通信原理第10章
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第10章 数字信号最佳接收
P(0 / 1) = P(ξ < a) = 1 2π σ ξ
∫
a
−
x2
2 2σ ξ
−∞
e
dx
式中
n0 P (0) 1 Ts a= ln − ∫ [ s1 (t ) − s 0 (t )] 2 dt 2 P (1) 2 0 n0 Ts 2 σ ξ = D(ξ ) = ∫ [ s1 (t ) − s 0 (t )]2 dt 2 0
E0、E1为信号码元的能量。 当s0(t) = s1(t)时，ρ＝1，为最大值；当s0(t) = -s1(t)时， ρ＝－1，为最小值。所以ρ 的取值范围在-1 ≤ ρ ≤ +1。
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第10章 数字信号最佳接收
当两码元的能量相等时，令E0 = E1 = Eb，则上式可以写成
∫ ρ=
并且
TS
0
s 0 (t ) s1 (t )dt Eb
(
)
s
因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：
2
第10章 数字信号最佳接收
若
1 P(1) exp− n0
[r (t ) − s1 (t )] dt < P(0) exp− 1 ∫0 [r (t ) − s0 (t )]2 dt ∫0 n0
Ts 2 Ts
则判为发送码元是s0(t)；若
7
第10章 数字信号最佳接收
10.4 确知数字信号最佳接收的误码率
总误码率
在最佳接收机中，若
Ts Ts 1 1 2 2 n0 ln + ∫ [r (t ) − s1 (t )] dt > n0 ln + ∫ [r (t ) − s 0 (t )] dt P (1) 0 P(0) 0
则判为发送码元是s0(t)。因此，在发送码元为s1(t)时， 若上式成立，则将发生错误判决。所以若将r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，则上式成立的概率就是在发送码元 “1”的条件下收到“0”的概率，即发生错误的条件概 率P(0 / 1)。此条件概率的计算结果如下 x2 − 2 a 1 2σ P(0 / 1) = P(ξ < a) = e ξ dx ∫ 2π σ ξ −∞
−z 2
∫
∞
Eb (1−ρ ) /
Eb (1 − ρ) 1 e dz = 1 − erf 2σξ 2 2σ ξ
−z 2
式中
erf ( x) =
2
π
∫
x
0
e
−z2
dz
利用下式中σξ2和n0关系 n0 Ts 2 σ ξ = D(ξ ) = ∫ [ s1 (t ) − s0 (t )]2 dt = n0 Eb (1 − ρ ) 2 0 代入上式，得到误码率最终表示式：
Eb 1 Eb 1 = erfc Pe = 1 − erf n 2 n0 2 0
例如，2PSK信号的相关系数就等于 -1。 当两种码元正交，即相关系数 ρ 等于0时，误码率等于 Eb 1 Eb 1 = erfc Pe = 1 − erf 2 2n 0 2 2n0 例如，2FSK信号的相关系数就等于或近似等于零。
确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预 知的信号。 判决准则
当发送码元为“0”，波形为so(t)时，接收电压的概率密度 2 为 1 T 1
f 0 (r ) = exp− n0
(
2π σ n
)
k
∫ [r (t ) − s (t )] dt
s
0
0
2 当发送码元为“1”，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度 1 T 1 f1 (r ) = exp− ∫ [r (t ) − s1 (t )] dt k 为 n0 0 2π σ n
第10章 数字信号最佳接收
这个判决准则常称为最大似然准则。按照这个准则判决就可 以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。 以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信 号的场合。设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码 元是s1，s2，…，si，…，sM之一，它们的先验概率相等，能 量相等。当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函 数为
ρ=
∫
Ts
0
s 0 (t ) s1 (t )dt
Ts s 2 (t )dt Ts s 2 (t )dt ∫0 0 ∫0 1
Ts 0 2 0
Ts 0
∫ =
Ts
0
s 0 (t ) s1 (t )dt E 0 E1
式中 E 0 = ∫ s (t )dt
E1 = ∫ s12 (t )dt
z 2 = x 2 / 2σ ξ2
dz = dx / 2σ ξ
13
第10章 数字信号最佳接收
Pe = =
于是上式变为 − Eb (1−ρ ) / 1
2πσ ξ 1
∫
2σξ
−∞
e
−z 2
2σ ξ dz =
1
π
∫
− Eb (1−ρ ) / 2σξ
−∞
e−z dz
2
π
∫
∞
Eb (1−ρ ) /
1 2 e dz = 2σξ 2 π
1 TS c = − ∫ [ s 0 (t ) − s1 (t )] 2 dt = − E b (1 − ρ ) 2 0
将上式代入误码率公式，得到
Pe =
