研究生几个数学模型及建模方法

第一、二章 数学模型与建模

数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁

在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。

一. 模 型

为了一定的目的，人们对原型的一个抽象

例如:航空模型对飞机的一个抽象， 城市交通图对交通系统的一个抽象 二. 数 学 模 型

用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们用数学方法研究实际问题。 例1：牛顿定律 假设：

1. 物体为质量为m 的质点，忽略物体的大小和形状。

2. 没有阻力、摩擦力及其他外力，只有沿物体运动方向的作用力F 。 引入变量 x(t)表示在t 时刻物体的位置，则受力物体满足如下运动规律， 这就是牛顿定律的数学模型。 例2：哥尼斯堡七桥问题 问题：能否从某地出发，

通过每座桥恰好一次，回到原地？

由4个结点7条边组成的图构成解决这个问题的数学模型。 三. 数学模型的特征

1. 实践性：有实际背景，有针对性。接受实践的检验。

2. 应用性：注意实际问题的要求。强调模型的实用价值。

3. 综合性：数学与其他学科知识的综合。 四. 建模举例

数学建模（Mathematical modelling) 是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并―解决‖实际问题的强有力的数学工具。 下面给出几个数学建模的例子，重点说明： 如何做出合理的、简化的假设；

如何选择参数、变量，用数学语言确切的表述实际问题；

如何分析模型的结果，解决或解释实际问题，或根据实际情况改进模型。

例 1. 管道包扎

问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。 假设：

1. 直圆管，粗细一致。

2. 带子等宽，无弹性。

3. 带宽小于圆管截面周长。

4. 为省工, 用缠绕的方法包扎管道.

参量、变量： W ：带宽，C ：圆管截面周长，θ：倾斜角 （倾斜角）包扎模型 θsin C W =

（截口）包扎模型 22||W C OB -=

进一步问, 如果知道直圆管道的长度，用缠绕的方法包扎管道，需用多长的带子？ 设管道长 L, 圆管截面周长 C, 带子宽 W , 带子长 M. 带长模型 2

2

/W

C W LC M -+=

问题:

1. 若L = 30m, C = 50cm, W = 30cm , 则最少要用多长的带子才能将管道缠绕包扎上?

2. 现有带长M1=51m，计划将这条带子全部用来缠绕包扎上面的管道。缠绕时允许带子互相重叠一部分。应该如何包扎这个管道？(计算结果精确到0.001)

例2. 桌子摆放

问题：在起伏不平的地面上能不能让桌子的四个脚同时着地？

建模证实，在一定条件下能在起伏不平的地面上放稳桌子，即能让桌子的四个脚同时着地。

假设：

1.桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面正方形ABCD。

2.地面的起伏是连续变化的。

3 地面相对平坦，使得桌子在任何位置至少有三个脚同时着地。

参数，变量。

1. 如何描述―桌子的四个脚同时着地‖？

记x A

x B、x C、x D分别为脚A，B, C, D与地面的距离。

，

则当x A =x B= x C=x D =0时，桌子的四个脚同时着地。

2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？

定位：方桌的对称中心O位于平面坐标原点

移动：桌子围绕中心转动。记θ为AC与X轴的夹角, 则可用θ表示桌子移动的位置。θ0≤≤. 于是桌子转动时，4个桌脚与地面的距离是è的函数。由中心对称性知，只需两个距离函数表示桌子的状态。

令f(θ)= x A(θ ) + x C(θ ), g(θ)= x B(θ )+ x D(θ )

如果在位置θ*桌子四脚落地, 则有f(θ*) = g(θ*) = 0.

根据假设 2 知f(θ) 和g(θ)是连续函数，

根据假设 3 有f(θ) ∙ g(θ)≡0，∀θ.

根据假设1有f(θ1)=g(θ0) 和g(θ1)=f(θ0), 其中θ1=θ0+ 900

模型：

已知f(θ) 和g(θ)是连续函数，f(θ) ∙ g(θ)≡0，∀θ.

