分数指数幂_课件

分数指数幂
☞整数指数幂是如何定义的？有何规定？
an a1 4a2L43 a ( n N )
n个a
a0 1 ( a 0)
an
1 an
(
a
0, n N )
☞整数指数幂有那些运算性质?(m,n ∈Z)
(1) am an amn (m, n Z)
(2) (am )n amn (m, n Z)
9
a9的7次方根是 a 7 .
结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的。
综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义。
1.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N, 且n 1)
2.正数的负分数指数幂的意义：
a
m n
1
m
an
1 n am
(a 0, m, n N,且n 1)
21
11
15
(1) (2a3b2 )(6a2b3 ) (3a6b6 );
解：原式
=
[2
(6)
(3)]a
2 3
1 2
1 6
1
b2
1 3
5 6
4ab0 4a;
(2) (a b 2 3 )(4a1b) (12a4b2c)
(4) 12a21 b4 312c1
1 3
ac1
.
13
(4)(m 4 n8 )8
(2)
(
81 625
)
3 4
3
[(3)2]2
[(
3
)4
]
3 4
3
(32 )2
5
( 3 )3 33 125 1
5
27 27
124 27
.
例6.化简
(1
1 28
)(1
1 24
)(1
1 22
)(1
1 2
).
解
:
(1
1 28
)(1
1 24
)(1
1 22
)(1
1 2
)
(1 1
12 ) 1 2
(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q);
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0,r Q).
【1】求下列各式的值。
2
(1) 83 ,
(2)25
1 2
,
(3)
(
1 2
)5
,
(4)
(
16 81
)
3 4
.
解
:
(1)
2
83
(23
)
2 3
23
2 3
22
4;
(2)25
1 2
类比
9
7 a9 a7 .
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式.
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
3
5 43 45;
5
3 75 73;
3
43的5次方根是 45 ;
5
75的3次方根是 73 ;
2
3 a2 a3;
2
a2的3次方根是 a 3 ;
9
7 a9 a7 .
(m n)2
5
p3 q2
4.有理指数幂的运算性质
(1) am an amn (m, n Z)
(2) (am )n amn (m, n Z) (3) (ab)n anbn (m, n Z)
指数的概念从整数指数推广到了有理数指 数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂都 适用。
(1) aras ars (a 0, r, s Q);
(3) (ab)n anbn (m, n Z)
(4) am an amn(a 0 ,m,n Z,且m n)
(5)
( a )n b
an bn
(b
0, n
Z)
(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
3
312
3
(34 )3
34
12
33;
1.分数指数概念
m
(1) a n n am ;
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
(2)
a
m n
1
m
an
1; n am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂
没有意义.
2.有理指数幂运算性质
(1) aras ars (a 0, r, s Q);
(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q);
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).
补充【题型4】分数指数幂
a
m n
的求值.
例计算下列各式(式中字母都是正数).
(1) [(
8)
2 3
(
3
102
9
)2
]
105 .
3
(22
)
2 3
2
(103
9
)2
]
5
102
5
21 103 102
1 2
3
10
5 2
1 2
1
10 2
10 2
(1
1 2
)(1
1 22
)(1
1 24
)(1
1 28
)
(1
1 22
1
1 2
)
(1
1 22
)(1
1 24
)(1
1 28
)
(1
1 24
1
1 2
)
(1
1 24
)(1
1 28
)
(1 1
1 28
1 2
)
(1
1 28
)
1
1 216
1
1 2
2
1 215
.
(m
1 4
)8
(n
3 8
)8
m2n3 .
【题型3】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将 根式化成有理指数幂,再根据分数指数 幂的运算性质进行运算.
(1) (3 25 125 ) 4 5
2
3
1
(53 52 ) 54
2
1
3
1
53 54 52 54
21
31
53 4 52 4
5
(52
)
1 2
52(
1 2
)
51
1 5
;
(3)
(
1 2
)5
(
21 )5
25
32;
. (4)
(
16 81
)
3 4
[(
2 3
)4
]
3 4
( ) 2
4(
3 4
)
3
(Baidu Nhomakorabea
2 3
)3
27 8
【题型1】将根式转化分数指数幂的形式.
利用分数指数幂的形式表示下列各式(其中
a >0).
(1) a2 3 a2 ; (2) a 3 a .
3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指
数幂没有意义。
【1】用根式表示下列各式:(a＞0)
1
a2
3
a4
a
3 5
a
2 3
1
1
a
4 a3
5 a3
3 a2
【2】用分数指数幂表示下列各式：
3
4 (a b)3 (a b 0) (a b) 4
3 (m n)2
2
(m n)3
(m n)4 (m n) p6 q5 ( p 0)
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 ;
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
3
5 43 45; 5
3 75 73; 2
3 a2 a 3;
5
512 54
12 55 54 5.
【1】计算下列各式(式中字母都是正数).
(1)
a
a
a
111
a2 a4 a8
a1 2
1 4
1 8
7
a8
8 a7 .
a2
(2)
.
a 3 a2
解:原式 =
a2
1
2 1 2
5
2 a 2 3 a 6 6 a5 .
a2 a3
注意:结果可以用根式表示,也可以用分数指数 幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数 指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂.
解:
(1) a2 3
a2
2
a2 a3
a2
2 3
8
a3;
11
41
2
(2) a 3 a (a a 3 )2 (a 3 )2 a 3 .
☞当有多重根式时,要由里向外层层转化. ☞对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂. ☞要熟悉运算性质.
【题型2】分数指数幂的运算
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指数 相加,除的指数相减.