数字信号处理课后答案第五章
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第五章习题讲解
1、用直接I型及典范结构实现以下系统函数： 用直接I型及典范结构实现以下系统函数：
3+ 4.2z−1 + 0.8z−2 H ( z) = 2 + 0.6z−1 −0.4z−2
解：根据IIR滤波器的系统函数标准式 根据IIR滤波器的系统函数标准式 IIR
M
H( z) = 1− ∑ n z−n a
2 1 6 −6 H( z) = (1− r z ) H0 ( z) + H3 ( z) + ∑Hk ( z) 6 k=1
又 5+3z−3 )(1− z−3 ) → 1− z−1 1+ z−1 + z−2 ( H( z) = 1− z−1
(
)(
)
= ( 5+3z−3 )(1+ z−1 + z−2 )
3、给出以下系统函数的并联型实现： 给出以下系统函数的并联型实现： 5.2 +1.58z−1 +1.41z−2 −1.6z−3 H( z) = 1−0.5z−1 )(1+0.9z−1 +0.8z−2 ) ( 解：对此函数进行因式分解并展成部分分式，得 对此函数进行因式分解并展成部分分式，
5.2 +1.58z−1 +1.41z−2 −1.6z−3 H( z) = 1−0.5z−1 )(1+0.9z−1 +0.8z−2 ) ( 0.2 1+0.3z−1 = 4+ + −1 1−0.5z 1+ 0.9z−1 +0.8z−2
1 3 3 1 h( n) = δ ( n) + δ ( n −1) +δ ( n −2) + δ ( n −3) + δ ( n −4) 5 5 5 5
得 h( 0) = h( 4) = 1 = 0.2 5 3 h(1) = h( 3) = = 0.6 5 h( 2) =1
1 h( 0) = h( 4) = = 0.2 5 h( 2) =1
H(1) = 2 − 2 3 j
H( 4) = 0
H( 5) = 2 + 2 3 j
H( 2) = 0
24 则 H ( z) = H( 0) = 0 1− rz−1 1−0.9z−1 H( 3) 2 H3 ( z) = = −1 1+ rz 1+0.9z−1
然后求 Hk ( z)
Hk ( z) = 1− z−12rcos k + r2z−2 N
β0k + β1k z−1 2π
其中 β0k = 2ReH( k)
β1k = −2r ReH( k)Wk N
k =1时
H1 ( z) = 1−2z rcos + r2z−2 N H(1) = 2 − 2 3 j β01 = 2ReH(1) = 4 β11 = ( −2) ⋅ ( 0.9) ⋅ ReH(1)W1 = 3.6 6
由H ( z) = ( 5+ 3z−3 )(1+ z−1 + z−2 )
得 π 2π −j k −j k 2π = 5+ 3 − jπk e ) 1+ e 3 + e 3 j H( k) = H ( z) z=2πk N k ( z =W = e N
即 H( 0) = 24
H( 3) = 2
8 −1 205 −2 205 −3 8 −4 −5 H(z)=1+ z − z + z − z −z 3 12 12 3
则横截型结构： 则横截型结构：
6、用频率抽样结构实现以下系统函数： 用频率抽样结构实现以下系统函数：
Baidu Nhomakorabea
5−2z−3 −3z−6 H( z) = 1− z−1
。 抽样点数 N = 6，修正半径 r = 0.9
2 1 6 −6 H( z) = (1− r z ) H0 ( z) + H3 ( z) + ∑Hk ( z) 6 k=1
4 +3.6z−1 H1 ( z) = 1−0.9z−1 +0.81z−2
H2 ( z) = 0
7、设某FIR数字滤波器的系统函数为 设某FIR数字滤波器的系统函数为 FIR 1 H( z) = (1+3z−1 +5z−2 +3z−3 + z−4 ) 5 试画出此滤波器的线性相位结构。 试画出此滤波器的线性相位结构。 反变换， 对系统函数求z反变换，得
β01 + β11z−1 2π −1
4 + 3.6z−1 ∴ H1 ( z) = 1−0.9z−1 + 0.81z−2
Hk ( z) = −1 2 −2 1− z 2rcos k + r z N
其中 β0k = 2ReH( k)
β0k + β1k z−1 2π
1 −1 1 −1 −1 −2 −1 −2 =1− z −2z + z 1+ z +6z + z (1− z−1 ) 2 6
5 −1 −2 37 −1 −2 = 1− z + z 1+ z + z (1− z−1) 6 2
8 −1 205 −2 205 −3 8 −4 −5 =1+ z − z + z − z −z 3 12 12 3
试问一共能构成几种级联型网络。 试问一共能构成几种级联型网络。
1+ β1k z−1 + β2k z−2 解：H( z) = A ∏1−α z−1 −α z−2 k 1k 2k
=
(1−0.5z )(1+0.9z
−1
