《数学建模(第四版)》 4.7 钢管切割问题

摘要

该问题在于确定钢管切割模式的安排上，显然是一个优化问题。是一个在原料和成品长度等约束下求最小费用的优化模型。我们在分析题目的各种限制因素后，找到初步的目标函数，找到约束条件，建立 IP（整数优化）模型。在求解模型过程中，由于问题的规模小，我们通过分析约束条件采取枚举法分析可行域，运用 MATLAB 找到钢管切割模式的可行解。然后在目标函数下，进而求出最优解集合。

考虑到实际生活常识，通过对满足约束条件下的最优解来进行分析，找到符合实际的最优解。依此来确定最终的切割模式方案。在求解模型的过程中，针对不同的假设背景下，可以简化模型的求解过程。我们运用 LINDO/LINGO 或 MATLAB 编写程序来进行求解，同时用 LINDO/LINGO 软件进行初步的可行性和灵敏度分析。为了使主要结果的直观性和形象性，对获得的数据运用 MATLAB 处理成图表。在文章的最后，我们对模型的改进和模型的应用范围进行了适当的分析，提出关于与模型的相关问题的见解。

关键词：切割模式优化 MATLAB/LINGO 灵敏度分析

一、 问题重述

原料钢管长度 1850mm ，现要从这一批原料钢管中切割出 15 根 290mm ，28 根 315mm ，21 根 350mm 和 30 根 455mm 三种特定长度的成品钢管。合理的切割模式 确定后，求使切割总费用最小的切割方案。问题中的原料和成品长度都有限定， 切割费用也与切割模式有关。在阅读分析题目后，其中限制条件主要有：

1原料钢管长度限制，所以每根钢管的切割模式总长度不能超过 1850mm 。 2 一根钢管最多生产 5 根成品钢管，切割后的成品根数有限制 。 3 切割模式的种类不能超过 4 种 。

4 一根钢管在每种切割模式下的余料不能超过 100mm 。

5 费用的计算方式是和切割模式的使用频率有关 。

二、基本假设

(1) 切割过程中原料钢管不发生长度损失。

(2) 在切割过程中，只发生因切割而产生的费用。

(3) 切割费用只与切割模式使用频率有关，而与其他因素无关。

（4）在使总费用达到最小的所有模式中，认为余料最小是要比其他同等模式优 良的切割模式。

三、符号说明

i i i i r r r r 4321、、、: 分别表示一根钢管上切割长度为290mm 、315mm 、350mm 、455mm 钢

管的数目

i x ： 按第i 种模式切割的原料钢管根数（111 =i ）

四、问题的分析

首先要确定采用哪些切割模式。所谓切割模式，是指按照顾客要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。例如，我们可以将1850mm 的钢管切割成6根长290mm 的钢管，余料为110mm ；或者将长1850mm 的钢管切割成长290mm 、455mm 和315mm 的钢管各1根和350mm 的钢管2根，余料为84mm 。显然，可行的切割模式是很多的。

其次，应当明确哪些切割模式是合理的。合理的切割模式通常还假设余料不应超过100mm ，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。则切割模式的约束条件为：??

?≤+++≤+++≤5

1850

4553503152901750d c b a d c b a （4-1）

于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。

五、模型的建立与求解

经过简单的计算可知，合理的切割模式一共有7种，如表1所示。

表1 钢管下料的合理切割模式

模式 290mm 315mm 350mm 455mm 余料/mm 1 0 0 5 0 100 2 0 0 0 4 30 3 1 0 3 1 55 4 2 0 1 2 10 5 0 1 3 1 30 6 1 1 2 1 90 7 0 2 2 1 65 8 0 3 1 1 100 9 0 3 1 1 100 10 2 1 0 2 55 11 3

2

70

而所谓节省，可以有两种标准， 一是切割后剩余的总余料量最小，总余量：

11

1098765432117055100100659030105530100x x x x x x x x x x x MinZ ++++++++++=（5-1）

二是切割原料钢管的总根数最少。总根数：

1110987654321x x x x x x x x x x x MinZ ++++++++++= （5-2）

在选择切割模式的时候受到以下条件的约束： （1）所使用的切割模式的种类不能超过4种。

（2）使用频率最高的一种切割模式按照一个原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推。

约束条件，满足：???????≥+++≥+++≥+++≥+++30

2128154443432421414343332321314

24323222121414313212111x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r （5-3）

模式合理约束（每根余料不超过100mm ）：

??????

?≤+++≤≤+++≤≤+++≤≤+++≤1850

455350315290175018504553503152901750185045535031529017501850

4553503152901750443424144333231342

32221241312111r r r r r r r r r r r r r r r r (5-4) 整数约束：)3,2,1(4321=i r r r r x i i i i i 、、、、 为整数。

每根钢管长度为1850mm ，可以求得所需要的钢管数目下界为：

191850

30

455213502831515290=?+?+?+?

选择的模式数量大小约束：4321x x x x ≥≥≥（5-4） 用lingo 进行求解得到如下结果：

Variable Value X1 12.00000 X2 4.000000 X3 3.000000 X4 0.000000 R11 1.000000 R12 0.000000 R13 1.000000 R21 2.000000 R22 1.000000 R23 0.000000 R31 0.000000 R32 3.000000 R33 3.000000 R41 2.000000 R42 1.000000 R43 1.000000 R14 0.000000 R24 0.000000 R34 5.000000 R44 0.000000

模式一：290mm 钢管1根、315mm 钢管2根和455mm 钢管2根，需要12根 模式二；315mm 钢管1根、350mm 钢管3根和455mm 钢管1根，需要4根 模式三；290mm 钢管1根、350mm 钢管3根和455mm 钢管1根，需要3根

六、模型的评价与改进

优点： 这是一个经济生活中常见的确定生产方案问题，是运筹学中很典型的问题。 并且在合理的将约束条件简化条件下，能够和实际结果符合的较好。模型思路明朗清晰，结构简单，有一定的适用范围能够较为简便的解决生 产方案安排问题。模型可以很容易的推广到在 M 种原料下，生产 N 种成品的情形，方案制定 并进行优化（非遍历解法）。 改进： 由于这是在实际基础上经过理想化假设后抽象出来的数学模型，因此这个数学模型也存在着一些缺陷 ，必须是建立在静态假设条件下的，即要求在运输过程中相关价格量、供给 量、需求量等不能发生变动，模型的解是整数，即离散的，原因是经济中商品量的变动很多都是单位变 动，即离散的，所以模型就不能很好的处理量变化是连续性的商品运输问 题，这也会影响模型解的真实性。 不过以上的缺陷可以在这个模型的基础上进行改进，同时如果能够获得一些 准确的原始数据， 就能够较为客观的反映现实， 所以也不能否认这个模型的意义。