1 2π σ ξ
∫e
−∞
c
−
x2
2 2σ ξ
dx =
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1 2π σ ξ
∫
− Eb (1− ρ )
−
x2
2 2σ ξ
−∞
e
dx
为了将上式变成实用的形式，作如下的代数变换： 令 z = x / 2σ ξ 则有
Eb (1 − ρ ) 1 E b (1 − ρ ) 1 = erfc Pe = 1 − erf 2 2 n0 2n 0 2
14
第10章 数字信号最佳接收
Eb (1 − ρ ) 1 E (1 − ρ ) 1 = erfc b Pe = 1 − erf 2 2n 0 2n 0 2
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第10章 数字信号最佳接收
相关系数 ρ 对于误码率的影响很大。当两种码元的波形相同， 相关系数最大，即ρ = 1时，误码率最大。这时的误码率Pe = 1/2。因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据 的乱猜。当两种码元的波形相反，相关系数最小，即ρ = -1 时，误码率最小。这时的最小误码率等于
第10章 数字信号最佳接收
误码率曲线
dB
16
第10章 数字信号最佳接收
最佳接收性能特点
误码率仅和Eb / n0以及相关系数ρ有关，与信号波形及噪声 功率无直接关系。 码元能量Eb与噪声功率谱密度n0之比，实际上相当于信号噪 声功率比Ps/Pn。因为若系统带宽B等于1/Ts， 则有 Eb Ps Ts Ps Ps Ps = = = = n0 n0 n0 (1 / Ts ) n0 B Pn 按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，所 需的最小带宽为(1/2Ts) Hz。对于已调信号，若采用的是 2PSK或2ASK信号，则其占用带宽应当是基带信号带宽的两 倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)当 作信号噪声功率比看待。
当先验概率P(0) = 0及P(1) = 1时，a = - ∞及b = ∞，因此由上 式计算出总误码率Pe = 0。在物理意义上，这时由于发送码 元只有一种可能性，即是确定的“1”。因此，不会发生错误。 同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ，总误码率也为零。
10
第10章 数字信号最佳接收
当先验概率相等时：
f i (r ) =
(
1 2π σ n
)
k
1 exp− n0
∫
Ts
0
[r (t ) − si (t )] dt
2
于是，若
f i (r ) > f 则判为si(t)，其中， j ( r ),
j≠i j = 1, 2, L, M
1
第10章 数字信号最佳接收
10.3 确知数字信号的最佳接收机
当先验概率不等时：
由计算表明，先验概率不等时的误码率将略小于先验概 率相等时的误码率。就误码率而言，先验概率相等是最 坏的情况。 11
第10章 数字信号最佳接收
先验概率相等时误码率的计算 在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码 元的区别。现在给出定量地描述码元区别的一个参量， 即码元的相关系数ρ ，其定义如下：
同理，可以求出发送s0(t)时，判决为收到s1(t)的条件错误概率
P(1 / 0) = P(ξ < b) =
式中
∫e 2π σ ξ
−∞
1
b
x2 − 2 2σ ξ
dx
n0 P (1) 1 TS b= ln − ∫ [ s 0 (t ) − s1 (t )]2 dt 2 P ( 0) 2 0
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第10章 数字信号最佳接收
o 0 Ts Ts
n0 ln P(1) 2 则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是s1(t)。W0
式中
n0 W0 = ln P(0) 2
W1 =
和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。
最佳接收机 按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：
4
第10章 数字信号最佳接收
W1 + ∫ r (t ) s1 (t )dt < W0 + ∫ r (t ) s 0 (t )dt
1 P(1) exp− n0
[r (t ) − s1 (t )] dt > P(0) exp− 1 ∫0 [r (t ) − s0 (t )]2 dt ∫0 n0
Ts 2 Ts
则判为发送码元是s1(t)。 将上两式的两端分别取对数，得到若 T T 1 1 2 2 n0 ln + ∫ [r (t ) − s1 (t )] dt > n0 ln + ∫ [r (t ) − s 0 (t )] dt P(1) 0 P ( 0) 0
o 0 Ts Ts
积分器 r(t) S0(t) 积分器 S1(t) W1 W0 t = Ts
比较判决
5
第10章 数字信号最佳接收
若此二进制信号的先验概率相等，则上式
W1 + ∫ r (t ) s1 (t )dt < W0 + ∫ r (t ) s 0 (t )dt
o 0 Ts Ts
简化为
∫
Ts
0
r (t ) s1 (t )dt < ∫ r (t ) s 0 (t）dt
