高等数学-全微分PPT课件
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全微分
Longlan_sophiey@163.com
1
一元函数 y = f (x) 的微分
y A x o ( x )
应用 近似计算
dyf(x) x
估计误差
1、全微分的定义
*2、全微分在数值计算中的应用
2
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )可表示成
13
特别注意
(1)
zxy时， δ z
δ
x
δ
y
z xy
(2) z y时, x
δz z
x y
(
y x2
)
δ x
x y
1 x
δ
y
δx x
δ
y
y
•乘除后的结果相对误差变大 •很小的数不能做除数
类似可以推广到三元及三元以上的情形.
14
例5. 利用公式 S12absiC n计算三角形面积.现测得 a 1 . 5 0 . 0 2 , b 8 . 3 1 0 . 0 , C 3 1 0 . 1 0
所以 S 的相对误差约为 δ S 0.13 0.5% S 25 .94
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
4
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微
则该函数在该点偏导数 z , z x y
dz z xz y x y
必存在,且有
证: 由全增量公式 z A x B y o () ,令y0,
10
例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 半径由 20cm 增大 到 20.05cm , 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体 体积的近似改变量.
解: 已知 Vr2h, 则
V 2rhr r2h
r2,0h10 , 0
r 0 .0,5 h 1
V 2 2 1 0 0 0 . 0 0 5 2 2 ( 0 1 )
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
解：δ S
S a
δa
S b
δb
S c
δc
1 2
bsinCδa12
asinC
δb12
abcoC s δC
故a 绝 1 对误.5 ,差2 b 约 为8 .3 δ,SC 03 .1 3,δ 0 a δ b 0 .0 ,δ 1 C 18
又 S1 2absiC n1 21.2 58.3si3n02.5 94
12
2. 误差估计
利用 z fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y 令 δx,δy,δz分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 则
z 的绝对误差界约为
δ z fx ( x ,y )δ x fy ( x ,y )δ y
z 的相对误差界约为
zzffx((xx,,yy))δxffy((xx,,yy))δy
z A x B y o (), (x)2(y)2
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，AxBy
称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作：
d z d fA x B y
若函数在域 D 内各点都可微,
解: z ye xy , x
z xexy y
x z(2,1)e2, y z(2,1)2e2
dz e2dx2e2dye2(dx2dy)
(2,1)
例2. 计算函数 uxsinyeyz的全微分. 2
解: du 1dx(1 2co 2 y sz e y z )dyyeyz dz
9
*二、全微分在数值计算中的应用
200(cm 3)
即受压后圆柱体体积减少了200cm3.
11
例4.计算 1.042.02的近似值. 解: 设 f(x,y)xy,则
fx(x,y)y xy1, fy(x,y)xy lnx 取 x1,y2, x 0 .0, 4 y 0 .02 则 1.02.4 0 2f(1.0,4 2.0)2
f( 1 ,2 ) f x ( 1 ,2 ) x f y ( 1 ,2 ) y 1 2 0 . 0 0 0 4 . 0 1 . 0 28
7
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 uf(x,y,z)的全微分为
du u x u y u z
x
y
z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du u d x u d y u d z
x
y
z
8
例1. 计算函数 zexy在点 (2,1) 处的全微分.
1. 近似计算 由全微分定义
z f x ( x ,y ) x f y ( x ,y ) y o ()
dz 可知当 x 及 y 较小时, 有近似等式:
z d z f x ( x ,y ) x f y ( x ,y ) y
(可用于近似计算; 误差分析)
f(x x ,y y )f(x,y)fx(x ,y ) x fy(x ,y ) y (可用于近似计算)
则称此函数在D 内可微.
3
由微分定义 :
lim z
x 0
l 0 i( m A x B y ) o () 0
y 0
得 limf(xx,yy)f(x,y)
x0 y0
即 函数 zz = ff (x( ,x y ) 在 x 点,y (x , y)y 可) 微f( 函x , 数y ) 在该点连续
得到对 x 的偏增量
wk.baidu.com
x zf(xx,y )f(x,y )Axo(x)
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 dzzxzy
y
x y
5
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即: 偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f(x,y)
xy , x2y20 x2y2
0,
x2y20
易知 fx(0 ,0 )fy(0 ,0 ) 0 ,但
z [ f x ( 0 ,0 ) x fy ( 0 ,0 ) y ]
xy (x)2 (y)2
xy
(x)2 (y)2
(x)2x(yy)2
0
o() 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
6
定理2 (充分条件) z z
若函数 z = f (x, y) 的偏导数 x , y 在点(x, y)连续， 则函数在该点可微分. 证：（略）
Longlan_sophiey@163.com
1
一元函数 y = f (x) 的微分
y A x o ( x )
应用 近似计算
dyf(x) x
估计误差
1、全微分的定义
*2、全微分在数值计算中的应用
2
一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 z f ( x x ,y y ) f ( x ,y )可表示成
13
特别注意
(1)
zxy时， δ z
δ
x
δ
y
z xy
(2) z y时, x
δz z
x y
(
y x2
)
δ x
x y
1 x
δ
y
δx x
δ
y
y
•乘除后的结果相对误差变大 •很小的数不能做除数
类似可以推广到三元及三元以上的情形.
