2019_2020学年高中数学第2章2.2超几何分布讲义苏教版选修2_3

2.2 超几何分布

学 习

目 标

核 心 素 养

1.了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(重点)

2．会利用超几何分布的概念判断一个实际问题是否属于超几何分布，从而利用相关公式解题．(难点)

1.通过超几何分布的学习，培养数学抽象素养．

2．借助超几何分布的求解，提升数学运算素养.

超几何分布的概率及其表示

一般地，若一个随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C r M C n －r

N －M

C n N

，其中r ＝0,1,2,3，…，l ，l ＝

min(n ，M )，则称X 服从超几何分布，记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －r

N －M

C n N

记为H (r ；n ，

M ，N )．

思考1：如何识别超几何分布？

[提示] 超几何分布必须满足以下两条：

①总数为N 件的物品只分为两类：M (M ≤N )件甲类(或次品)，其余的N －M 件为乙类(或正品)．

②随机变量X 表示从N 件物品中任取n (n ≤N )件物品，其中所含甲类物品(或次品)的件数． 思考2：在产品检验中超几何分布描述的是放回抽样还是不放回抽样？ [提示] 不放回抽样．

思考3：在超几何分布中，随机变量X 取值的最大值是M 吗？ [提示] 不一定．当n ≥M 时，最大值为M ，当n

1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是( ) A.37

42 B.1742 C.

1021

D.1721

C [根据题意知该问题为古典概型，所以P ＝C 14C 2

5C 39＝10

21

.]

2．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X 的分布列为P (X ＝r )＝________.

C r5C4－r

5 C410，r＝0,1,2,3,4 [P(X＝r)＝

C r5C4－r

5

C410

，r＝0,1,2,3,4.]

3．从有3个黑球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________．

15 28[由题意，这是一道超几何分布题，其中N＝8，M＝5，n＝2.所以P(X＝1)＝

C15C13

C28

＝

15

28

.]

超几何分布的辨析

【例1】

(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；

(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；

(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；

(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；

(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．

[思路探究] 总体是否由两类个体构成→随机变量是否为样本中一类个体的个数

→是否为不放回抽样

[解] (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．

(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，是超几何分布．

(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．

1．判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．2．超几何分布中，r，n，M，N均为有限数，且r≤min(n，M)．

1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)

①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；

②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；

③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.

①②[根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X 服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．]

超几何分布的概率

【例2】现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为1 7 .

(1)求7名学生中甲班的学生数；

(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．[思路探究] (1)利用古典概型求解．

(2)借助超几何分布的概率公式求解．

[解] (1)设甲班的学生人数为M，则

C2M C27＝

1

7

.

即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．∴7名学生中甲班的学生共有3人．

(2)由题意可知，ξ～H(2,3,7)，

∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)

＝C13C14

C27

＋

C23C04

C27

＝4

7

＋

1

7

＝5 7 .

求解此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布模型求解，否则借助相应概率公式求解．

2．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在5张卡片上印有“奖”字．游戏者从10张卡片中任意抽取5张，如果抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片，就可获得一件精美的小礼品；如果抽到的5张卡片上都印有“奖”字，除精美小礼品外，还可获赠一套丛书．一名同学准备试一试，那么他能获得精美小礼品的概率是多少？