最新丘成桐讲演几何魅力及应用ppt课件

• 空间容许真空解要求第一陈类为零。
卡拉比-丘成桐空间
• 第一陈类为零可以在代数意义下验证。 • 丘成桐证明了第一陈类为零的复曲面上存在具超
对称的真空爱因斯坦方程的解。这是卡拉比猜想 的一部分。
• 这类空间称为卡拉比-丘成桐空间。 • 椭圆曲线
y2x3n2x
也是一个卡拉比-丘成桐空间。
• 柏拉图多面体和某些卡拉比-丘成桐空间有着紧密 地联系。
• 黎曼-洛赫公式和阿蒂亚-辛格指标公式被用来解决
代数几何以及量子场论中的基本问题，影响深远。
• 在过去的三十年中，量子理论和量子场论对几何 学也有着重要的启发。
杨振宁-米尔斯理论 • 杨振宁-米尔斯理论也将非线性理论带入几何学。唐纳森理
论给出四维流形拓扑研究的重要意义。对埃米特型杨-米尔 斯联络的唐纳森-乌伦贝克-丘成桐定理给出代数几何的一 个新工具。
丘成桐讲演几何魅力及应用 ppt课件
拓扑和几何的现代发展
• 欧拉 (1707-1783)
多面体的欧拉公式，组合几何， 变分分析，几何与力学，极小曲 面。
• 高斯 (1777-1855)
双曲几何 ( 和罗巴切夫斯基 ( 1792-1856), 波尔约 (18021829)一起 )，高斯曲率的内蕴 定义。 )
全纯1-形式
• 受到流体力学和麦克斯韦方程的启发，嘉当，德·
拉姆，霍奇，小平邦彦发展了流形上的调和形式 理论，将流形上的分析与整体拓扑联系起来。
• 例子，在闭曲面上，每个环柄给出一个全纯1-形
式。其给出了在曲面上构造正交网的一种方法。
性质：三角剖分和分解 相互独立
大范围分析的发展
• 霍奇理论的发展在代数几何中引入了基本的分析 工具。
• 许多重要的非线性微分方程在现代几何学中变得非常基本
平均曲率流 调和映照 里奇流 (哈密尔顿方程 ) 这些方程的超对性形式正变得重要
• 非线性理论非常依赖于对线性理论的深刻理解。双曲方程
的线性理论还没有被很好的理解。
弦理论
• 这些方法已经大量应用于现代弦理论。 • 几何对量子场论的研究卓有成效、神奇非凡。 • 微分方程在代数和代数几何中也导致深刻的结果
黎曼度量的曲率
• 在高维情形，黎曼度量的曲率远不是一个数量函
数，它依赖于空间在某个截面上是如何弯曲的， 称为曲率张量。
• 可以对全部曲率张量缩并，得到一个小的张量， 称为里奇张量。记为 Rij 。
• 里奇张量是一个对称张量，其迹称为数量曲率。
记为 R。
爱因斯坦方程
• 黎曼几何被爱因斯坦(在格罗斯曼、希尔伯特帮助下)用来
n • n 如何计算 d 一百多年来一直困扰着数学家们。物理学中 的镜像对称预言可用经典超几何函数来计算所有的 d 。
• 1998年，连文豪-刘克峰-丘成桐首次给出完整的论证，使
问题得以最终解决。
卡拉比猜想的解决
卡拉比猜想的解决也给出了具负宇宙常数的度量。这类度 量实际上是庞加莱在曲面上构造的度量的推广。
最显著的断言是一个由复代数多项式定义的空间如果能形 变到一个复线性空间，那么这个空间也是复线性的。
可证明一个基本的不等式（米姚卡-丘成桐）：对于代数曲 面S,
3 C 2 (S ) C 1 2 (S ) C2(S)是曲面的欧拉数，C12(S) 和曲面的拓扑指标有关。
该不等式显示，对代数曲面，存在一些非平凡的拓扑限制。
• 当空间具超对称性时，该问题较容易。
求解爱因斯坦方程
• 例如, 当空间具复坐标 z1,z2,,zn黎曼度量并可写成
gijdiz dzj
• 这种情况下，有一个重要的量
1
2
z 2 z lo dg g e i) jd t ( zd z
• 有拓扑意义。
• 由陈省身引入，刻画着空间的整体拓扑，称为第一陈类。
有着同样的神奇性。
• 数学和大部分物理可以认为是几何的一部分。
讨论பைடு நூலகம்
• 我们能直觉地感觉到几何概念或许让几何成为宇宙构成的 最好语言。
• 在21世纪，我们将无法区别下面的学科： • 物理学：量子力学，广义相对论，弦理论。 • 几何学：示性类，指标公式。
▪ 算子理论。 ▪ 非线性椭圆、抛物方程、双曲系统、混合型方程。 ▪ 拓扑、代数几何、数论。
• 因而，很多经典力学中的守恒量在广义相对论无 法直接定义。这里包括质量、动量、角动量等。
• 对于广义相对论中的孤立物理系统，时空在无穷
远处基本上是平坦地，因而具渐进对称性。这给 出了总质量、总动量和总角动量的定义。
正质量
• 一个复杂的问题是在某些合理的条件下,证明总质 量是正的。
• 这对应着几何中，在某些数量曲率的限制下，研 究三维流形的几何。
卡拉比-丘成桐空间 • 记 X 为一五次卡拉比-丘成桐空间，其由射影空间中的下
述齐次多项式定义:
z 0 5 z 1 5 z 2 5 z 3 5 z 4 5 z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 0 .
• 简单地说，X上d 次有理曲线是一个d 次多项式
解
zjfj(t)j,0, 4
记 nd 是X上 d 次有理曲线的个数。
描述广义相对论。广义相对论融合了狭义相对论和引力。
• 爱因斯坦方程
RijR 2gij Tij
这里 T ij 是物质张量（引力由度量 g ij 的全部的曲率张
量来描述）。
• 爱因斯坦方程对几何学家们启发深刻。这是一个高度非线
性理论。（ g ij 是引力位势，是未知量）。
时空
• 一般地，我们不能期望由爱因斯坦方程定义的时 空有很多的对称性。
• 萧恩和丘成桐用经典的变分方法证明了正质量猜 想：研究空间中的极小曲面。
• 后来威腾用狄拉克方程和超引力重新证明了正质 量猜想。
求解爱因斯坦方程
• 广义相对论中困难的问题是如何求解爱因斯坦方 程。
• 物质张量为零 Tij 0 的情形。 • 黎曼几何中一个非常有趣的问题：能否找到一个
闭空间，没有物质却有引力？
基本原理
• 通过数学上的复杂的计算，基本原理应用于
应用学科。 几何现象，统计现象，非线性方程，非线性 离散现象，等等。 从应用学科中抽象出普适方法，演化成数学 学科。 基本原理。
我毫不犹豫地说，数学家值得为自己的天空去耕 耘，值得为了那些在物理学中没有应用的理论去研究。
——庞加莱
数学家就象法兰西人，无论你对他们说什么，他 们总是翻译成变得完全不同的，自己的语言。