2022高三统考数学文北师大版一轮：第二章第十一节第二课时 导数与函数的极值、最值

第十一节第二课时导数与函数的极值、最值

授课提示：对应学生用书第43页

[基础梳理]

1．函数的极值与导数的关系

(1)函数的极小值与极小值点：

若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值．

(2)函数的极大值与极大值点：

若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫作函数的极大值点，f(b)叫作函数的极大值．

2．函数的最值与导数的关系

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．注意两种条件

(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．

(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．分清极值与最值的关系

(1)极值与最值的关系：极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．

(2)若函数f(x)的图像连续，则f(x)在[a，b]内一定有最值．

(3)若函数f(x)在[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．

(4)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．

[四基自测]

1．(基础点：极值与导数的关系)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()

A．1个B．2个

C．3个D．4个

答案：A

2．(基础点：闭区间上的函数的最值)函数f (x )＝x 33＋x 2

－3x －4在[0，2]上的最小值是( )

A ．－173

B ．－103

C ．－4

D ．－64

3 答案：A

3．(易错点：极小值点)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________． 答案：2

4．(基础点：极值与最值关系)函数y ＝x e x 的最小值是________．

答案：－1

e

授课提示：对应学生用书第43页

考点一 求函数的极值或极值点

挖掘 极值的存在性问题/互动探究 [例] (2019·高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1.证明： (1)f (x )存在唯一的极值点；

(2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． [证明] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．

f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1x .

因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1

x

在(0，＋∞)上单调递减，

所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．

又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－1

2>0， 故存在唯一x 0∈(1，2)，使得f ′(x 0)＝0. 又当x x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 因此，f (x )存在唯一的极值点．

(2)由(1)知f (x 0)0， 所以f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝α.

由α>x 0>1得1

α<1

又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α－1ln 1α－1

α－1＝f （α）α＝0，

故1

α是f (x )＝0在(0，x 0)的唯一根．

综上，f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． [破题技法] 1.利用导数研究函数极值的一般步骤 (1)确定函数定义域；

(2)求导数f ′(x )及f ′(x )＝0的根；

(3)根据方程f ′(x )＝0的根将函数定义域分成若干区间，列出表格，检查导函数f ′(x )

零点左右f′(x)的值的符号，如果左正右负，那么y＝f(x)在这个根处取极大值，如果左负右正，那么y＝f(x)在这个根处取极小值．如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．

2．判断极值点的个数

首先确定导数的零点的个数，再根据极值的定义，确定零点是否为极值点．

已知函数f(x)＝1

3x

3－

1

2ax

2，a∈R.

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；

(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

解析：(1)由题意f′(x)＝x2－ax，

所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，

所以f′(3)＝3，

因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0. (2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，

所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x

＝x(x－a)－(x－a)sin x

＝(x－a)(x－sin x)，

令h(x)＝x－sin x，

则h′(x)＝1－cos x≥0，

所以h(x)在R上单调递增．

因为h(0)＝0，

所以当x＞0时，h(x)＞0；

当x＜0时，h(x)＜0.

①当a

x (－∞，a) a (a，0)0(0，＋∞)

g′(x)＋0－0＋

g(x)极大极小

所以当x＝a时，g(x)有极大值为g(a)＝－1

6a

3－sin a.

当x＝0时，g(x)有极小值g(0)＝－a.

②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)．

当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值．

③当a

x (－∞，0)0(0，a) a (a，＋∞)

g′(x)＋0－0＋

g(x)极大极小

当x＝a时g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－1

6a

3－sin a.

综上所述，