111集合的含义与表示

1.1.1集合的含义与表示教案

一．教学目标：

l．（1）通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的关系；

（2）掌握集合中元素的三要素：确定性、互异性、无序性；

（3）掌握常用数集及其专用记号；

（4）会用集合语言表示有关的数学对象

2.能用自然语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的作用

3.本节通过实例，化抽象为具体，进而培养学生抽象概括的能力，增强学习的积极性

二. 教学重点、难点：

重点：集合的含义与表示方法

难点：表示法的恰当选择

三.教学方法与教学用具

1. 教学方法：问题引导、传统讲授

2. 教学用具：多媒体.

四. 教学过程

(一)引入新课：

正所谓“物以类聚，人以群分”，生活中为了方便我们对一些事物进行分类，在数学上，为了方便我们研究，我们也把研究的对象进行分类，在数学上，我们称之为集合。然而集合到底有什么含义呢？

（二）通过实例，体会集合的含义

我们先来看下面的例子：

（1）1～20以内的所有素数

（2）金星汽车厂2003年生产的所有汽车

例（1）中，我们把1～20以内的每一个元素作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，把金星汽车厂2003年生产的每一辆汽车作为元素，这些元素的全体也是一个集合。

问：那么以下的例子也是集合吗？如果是，那么它们的元素分别是什么？（学生回答）

（3）中国古代四大发明

（4）唐宋八大家

(5)方程2320

+-=的所有实数根

x x

（6）高一（1）班的全体学生

不难发现同学们对集合已经有一定的了解了，给出集合的描述性定义：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合。

同学们还能举出其它是集合的例子吗？（学生思考，老师提问）

（三）引出三要素

问：“二十八中高一的所有班级”是集合吗？它的元素是什么？

再问一个问题“世界上的高山”是集合吗？它的元素是什么？

我听到有不同的答案，有的同学说是，有的同学说不是。说是的同学请告诉我，它的元素是什么？是“世界上的每一座高山”？那怎样的山才算高山呢？其实，这不是集合，因为它违背了我们将要讲的集合中元素的确定性，这也是集合

的三要素之一。所谓的确定性是指，给定一个集合，它的元素必须是确定的。也就是说，某元素在不在这个集合中必须是确定的。例如，“高一（1）班的全体学生”，这是一个集合，随便说出一个人，他是不是我们班的学生已经是确定的了，某某同学是不是这个集合中的元素？姚明是不是这个集合的元素？我们再来看刚才的例子，高山只是一个模糊的定义，我们无法确定多高的山才算高山，所以它不是集合。如果我把它改成“世界上最高的山”，那么他是不是集合？它的元素是什么？

除了确定性之外，集合中的元素还有互异性和无序性。

所谓的互异性是指一个集合中的元素是互不相同的。而无序性是指集合中的元素的位置是不定的，是可以任意排列的。如果构成两个集合的元素是一样的，那么不管集合中的元素位置是否一样，这两个集合都是相等的。例如，高一（1）班的全体学生换座位之后还是高一（1）班。

（四）练一练1.判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由。

（1）大于3小于11的偶数

（2）我国的小河流

2.由实数2,,1x x 可构成具有两个元素的集合，求x 的值。

（五）元素与集合的关系

集合的提出是为了方便我们研究，然而我们总是说这个集合、那个集合的，很容易造成混乱，所以为了使用更方便，我们通常用大写拉丁字母,,...A B C 表示集合，用小写拉丁字母,,..a b c 表示集合中的元素。

事物之间都存在一定的关系，那么元素与集合之间又有什么用的关系呢？ 如果a 是集合A 中的元素，就说a A 属于集合,记作a A ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a A 不属于集合 ,记作a A ∉。

例如我们用A 表示“1～20以内的所有素数”组成的集合，则有3A ∈,4A ∉. （完成课后练习1）

（六）常用数集及记法

在数学中我们会经常用到一些数集：

（1） 全体非负整数组成的集合称为非负整数集或自然数集，记作N ；

（2） 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N N +或；

（3） 全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ；

（4） 全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ；

（5） 全体实数组成的集合称为实数集，记作R 。

（七）集合的表示方法

1、列举法

从上面一些例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。除此之外还可以用什么方法表示集合呢？

我们可以把“中国古代四大发明”表示为{造纸术，印刷术，指南针，火药}，可以把“方程(1)(2)0x x -+=的所有实数根”组成的集合表示为{1，2}。像这样

把集合的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，并用“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。

请同学们完成例1（（2）直接讲解，（1）和（3）叫学生到讲台写，再讲评）

2、描述法

你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？

答：大于1小于10的偶数。

你能用列举法表示不等式37x -<的解集吗？不能，因为这个集合的元素是列举不完的。但是，我们可以用这个集合中的元素具有的共合同特征来描述。

不等式37x -<的解集中元素的共同特征是：,37,10.x R x x ∈-<<即所以我们可以把这个集合表示为{|10}D x R x =∈<

又如，任何一个奇数都可以表示为21()x k k Z =+∈的形式，所以所有奇数组成的集合表示为{|21,}E x Z x k k Z =∈=+∈

像这样用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合的一般符号及取值范围（这个取值范围指的是这些元素属于哪一类常用数集，是实数，整数，还是有理数等等），再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素具有的共同特征。

思考：{|21}{(,)|21}A y y x B x y y x ==+==+集合和集合是相等的吗？

他们是不相等的，A 的元素是实数，B 的元素是坐标，所以他们是不相等的。 请同学们试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1） 方程220x -=的所有实数根组成的集合

（2） 由大于10小于20的所有整数组成的集合

从这个例子可以看出列举法和描述法各有各的优越性，一般的如果集合中的元素个数较少，我们优先考虑用列举法，如果集合中元素较多，就优先考虑用描述法。

要指出的是，如果从上下文来看，

x R ∈，x Z ∈是明确的，那么

x R ∈，x Z ∈可以省略，只写元素

x 。例如，集合{|10}D x R x =∈<，

可以写成{|10}D x x =<；

集合{|21,}E x Z x k k Z =∈=+∈

可以写成{|21,}E x x k k Z ==+∈。

完成练习2（1）、（4）

思考：结合上述实例，试比较自然语言、列举法和描述法各自的特点和适用对象.