问题,这类问题主要围绕着椭圆的方程、椭圆的几何性质以及直线与椭圆相交时产生的弦长等研究来展开,一般来说,难度都不大,属于中档题 .在复习中也要提别注意求椭圆的离心率等性质。

1、【2019年高考北京卷理数】已知椭圆22

22 1x y a b

+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则

A ．a 2=2b 2

B ．3a 2=4b 2

C ．a =2b

D ．3a =4b

【答案】B

【解析】椭圆的离心率2

221,2

c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.

2、【2017年高考浙江卷】椭圆22

194

x y +=的离心率是

A

．

3

B

．

3

C ．

23

D ．

59

【答案】B

【解析】椭圆22194x y +=

的离心率e =

，故选B ． 3、【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22

221(0)x y C a b a b

+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶

点，点P 在过A

的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．

13

D ．

14

【答案】D

【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以212||2||PF F F c ==， 由AP

2tan PAF ∠=

所以2sin PAF ∠=

，2cos PAF ∠=， 由正弦定理得2222

sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，

所以

2

225sin()3c a c PAF ==+-∠，

所以4a c =，1

4

e =

，故选D ． 4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C

交于A ，B

两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为

A ．2

212x y +=

B ．22

132x y += C ．22

143

x y +=

D ．22

154

x y += 【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．

在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991

cos 2233

n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．

在12AF F △中，由余弦定理得2

2

14422243n n n n +-⋅⋅⋅

=，解得3n =． 2

2

2

2423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=，故选B ．

法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．

在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得222122

2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n

⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得

223611n n +=

，解得2

n =

．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=，故选B ．

5、【2020年山东卷】.已知曲线22

:1C mx ny +=.（ ）

A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上

B. 若m =n >0，则C

C. 若mn <0，则C

是双曲线，其渐近线方程为y = D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD

【解析】对于A ，若0m n >>，则22

1mx ny +=可化为22

111

x y m n

+=， 因为0m n >>，所以

11

m n

<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确； 对于B ，若0m n =>，则22

1mx ny +=可化为2

2

1x y n

+=

， 此时曲线C

的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则22

1mx ny +=可化为22

111

x y m n

+=， 此时曲线C 表示双曲线，由2

2

0mx ny +=

可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则22

1mx ny +=可化为2

1y n

=

，

y =±

，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.