05--第五节--广义积分.doc
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第五节广义积分
我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分.
分布图示
★无穷限的广义积分
★无穷限的广义积分几何解释
★例1 ★例2 ★例3 ★例4
★例5 ★例6
★无界函数的广义积分
★例7 ★例8 ★例9 ★例10
★例11 ★例12 ★例13
★内容小结★课堂练习
★习题5-5
★返回
内容要点
一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
例题选讲
无穷限的广义积分
例1 (E01) 计算广义积分.
解对任意的有
于是
因此或
例2 (E02) 判断广义积分的敛散性.
解对任意
因为不存在,故由定义知无穷积分发散.
例3(E03) 计算广义积分.
解
例4 计算广义积分
解原式
例5(E04)计算广义积分(p是常数, 且时收敛).
解
注: 其中不定式
例6 (E05) 讨论广义积分的敛散性.
证
因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散.
无界函数的广义积分
例7(E06) 计算广义积分
解原式
例8(E07) 计算广义积分.
解
故题设广义积分发散.
例9(E08) 讨论广义积分的敛散性.
证
因此,当时,广义积分收敛,其值为当时,广义积分发散.
例10 计算广义积分瑕点.
解
,
例11 计算广义积分
解此题为混合型广义积分,积分上限为下限为被积函数的瑕点. 令则时,时,于是
再令取时时于是
注: 本题若采用变换等,计算会更简单,请读者自行解之.
例12 (E09) 计算广义积分.
解被积函数有两个可疑的瑕点:和
因为所以, 是被积函数的唯一瑕点.从而
例13计算
解分母的阶数较高,可利用到代换,令则
再令则
课堂练习
1. 计算广义积分;
2. 判断广义积分的瑕点.
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