4(1+ z−1)(1−1.4z−1 + z−2 )
−1
+0.8z
−2
)
考虑分子分母的组合及级联的次序， 考虑分子分母的组合及级联的次序，共有以下 四种级联型网络： 四种级联型网络：
3 h(1) = h( 3) = = 0.6 5
N −1 = 2处， 即 h( n) 是偶对称，对称中心在 n = 2 N为奇数 ( N = 5) 。
得线性相位结构：
a1 = −0.3 a2 = 0.2
直接I型结构： 直接I型结构：
b0 =1.5 b = 2.1 b2 = 0.4 1
典范型结构： 典范型结构：
2、用级联型结构实现以下系统函数： 用级联型结构实现以下系统函数：
H( z) =
( z −0.5) ( z2 +0.9z +0.8)
4( z +1) ( z2 −1.4z +1)
H( z) = G + 0
( N+1) /2
∑
k=1
γ0k +γ1k z −1 −2 1−α1k z −α2k z
−1
则并联结构： 并联结构：
4、用横截型结构实现以下系统函数： 用横截型结构实现以下系统函数：
1 −1 1 −1 −1 −1 H( z) = 1− z (1+6z )(1−2z ) 1+ z (1− z−1) 2 6 解： 1 −1 1 −1 −1 −1 H( z) = 1− z (1+6z )(1−2z ) 1+ z (1− z−1) 2 6
m=0 N n=1
bmz−m ∑
Y ( z) = X ( z)
将系统函数整理为： 将系统函数整理为：
1.5+ 2.1z + 0.4z H( z) = 1+ 0.3z−1 −0.2z−2
−1
−2
1.5+ 2.1z−1 +0.4z−2 = −1 −2 1−( −0.3z +0.2z )
1.5+ 2.1z−1 +0.4z−2 H(z) = −1 −2 1−( −0.3z +0.2z )
β1k = −2r ReH( k)Wk N
k = 2时
H( 2) = 0
β02 = β12 = 0
∴ H2 ( z) = 0
H( 0) 24 H0 ( z) = = −1 1− rz 1−0.9z−1 H( 3) 2 H3 ( z) = = −1 1+ rz 1+0.9z−1
得频率抽样结构：
N /2−1 1 N −N 解： H(z) = (1− r z ) H0(z) + HN /2 (z) + ∑ Hk (z) N k=1
6、用频率抽样结构实现以下系统函数： 用频率抽样结构实现以下系统函数：
5−2z−3 −3z−6 H( z) = 1− z−1
。 抽样点数 N = 6，修正半径 r = 0.9 解：由N = 6，得频率抽样型结构： ，得频率抽样型结构：
1、用直接I型及典范结构实现以下系统函数： 用直接I型及典范结构实现以下系统函数：
3+ 4.2z−1 + 0.8z−2 H ( z) = 2 + 0.6z−1 −0.4z−2
解：根据IIR滤波器的系统函数标准式 根据IIR滤波器的系统函数标准式 IIR
M
H( z) = 1− ∑ n z−n a
2 1 6 −6 H( z) = (1− r z ) H0 ( z) + H3 ( z) + ∑Hk ( z) 6 k=1
又 5+3z−3 )(1− z−3 ) → 1− z−1 1+ z−1 + z−2 ( H( z) = 1− z−1
(
)(
)
= ( 5+3z−3 )(1+ z−1 + z−2 )
3、给出以下系统函数的并联型实现： 给出以下系统函数的并联型实现： 5.2 +1.58z−1 +1.41z−2 −1.6z−3 H( z) = 1−0.5z−1 )(1+0.9z−1 +0.8z−2 ) ( 解：对此函数进行因式分解并展成部分分式，得 对此函数进行因式分解并展成部分分式，
5.2 +1.58z−1 +1.41z−2 −1.6z−3 H( z) = 1−0.5z−1 )(1+0.9z−1 +0.8z−2 ) ( 0.2 1+0.3z−1 = 4+ + −1 1−0.5z 1+ 0.9z−1 +0.8z−2
1 3 3 1 h( n) = δ ( n) + δ ( n −1) +δ ( n −2) + δ ( n −3) + δ ( n −4) 5 5 5 5
得 h( 0) = h( 4) = 1 = 0.2 5 3 h(1) = h( 3) = = 0.6 5 h( 2) =1
1 h( 0) = h( 4) = = 0.2 5 h( 2) =1
H(1) = 2 − 2 3 j
H( 4) = 0
H( 5) = 2 + 2 3 j
H( 2) = 0
24 则 H ( z) = H( 0) = 0 1− rz−1 1−0.9z−1 H( 3) 2 H3 ( z) = = −1 1+ rz 1+0.9z−1
然后求 Hk ( z)
Hk ( z) = 1− z−12rcos k + r2z−2 N
β0k + β1k z−1 2π
其中 β0k = 2ReH( k)
β1k = −2r ReH( k)Wk N
k =1时
H1 ( z) = 1−2z rcos + r2z−2 N H(1) = 2 − 2 3 j β01 = 2ReH(1) = 4 β11 = ( −2) ⋅ ( 0.9) ⋅ ReH(1)W1 = 3.6 6
