第14章 统计物理学基础
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2020-09-13
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§14-1 理想气体压强和温度的统计意义 §14-2 能量均分定理 理想气体的内能 §14-3 粒子的经典统计分布 §14-4 气体分子的碰撞及其迁移现象 §14-5 粒子的统计分布
2020-09-13
3
§14-1理想气体压强和温度 的统计意义
4
一、系统的状态及其描述
IiN 1m l1 tvi2 xm l1 t iN 1vi2 x
3）求压强 IFt
P F S
I l2l3t
m l1l2l3
N
vi2x
i 1
Nm l1l2l3
vi2x N
VNmvx2 nmvx2
1 mv2为气体分
△t时1间nm内分v2子施2于nA1 的冲量为
3
3
2m 子v平ix2均 v2动 ixl1能t 平 均 ml值 1tvi2x
(p,V,T)
(p',V',T)
o
V
p' ,V ' ,T
7
2 .宏观量与微观量
宏观量: 表示大量分子集体特征的物理量(可 直接测量), 如 p，V，T 等.
直接测微量观)量，:如描分述子个的别m分，子运v等动.状态的物理量(不可
统计平均 微观量
宏观量
8
理想气体物态方程
质量m
pVmRT
(1)
M
摩尔p质量 Mm R普T恒适量气RN体m RT nKT (2)
方均根速率
1 mv2 3 kT
2
2
v2 3kT 3RT
m
M
17
§ 14-2 能量均分定理 理想气体内能
18
一、自由度
确定物体空间位置所需要的独立坐标数目
He
O2
H2O
NH 3
刚性分子：分子内原子间距离保持不变的分子
19
z
刚性分子的自由度 ：
• 单原子分子 ： i = 3 (平动自由度)
• 双原子分子 ：
1.系统的含义及其状态参量 1)系统 在热学中，我们所研究的对象是由大量的微观 粒子所组成的物系，这个物系称为热力学系统，简 称系统。系统以外的物体称为外界。
5
2)状态参量 •压强 p： 力学描述
单位: 1Pa 1Nm 2
p,V,T
标准大气压: 1at m 1.0 1150Pa
•体积V : 几何描述
C(x, y,z)
y
x
单原子分子
i = 3（平动）+ 2（转动）= 5
z
• 三原子及多原子分子: i = 3(平动)+ 3（转动）= 6
C(x, y,z)
y
x 双原子分子
20
二、能量均分定理
t 1 2m v22 3kT(平 均 平 动 动 能 )
vx 2
v2 y
vz2
1v2(统 3
计
假 )
设
1 2m vx 21 2m vy 21 2m vz21 2kT
3. 总冲量除以时间、面积即得压强。 12
2.统计解释
y
由统计假设，各器面压强相等。
考察 A 1 面 1) 一个分子与 A 1 碰撞时动量变
z 分 化及施i于子 A速 1 的冲量v i度 A2 o
vi2 vi2xvi2yvi2z
-m m v vvxx x
A1 y
zx
完全弹性碰撞 , 动能不
变，故速度大小不变 ：
15
压强的物理意义
统计关系式
pห้องสมุดไป่ตู้
2 3
n
宏观可测量量 微观量的统计平均值
思考 ： 为何在推导气体压强公式时不考虑分
子间的相互碰撞 ？
16
四、温度的统计意义
PV m RT M
P = nKT
P 2 n
3
将 式比较
P 2n nkT 1mv2 3kT
3
2
2
气体温度的本质：气体的温度是气体分子平 均平动功能的量度。含有统计的意义。
理想气体可看成大量自由地、无规则运动着 的弹性球分子的集合。
10
2.统计假设
1) 分子按位置的分布是均匀的，即每个分子在容器 内空间任何一点出现的概率是一样的。
n N dN V dV
2)分子速度按方向的分布是均匀的，即每个分子向 各个方向运动的机会(或概率)是均等的，因此速度 的每个分量的平均值应相等，即
vi、 y vi不 z 变 vix 变 ， 为 vix
长方体容器内有 N 个同类气体分子,
与 A1 碰撞一次，动量变化为
每个分子质量 m΄。
( m v ix) m v ix 2 m v ix
13
一个分子
与A1 碰撞一次，动量变化为
( m v ix) m v ix 2 m v ix
等于 A 1 施于分子的冲量
推广到转动和振动，则有
在温度为 T 的平衡态下，物质（气、固、液）分子 的每一个自由度的平均动能都是 k T / 2
—— 能量均分定理（统计规律）
21
若气体分子平动自由度为 t ，转动自由度为 r ，振动自由 度为 s，则
分子平均总动能 1（trs）kT
2
● 平均振动势能 简谐振动一周期内的平均动能等于平均势能 。
单位: 1m3103l
•温度T: 热学描述
单位: K (开尔文). T273t
6
3)平衡态 一定量的气体，在不受外界的影响下，经过一
定的时间，系统达到一个稳定的宏观性质不随时间 变化的状态称为平衡态.
