福建师范大学《高等代数选讲》A卷答案

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《高等代数选讲》 期末考试A 卷

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一、单项选择题（每小题4分，共20分）1．设是阶方阵，是一正整数，则必有（D)

,A B n k ； ；

() ()k k k A AB A B =()B A A -=-； 。

22()()()C A B A B A B -=-+()D AB B A =2．设为矩阵，为矩阵，则（ A ）。

A m n ⨯

B n m ⨯若，则； 若，则；()A m n >0AB =()B m n <0AB =若，则； 若，则；

()

C m n >0AB ≠()

D m n <0AB ≠3．中下列子集是的子空间的为（ A ）．

n R n R

(){}3111[,0,,0,],n n A W a a a a =∈ R ；

()3

2121[,,,],1,2,,,1n

n i i i B W a a a a i n a =⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭∑ R ；，

()

3

3121[,,,],1,2,,,1n

n i i i C W a a a a i n a =⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭

∏ R ()

{}

342[1,,,],2,3,,n i D W a a a i n =∈= R 4．3元非齐次线性方程组，秩，有3个解向量，

Ax b =()2r A =123,,ααα，，则的一般解形式为（ C ）.

23(1,0,0)T αα-=12(2,4,6)T a α+=Ax b =

（A ），为任意常数

1(2,4,6)(1,0,0)T T k +1k （B ） ，为任意常数

1(1,2,3)(1,0,0)T T k +1k （C ） ，为任意常数 1(1,0,0)(2,4,6)T T k +1k （D ） ，为任意常数

1(1,0,0)(1,2,3)T T k +1k 5．已知矩阵的特征值为，则的特征值为（ D ）

A 1,1,2-1A -； ； ； 。()A 1,1,2-()

B 2,2,4-()

C 1,1,0-()

D 11,1,2

-二、填空题（共20分）

1．（6分）计算行列式 2 ；

16 。

22

2

1

11

2

34234=32001

2000

2321

2

4

4

=2．（4分）设，则 0 ； 0

44411

32145

3332223542

45613

D =212223A A A ++=2425A A +=。

3．（3分）计算 。100123100010456001001789010⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

4．（4分）若，则 1 ； -2 。

242(1)|1x ax bx -++a =b =

5．（3分）当满足　≠1,-2 时，方程组有唯一解。

λλ000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩

e a n d

A l l t h

i n g

s i

n t h

e i r

b e i n g

三．（10分）计算阶行列式：n 3200013200013

0000032000

1

3

n D =

四．已知矩阵满足，求X 111221022402110066X -⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

X

e a n d

A l l t h

i n g

s i

n t h

e i r

b e i n g

a r

e g o o d

五．（10分）利用综合除法将表示成的方幂和的形式。

4()f x x =1x -六．（15分）试就讨论线性方程组解的情况，并在有无穷,p t 123123

1

234

232724

px x x x tx x x tx x

++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩多解时求其通解。

解：

m

e a n d

A l l t h

i n g s i n t h e i r b e i n g

a r

e g o o d

f o

r

e a n d

A l l t h

i n g

s i

n t h

e i r

b e i n g

a r

七．（15分）设矩阵，122212221A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

1．求矩阵的所有特征值与特征向量；A 2．求正交矩阵，使得为对角矩阵。

P 1P AP -解：1、

（5-）（1-），

λλ，得A 的特征值为5，-1，-1

因此将

中得基础解系为

，其对应的全部特征向量为k 1a 1,其中k 1为

任意非零常数。将

代入中得基础解系为

，

其对应的全

部特征向量为k 2a 2+k 3a 3,其中k 2，k 3为不为零的常数。