式中
erf ( x) = 2
π
∫
x
0
e
−z2
dz — 误差函数
erfc ( x ) = 1 − erf ( x ) — 补误差函数
Eb — 码元能量； ρ — 码元相关系数； n0 — 噪声功率谱密度。 上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等 能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出 了它的曲线。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差， 15 但是绝对不可能超过它。
因此，总误码率为 Pe = P(1) P(0 / 1) + P(0) P(1 / 0)
1 = P(1) 2π σ ξ − 2 a 1 2σ ξ e dx + P(0) ∫−∞ 2π σ ξ
x2
∫
b
−
x2
2 2σ ξ
−∞
e
dx
先验概率对误码率的影响
P(0) = P(1) = 1/2，a = b。这样，上式可以化简为
Pe = 1 2π σ ξ
c − x2
2 2σ ξ
∫e
−∞
dx
1 Ts c = − ∫ [ s 0 (t ) − s1 (t )] 2 dt 式中 2 0 上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率 σξ2，误码率仅和两种码元波形之差[s0(t) – s1(t)]的能量有 关，而与波形本身无关。差别越大，c 值越小，误码率Pe 也越小。
0
Ts
最佳接收机的原理方框图也可以简化成
积分器 S0(t) t = Ts
比较判决
r(t)
积分器
S1(t)
6
第10章 数字信号最佳接收
由上述讨论不难推出M 进制通信系统的最佳接收机结构
积分器 S0(t) 积分器 r(t) S1(t)
M M
比 较 判 决
M M
积分器 SM(t)
上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算， 所以常称这种算法为相关接收法。 由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。
s s
则判为发送码元是s0(t)；反之则判为发送码元是s1(t)。由于已 经假设两个码元的能量相同，即
∫
Ts
0
s (t )dt = ∫ s12 (t )dt
2 0 0
Ts
所以上式还可以进一步简化。
3
第10章 数字信号最佳接收
若
W1 + ∫ r (t ) s1 (t )dt < W0 + ∫ r (t ) s0 (t )dt
第10章 数字信号最佳接收
P(0 / 1) = P(ξ < a) = 1 2π σ ξ
∫
a
−
x2
2 2σ ξ
−∞
e
dx
式中
n0 P (0) 1 Ts a= ln − ∫ [ s1 (t ) − s 0 (t )] 2 dt 2 P (1) 2 0 n0 Ts 2 σ ξ = D(ξ ) = ∫ [ s1 (t ) − s 0 (t )]2 dt 2 0
E0、E1为信号码元的能量。 当s0(t) = s1(t)时，ρ＝1，为最大值；当s0(t) = -s1(t)时， ρ＝－1，为最小值。所以ρ 的取值范围在-1 ≤ ρ ≤ +1。
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第10章 数字信号最佳接收
当两码元的能量相等时，令E0 = E1 = Eb，则上式可以写成
∫ ρ=
并且
TS
0
s 0 (t ) s1 (t )dt Eb
(
)
s
因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：
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第10章 数字信号最佳接收
若
1 P(1) exp− n0
[r (t ) − s1 (t )] dt < P(0) exp− 1 ∫0 [r (t ) − s0 (t )]2 dt ∫0 n0
Ts 2 Ts
则判为发送码元是s0(t)；若
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第10章 数字信号最佳接收
10.4 确知数字信号最佳接收的误码率
总误码率
在最佳接收机中，若
Ts Ts 1 1 2 2 n0 ln + ∫ [r (t ) − s1 (t )] dt > n0 ln + ∫ [r (t ) − s 0 (t )] dt P (1) 0 P(0) 0
则判为发送码元是s0(t)。因此，在发送码元为s1(t)时， 若上式成立，则将发生错误判决。所以若将r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，则上式成立的概率就是在发送码元 “1”的条件下收到“0”的概率，即发生错误的条件概 率P(0 / 1)。此条件概率的计算结果如下 x2 − 2 a 1 2σ P(0 / 1) = P(ξ < a) = e ξ dx ∫ 2π σ ξ −∞
−z 2
∫
∞
Eb (1−ρ ) /
Eb (1 − ρ) 1 e dz = 1 − erf 2σξ 2 2σ ξ
−z 2
式中
erf ( x) =
2
π
∫
x
0
e
−z2
dz
利用下式中σξ2和n0关系 n0 Ts 2 σ ξ = D(ξ ) = ∫ [ s1 (t ) − s0 (t )]2 dt = n0 Eb (1 − ρ ) 2 0 代入上式，得到误码率最终表示式：