若f(θ0) = 0, g(θ0) > 0, 则存在θ*使得f(θ*) = g(θ*)=0。

证明：因为f(θ1)=g(θ0)>0, g(θ1)=f(θ0)=0,

令h(θ) = f(θ) - g(θ), 则h(θ) 连续且h(θ0) < 0, h(θ1) > 0. 所以，根据连续函数的介值定理知，存在θ*, θ0≤θ *≤θ1, 使得f(θ*) = g(θ*)=0。

问题：

1. 将例4的假设1改为―桌子的四条腿等长，四脚连线呈平面长方形ABCD‖，试构造数学模型证实结论同样成立。

2. 小王早上8：00从A城出发于下午5：00到达B城。次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回并于下午5：00准时到达A城。试用数学模型说明A、B城之间定有一个位置，小王在往返A、B二城的途中于相同的时间到达该位置。

例3：交通路口红绿灯

十字路口绿灯亮30秒，最多可以通过多少辆汽车？

假设

1. 车辆相同，从静止开始做匀加速运动。

2. 车距相同，启动延迟时间相等。

3. 直行，不拐弯，单侧，单车道。

4. 秩序良好，不堵车。

参数，变量：车长L，车距D，加速度a，启动延迟T，在时刻t 第n 辆车的位置S n（t）

用数轴表示车辆行驶道路,数轴的正向为汽车行驶方向, 数轴原点为红绿灯的位置。于是, 当S n(30)>0时, 表明在第30秒第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。

模型

1.停车位模型：S n（0）=–(n-1)(L+D)

2. 启动时间模型: t n =(n-1)T

3. 行驶模型: S n(t)=S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t>t n

参数估计L=5m，D=2m，T=1s，a=2m/s

解: S n(30)=-7(n-1)+(30-(n-1))2>0 得n≤19 且t19=18<30=t 成立。

答案: 最多19辆车通过路口.

改进：考虑到城市车辆的限速，在匀加速运动启动后，达到最高限速后，停止加速, 按最高限速运动穿过路口。

最高限速：校园内v*=15公里/小时=4米/秒，长安街上v*=40公里/小时=11米/秒，环城路上v*=60公里/小时=17米/秒

取最高限速v*=11m/s，达到最高限速时间t n*=v* /a+t n =5.5+n-1

限速行驶模型:

S n(t)=S n(0)+1/2 a(t n *–t n )2+v*(t-t n*), t>t n*

=S n(0)+1/2 a (t-t n) 2, t n*>t>t n

= S n(0) t n>t

解：S n(30)=-7(n-1)+(5.5)2+11(30-5.5-(n-1))>0 得n≤17 且t17 *=5.5+16=21.5<30=t 成立。

结论: 该路口最多通过17辆汽车.

问题

1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。

10. 调查的位置，走向，车道数，时间。

调查数据（至少三次）：绿灯时间，通过的车数。分析数据不同的原因。

20. 分析模型的假设与实际是否一致；模型的参数与实际是否一致。

30. 分析模型的计算结果与观测结果是否一致？为什么？不一致时，如何修改模型。

2. 分析绿灯亮后，汽车开始以最高限速穿过路口的时间。

3. 给出穿过路口汽车的数量n随时间t变化的数学模型。

例4：人员疏散

建模分析意外事件发生时建筑物内的人员疏散所用的时间。

假设

1. 有一排k间教室，走道只有一个出口。

2 .人员撤离时，有序、单行、（间隔）均匀、匀速。

3. 室内人员排成一队列的时间不计，第一个人到达教室门口的时间不计(t0=0)。

参数：第k 间教室人数为n k+1, 教室距离为L k, 门宽为D，行进速度为v，人体间隔为d。如果只有第k间教室有人需要撤离，第k间教室疏散时间为T k

模型

K=1 情形：T1=(n1d+L1)/v

K=2 情形：

当第二间教室人不需等待时，即(L2+D)≥(n1+1)d，T12= T2=(n2d+L1+L2+D)/v,

当第二间教室人需要等待时，即(L2 +D)<(n1+1)d, 等待时间T= (n1+1)d/v- (L2 +D)/v,

T12= T2 +T=[(n1+ n2+1 )d+L1] /v,

讨论

模型：T=(nd+L)/v,

分析：v↗, 则T↘; d↗, 则T↗.

令d=0, 则有T=L/v。疏散时间与人数无关!? 假设中忽略了人体的厚度!!

补充假设 4. 人体厚度相同w