由H ( z) = ( 5+ 3z−3 )(1+ z−1 + z−2 )
得 π 2π −j k −j k 2π = 5+ 3 − jπk e ) 1+ e 3 + e 3 j H( k) = H ( z) z=2πk N k ( z =W = e N
即 H( 0) = 24
H( 3) = 2
8 −1 205 −2 205 −3 8 −4 −5 H(z)=1+ z − z + z − z −z 3 12 12 3
则横截型结构： 则横截型结构：
6、用频率抽样结构实现以下系统函数： 用频率抽样结构实现以下系统函数：
Baidu Nhomakorabea
5−2z−3 −3z−6 H( z) = 1− z−1
。 抽样点数 N = 6，修正半径 r = 0.9
2 1 6 −6 H( z) = (1− r z ) H0 ( z) + H3 ( z) + ∑Hk ( z) 6 k=1
4 +3.6z−1 H1 ( z) = 1−0.9z−1 +0.81z−2
H2 ( z) = 0
7、设某FIR数字滤波器的系统函数为 设某FIR数字滤波器的系统函数为 FIR 1 H( z) = (1+3z−1 +5z−2 +3z−3 + z−4 ) 5 试画出此滤波器的线性相位结构。 试画出此滤波器的线性相位结构。 反变换， 对系统函数求z反变换，得
β01 + β11z−1 2π −1
4 + 3.6z−1 ∴ H1 ( z) = 1−0.9z−1 + 0.81z−2
Hk ( z) = −1 2 −2 1− z 2rcos k + r z N
其中 β0k = 2ReH( k)
β0k + β1k z−1 2π
1 −1 1 −1 −1 −2 −1 −2 =1− z −2z + z 1+ z +6z + z (1− z−1 ) 2 6
5 −1 −2 37 −1 −2 = 1− z + z 1+ z + z (1− z−1) 6 2
8 −1 205 −2 205 −3 8 −4 −5 =1+ z − z + z − z −z 3 12 12 3
试问一共能构成几种级联型网络。 试问一共能构成几种级联型网络。
1+ β1k z−1 + β2k z−2 解：H( z) = A ∏1−α z−1 −α z−2 k 1k 2k
=
(1−0.5z )(1+0.9z
−1
4(1+ z−1)(1−1.4z−1 + z−2 )
−1
+0.8z
−2
)
考虑分子分母的组合及级联的次序， 考虑分子分母的组合及级联的次序，共有以下 四种级联型网络： 四种级联型网络：
3 h(1) = h( 3) = = 0.6 5
N −1 = 2处， 即 h( n) 是偶对称，对称中心在 n = 2 N为奇数 ( N = 5) 。
得线性相位结构：
a1 = −0.3 a2 = 0.2
直接I型结构： 直接I型结构：
b0 =1.5 b = 2.1 b2 = 0.4 1
典范型结构： 典范型结构：
2、用级联型结构实现以下系统函数： 用级联型结构实现以下系统函数：
H( z) =
( z −0.5) ( z2 +0.9z +0.8)
4( z +1) ( z2 −1.4z +1)
H( z) = G + 0
( N+1) /2
∑
k=1
γ0k +γ1k z −1 −2 1−α1k z −α2k z
−1
则并联结构： 并联结构：
4、用横截型结构实现以下系统函数： 用横截型结构实现以下系统函数：
1 −1 1 −1 −1 −1 H( z) = 1− z (1+6z )(1−2z ) 1+ z (1− z−1) 2 6 解： 1 −1 1 −1 −1 −1 H( z) = 1− z (1+6z )(1−2z ) 1+ z (1− z−1) 2 6
m=0 N n=1
bmz−m ∑
Y ( z) = X ( z)
将系统函数整理为： 将系统函数整理为：
1.5+ 2.1z + 0.4z H( z) = 1+ 0.3z−1 −0.2z−2
−1
−2
1.5+ 2.1z−1 +0.4z−2 = −1 −2 1−( −0.3z +0.2z )
1.5+ 2.1z−1 +0.4z−2 H(z) = −1 −2 1−( −0.3z +0.2z )
β1k = −2r ReH( k)Wk N
k = 2时
H( 2) = 0
β02 = β12 = 0
∴ H2 ( z) = 0
H( 0) 24 H0 ( z) = = −1 1− rz 1−0.9z−1 H( 3) 2 H3 ( z) = = −1 1+ rz 1+0.9z−1
得频率抽样结构：
N /2−1 1 N −N 解： H(z) = (1− r z ) H0(z) + HN /2 (z) + ∑ Hk (z) N k=1
6、用频率抽样结构实现以下系统函数： 用频率抽样结构实现以下系统函数：
5−2z−3 −3z−6 H( z) = 1− z−1
。 抽样点数 N = 6，修正半径 r = 0.9 解：由N = 6，得频率抽样型结构： ，得频率抽样型结构：