Eb 1 Eb 1 = erfc Pe = 1 − erf n 2 n0 2 0
例如，2PSK信号的相关系数就等于 -1。 当两种码元正交，即相关系数 ρ 等于0时，误码率等于 Eb 1 Eb 1 = erfc Pe = 1 − erf 2 2n 0 2 2n0 例如，2FSK信号的相关系数就等于或近似等于零。
确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预 知的信号。 判决准则
当发送码元为“0”，波形为so(t)时，接收电压的概率密度 2 为 1 T 1
f 0 (r ) = exp− n0
(
2π σ n
)
k
∫ [r (t ) − s (t )] dt
s
0
0
2 当发送码元为“1”，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度 1 T 1 f1 (r ) = exp− ∫ [r (t ) − s1 (t )] dt k 为 n0 0 2π σ n
第10章 数字信号最佳接收
这个判决准则常称为最大似然准则。按照这个准则判决就可 以得到理论上最佳的误码率，即达到理论上的误码率最小值。 以上对于二进制最佳接收准则的分析，可以推广到多进制信 号的场合。设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码 元是s1，s2，…，si，…，sM之一，它们的先验概率相等，能 量相等。当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概率密度函 数为
ρ=
∫
Ts
0
s 0 (t ) s1 (t )dt
Ts s 2 (t )dt Ts s 2 (t )dt ∫0 0 ∫0 1
Ts 0 2 0
Ts 0
∫ =
Ts
0
s 0 (t ) s1 (t )dt E 0 E1
式中 E 0 = ∫ s (t )dt
E1 = ∫ s12 (t )dt
z 2 = x 2 / 2σ ξ2
dz = dx / 2σ ξ
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第10章 数字信号最佳接收
Pe = =
于是上式变为 − Eb (1−ρ ) / 1
2πσ ξ 1
∫
2σξ
−∞
e
−z 2
2σ ξ dz =
1
π
∫
− Eb (1−ρ ) / 2σξ
−∞
e−z dz
2
π
∫
∞
Eb (1−ρ ) /
1 2 e dz = 2σξ 2 π
1 TS c = − ∫ [ s 0 (t ) − s1 (t )] 2 dt = − E b (1 − ρ ) 2 0
将上式代入误码率公式，得到
Pe =
1 2π σ ξ
∫e
−∞
c
−
x2
2 2σ ξ
dx =
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1 2π σ ξ
∫
− Eb (1− ρ )
−
x2
2 2σ ξ
−∞
e
dx
为了将上式变成实用的形式，作如下的代数变换： 令 z = x / 2σ ξ 则有
Eb (1 − ρ ) 1 E b (1 − ρ ) 1 = erfc Pe = 1 − erf 2 2 n0 2n 0 2
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第10章 数字信号最佳接收
Eb (1 − ρ ) 1 E (1 − ρ ) 1 = erfc b Pe = 1 − erf 2 2n 0 2n 0 2
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第10章 数字信号最佳接收
相关系数 ρ 对于误码率的影响很大。当两种码元的波形相同， 相关系数最大，即ρ = 1时，误码率最大。这时的误码率Pe = 1/2。因为这时两种码元波形没有区别，接收端是在没有根据 的乱猜。当两种码元的波形相反，相关系数最小，即ρ = -1 时，误码率最小。这时的最小误码率等于
第10章 数字信号最佳接收
误码率曲线
dB
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第10章 数字信号最佳接收
最佳接收性能特点
误码率仅和Eb / n0以及相关系数ρ有关，与信号波形及噪声 功率无直接关系。 码元能量Eb与噪声功率谱密度n0之比，实际上相当于信号噪 声功率比Ps/Pn。因为若系统带宽B等于1/Ts， 则有 Eb Ps Ts Ps Ps Ps = = = = n0 n0 n0 (1 / Ts ) n0 B Pn 按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时，所 需的最小带宽为(1/2Ts) Hz。对于已调信号，若采用的是 2PSK或2ASK信号，则其占用带宽应当是基带信号带宽的两 倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)当 作信号噪声功率比看待。
当先验概率P(0) = 0及P(1) = 1时，a = - ∞及b = ∞，因此由上 式计算出总误码率Pe = 0。在物理意义上，这时由于发送码 元只有一种可能性，即是确定的“1”。因此，不会发生错误。 同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ，总误码率也为零。
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第10章 数字信号最佳接收
当先验概率相等时：