14
例5. 利用公式 S12absiC n计算三角形面积.现测得 a 1 . 5 0 . 0 2 , b 8 . 3 1 0 . 0 , C 3 1 0 . 1 0
所以 S 的相对误差约为 δ S 0.13 0.5% S 25 .94
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
4
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微
则该函数在该点偏导数 z , z x y
dz z xz y x y
必存在,且有
证: 由全增量公式 z A x B y o () ,令y0,
10
例3. 有一圆柱体受压后发生形变, 半径由 20cm 增大 到 20.05cm , 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体 体积的近似改变量.
解: 已知 Vr2h, 则
V 2rhr r2h
r2,0h10 , 0
r 0 .0,5 h 1
V 2 2 1 0 0 0 . 0 0 5 2 2 ( 0 1 )
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
解：δ S
S a
δa
S b
δb
S c
δc
1 2
bsinCδa12
asinC
δb12
abcoC s δC
故a 绝 1 对误.5 ,差2 b 约 为8 .3 δ,SC 03 .1 3,δ 0 a δ b 0 .0 ,δ 1 C 18
又 S1 2absiC n1 21.2 58.3si3n02.5 94
12
2. 误差估计
利用 z fx ( x ,y ) x fy ( x ,y ) y 令 δx,δy,δz分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 则
z 的绝对误差界约为
δ z fx ( x ,y )δ x fy ( x ,y )δ y
z 的相对误差界约为
zzffx((xx,,yy))δxffy((xx,,yy))δy
z A x B y o (), (x)2(y)2
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，AxBy
称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作：
d z d fA x B y
若函数在域 D 内各点都可微,
解: z ye xy , x
z xexy y
x z(2,1)e2, y z(2,1)2e2
dz e2dx2e2dye2(dx2dy)
(2,1)
例2. 计算函数 uxsinyeyz的全微分. 2
解: du 1dx(1 2co 2 y sz e y z )dyyeyz dz
9
*二、全微分在数值计算中的应用
200(cm 3)
即受压后圆柱体体积减少了200cm3.
11
例4.计算 1.042.02的近似值. 解: 设 f(x,y)xy,则
fx(x,y)y xy1, fy(x,y)xy lnx 取 x1,y2, x 0 .0, 4 y 0 .02 则 1.02.4 0 2f(1.0,4 2.0)2
f( 1 ,2 ) f x ( 1 ,2 ) x f y ( 1 ,2 ) y 1 2 0 . 0 0 0 4 . 0 1 . 0 28
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推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 uf(x,y,z)的全微分为
du u x u y u z
x
y
z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du u d x u d y u d z
x
y
z
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例1. 计算函数 zexy在点 (2,1) 处的全微分.
1. 近似计算 由全微分定义
z f x ( x ,y ) x f y ( x ,y ) y o ()
dz 可知当 x 及 y 较小时, 有近似等式:
z d z f x ( x ,y ) x f y ( x ,y ) y
(可用于近似计算; 误差分析)
f(x x ,y y )f(x,y)fx(x ,y ) x fy(x ,y ) y (可用于近似计算)
则称此函数在D 内可微.
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由微分定义 :
lim z
x 0
l 0 i( m A x B y ) o () 0
y 0
得 limf(xx,yy)f(x,y)
x0 y0
即 函数 zz = ff (x( ,x y ) 在 x 点,y (x , y)y 可) 微f( 函x , 数y ) 在该点连续
得到对 x 的偏增量
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x zf(xx,y )f(x,y )Axo(x)
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 dzzxzy
y
x y
5
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即: 偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f(x,y)
xy , x2y20 x2y2
0,
x2y20
易知 fx(0 ,0 )fy(0 ,0 ) 0 ,但
z [ f x ( 0 ,0 ) x fy ( 0 ,0 ) y ]
xy (x)2 (y)2
xy
(x)2 (y)2
(x)2x(yy)2
0
o() 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
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定理2 (充分条件) z z
若函数 z = f (x, y) 的偏导数 x , y 在点(x, y)连续， 则函数在该点可微分. 证：（略）