气体在平衡态下有确定的温度，压强，体积，在 PV图中，一个点就表示气体的一个平衡态。
真空膨胀
p
p,V,T
MV
NomV
其中 n N 单位体积的分子数 V
摩尔气体常量 R 8 .3J1 m 1 o K l1
K＝R1.38 1 023JK1 称玻尔兹曼常数
No
9
二、理想气体分子模型和统计假设
1. 理想气体分子模型
1）分子可视为质点；
2）除碰撞瞬间, 分子间无相互作用力；
3）弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）；
各方向运动概率均等 vxvyvz0
各方向运动概率均等 v2xv2yv2z 13v2
11
三、理想气体的压强
1.理想气体压强公式
气体分子
器 壁
大量气体分子对器壁持 续不断的碰撞产生压力
类 似
密集雨点对雨 伞的冲击力
压强公式推导的步骤：
1. 一个分子碰撞器壁给器壁的冲量；
2. 所有分子碰撞给器壁的总冲量；
分子施于 A1 冲量 2 m vix
分子从A1
A2
A1
y
A2 o
-m m v vvxx
zx
A1 y
zx
所用时 ti 2 间 l1/vix
△t 时间内碰撞次数 t/ti vix t/2l1
△t 时间内分子施于 A1 的冲量为
2mvix
vixt 2l1
mt l1
vi2x
14
2 ) 全部气体分子与 A1碰撞时施于A1的总冲量
对于一个振动自由度，分子平均动能和平均势能各为 k T / 2 。
分子平均总能量 1（ tr2s） kTikT
2
2
22
三、理想气体的内能
动能
内能 势能
理想气体内能
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§14-1 理想气体压强和温度的统计意义 §14-2 能量均分定理 理想气体的内能 §14-3 粒子的经典统计分布 §14-4 气体分子的碰撞及其迁移现象 §14-5 粒子的统计分布
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§14-1理想气体压强和温度 的统计意义
4
一、系统的状态及其描述
IiN 1m l1 tvi2 xm l1 t iN 1vi2 x
3）求压强 IFt
P F S
I l2l3t
m l1l2l3
N
vi2x
i 1
Nm l1l2l3
vi2x N
VNmvx2 nmvx2
1 mv2为气体分
△t时1间nm内分v2子施2于nA1 的冲量为
3
3
2m 子v平ix2均 v2动 ixl1能t 平 均 ml值 1tvi2x
(p,V,T)
(p',V',T)
o
V
p' ,V ' ,T
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2 .宏观量与微观量
宏观量: 表示大量分子集体特征的物理量(可 直接测量), 如 p，V，T 等.