f i (r ) =
(
1 2π σ n
)
k
1 exp− n0
∫
Ts
0
[r (t ) − si (t )] dt
2
于是，若
f i (r ) > f 则判为si(t)，其中， j ( r ),
j≠i j = 1, 2, L, M
1
第10章 数字信号最佳接收
10.3 确知数字信号的最佳接收机
当先验概率不等时：
由计算表明，先验概率不等时的误码率将略小于先验概 率相等时的误码率。就误码率而言，先验概率相等是最 坏的情况。 11
第10章 数字信号最佳接收
先验概率相等时误码率的计算 在噪声强度给定的条件下，误码率完全决定于信号码 元的区别。现在给出定量地描述码元区别的一个参量， 即码元的相关系数ρ ，其定义如下：
同理，可以求出发送s0(t)时，判决为收到s1(t)的条件错误概率
P(1 / 0) = P(ξ < b) =
式中
∫e 2π σ ξ
−∞
1
b
x2 − 2 2σ ξ
dx
n0 P (1) 1 TS b= ln − ∫ [ s 0 (t ) − s1 (t )]2 dt 2 P ( 0) 2 0
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第10章 数字信号最佳接收
o 0 Ts Ts
n0 ln P(1) 2 则判为发送码元是s0(t)；反之，则判为发送码元是s1(t)。W0
式中
n0 W0 = ln P(0) 2
W1 =
和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。
最佳接收机 按照上式画出的最佳接收机原理方框图如下：
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第10章 数字信号最佳接收
W1 + ∫ r (t ) s1 (t )dt < W0 + ∫ r (t ) s 0 (t )dt
1 P(1) exp− n0
[r (t ) − s1 (t )] dt > P(0) exp− 1 ∫0 [r (t ) − s0 (t )]2 dt ∫0 n0
Ts 2 Ts
则判为发送码元是s1(t)。 将上两式的两端分别取对数，得到若 T T 1 1 2 2 n0 ln + ∫ [r (t ) − s1 (t )] dt > n0 ln + ∫ [r (t ) − s 0 (t )] dt P(1) 0 P ( 0) 0
o 0 Ts Ts
积分器 r(t) S0(t) 积分器 S1(t) W1 W0 t = Ts
比较判决
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第10章 数字信号最佳接收
若此二进制信号的先验概率相等，则上式
W1 + ∫ r (t ) s1 (t )dt < W0 + ∫ r (t ) s 0 (t )dt
o 0 Ts Ts
简化为
∫
Ts
0
r (t ) s1 (t )dt < ∫ r (t ) s 0 (t）dt
式中
erf ( x) = 2
π
∫
x
0
e
−z2
dz — 误差函数
erfc ( x ) = 1 − erf ( x ) — 补误差函数
Eb — 码元能量； ρ — 码元相关系数； n0 — 噪声功率谱密度。 上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等 能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出 了它的曲线。实际通信系统中得到的误码率只可能比它差， 15 但是绝对不可能超过它。
因此，总误码率为 Pe = P(1) P(0 / 1) + P(0) P(1 / 0)
1 = P(1) 2π σ ξ − 2 a 1 2σ ξ e dx + P(0) ∫−∞ 2π σ ξ
x2
∫
b
−
x2
2 2σ ξ
−∞
e
dx
先验概率对误码率的影响
P(0) = P(1) = 1/2，a = b。这样，上式可以化简为
Pe = 1 2π σ ξ
c − x2
2 2σ ξ
∫e
−∞
dx
1 Ts c = − ∫ [ s 0 (t ) − s1 (t )] 2 dt 式中 2 0 上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率 σξ2，误码率仅和两种码元波形之差[s0(t) – s1(t)]的能量有 关，而与波形本身无关。差别越大，c 值越小，误码率Pe 也越小。
0
Ts
最佳接收机的原理方框图也可以简化成
积分器 S0(t) t = Ts
比较判决
r(t)
积分器
S1(t)
6
第10章 数字信号最佳接收
由上述讨论不难推出M 进制通信系统的最佳接收机结构
积分器 S0(t) 积分器 r(t) S1(t)
M M
比 较 判 决
M M
积分器 SM(t)
上面的最佳接收机的核心是由相乘和积分构成的相关运算， 所以常称这种算法为相关接收法。 由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。
s s
则判为发送码元是s0(t)；反之则判为发送码元是s1(t)。由于已 经假设两个码元的能量相同，即
∫
Ts
0
s (t )dt = ∫ s12 (t )dt
2 0 0
Ts
所以上式还可以进一步简化。
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第10章 数字信号最佳接收
若
W1 + ∫ r (t ) s1 (t )dt < W0 + ∫ r (t ) s0 (t )dt