直接测微量观)量，:如描分述子个的别m分，子运v等动.状态的物理量(不可
统计平均 微观量
宏观量
8
理想气体物态方程
质量m
pVmRT
(1)
M
摩尔p质量 Mm R普T恒适量气RN体m RT nKT (2)
方均根速率
1 mv2 3 kT
2
2
v2 3kT 3RT
m
M
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§ 14-2 能量均分定理 理想气体内能
18
一、自由度
确定物体空间位置所需要的独立坐标数目
He
O2
H2O
NH 3
刚性分子：分子内原子间距离保持不变的分子
19
z
刚性分子的自由度 ：
• 单原子分子 ： i = 3 (平动自由度)
• 双原子分子 ：
1.系统的含义及其状态参量 1)系统 在热学中，我们所研究的对象是由大量的微观 粒子所组成的物系，这个物系称为热力学系统，简 称系统。系统以外的物体称为外界。
5
2)状态参量 •压强 p： 力学描述
单位: 1Pa 1Nm 2
p,V,T
标准大气压: 1at m 1.0 1150Pa
•体积V : 几何描述
C(x, y,z)
y
x
单原子分子
i = 3（平动）+ 2（转动）= 5
z
• 三原子及多原子分子: i = 3(平动)+ 3（转动）= 6
C(x, y,z)
y
x 双原子分子
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二、能量均分定理
t 1 2m v22 3kT(平 均 平 动 动 能 )
vx 2
v2 y
vz2
1v2(统 3
计
假 )
设
1 2m vx 21 2m vy 21 2m vz21 2kT
3. 总冲量除以时间、面积即得压强。 12
2.统计解释
y
由统计假设，各器面压强相等。
考察 A 1 面 1) 一个分子与 A 1 碰撞时动量变
z 分 化及施i于子 A速 1 的冲量v i度 A2 o
vi2 vi2xvi2yvi2z
-m m v vvxx x
A1 y
zx
完全弹性碰撞 , 动能不
变，故速度大小不变 ：
15
压强的物理意义
统计关系式
pห้องสมุดไป่ตู้
2 3
n
宏观可测量量 微观量的统计平均值
思考 ： 为何在推导气体压强公式时不考虑分
子间的相互碰撞 ？
16
四、温度的统计意义
PV m RT M
P = nKT
P 2 n
3
将 式比较
P 2n nkT 1mv2 3kT
3
2
2
气体温度的本质：气体的温度是气体分子平 均平动功能的量度。含有统计的意义。
理想气体可看成大量自由地、无规则运动着 的弹性球分子的集合。
10
2.统计假设
1) 分子按位置的分布是均匀的，即每个分子在容器 内空间任何一点出现的概率是一样的。
n N dN V dV
2)分子速度按方向的分布是均匀的，即每个分子向 各个方向运动的机会(或概率)是均等的，因此速度 的每个分量的平均值应相等，即
vi、 y vi不 z 变 vix 变 ， 为 vix
长方体容器内有 N 个同类气体分子,
与 A1 碰撞一次，动量变化为
每个分子质量 m΄。
( m v ix) m v ix 2 m v ix
13
一个分子
与A1 碰撞一次，动量变化为
( m v ix) m v ix 2 m v ix
等于 A 1 施于分子的冲量
推广到转动和振动，则有
在温度为 T 的平衡态下，物质（气、固、液）分子 的每一个自由度的平均动能都是 k T / 2
—— 能量均分定理（统计规律）
21
若气体分子平动自由度为 t ，转动自由度为 r ，振动自由 度为 s，则
分子平均总动能 1（trs）kT
2
● 平均振动势能 简谐振动一周期内的平均动能等于平均势能 。
单位: 1m3103l
•温度T: 热学描述
单位: K (开尔文). T273t
6
3)平衡态 一定量的气体，在不受外界的影响下，经过一
定的时间，系统达到一个稳定的宏观性质不随时间 变化的状态称为平衡态.
气体在平衡态下有确定的温度，压强，体积，在 PV图中，一个点就表示气体的一个平衡态。
真空膨胀
p
p,V,T
MV
NomV
其中 n N 单位体积的分子数 V
摩尔气体常量 R 8 .3J1 m 1 o K l1
K＝R1.38 1 023JK1 称玻尔兹曼常数
No
9
二、理想气体分子模型和统计假设
1. 理想气体分子模型
1）分子可视为质点；
2）除碰撞瞬间, 分子间无相互作用力；
3）弹性质点（碰撞均为完全弹性碰撞）；
各方向运动概率均等 vxvyvz0
各方向运动概率均等 v2xv2yv2z 13v2
11
三、理想气体的压强
1.理想气体压强公式
气体分子
器 壁
大量气体分子对器壁持 续不断的碰撞产生压力
类 似
密集雨点对雨 伞的冲击力
压强公式推导的步骤：
1. 一个分子碰撞器壁给器壁的冲量；
2. 所有分子碰撞给器壁的总冲量；
分子施于 A1 冲量 2 m vix
分子从A1
A2
A1
y
A2 o
-m m v vvxx
zx
A1 y
zx
所用时 ti 2 间 l1/vix
△t 时间内碰撞次数 t/ti vix t/2l1
△t 时间内分子施于 A1 的冲量为
2mvix
vixt 2l1
mt l1
vi2x
14
2 ) 全部气体分子与 A1碰撞时施于A1的总冲量
对于一个振动自由度，分子平均动能和平均势能各为 k T / 2 。
分子平均总能量 1（ tr2s） kTikT
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三、理想气体的内能
动能
内能 势能
理想气体内能