组合数学第二章鸽巢原理

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例6： （中国余数定理）设m,n为两个互素的正整数， a,b是满足 的整数。 证明：
存在正整数x,使得x除以m的余数为a，除以n的余数 为b，即存在p, q，使得
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2.2 鸽巢原理的加强形式
定理2.2.1: 设 都是正整数，如果把 个物品放入n个盒子，那么或者 第1个盒子中至少有q1个物品， 或者第2个盒子中至少 有q2个物品， ……, 或者第n个盒子中至少有qn个物品. 推论2.2.1: 若将n(r-1)+1个物品放入n个盒子中， 则至少有一个盒子中有r个物品。
则必存在最小的正整数
时，设S是一集合且|S|=m， 将S的 所有t元子集任意分放到n个盒子里，那么要么有S中的 q1个元素，它的所有t元子集全在第一个盒子里； 要么 有S中的q2个元素， 它的所有t元子集全在第二个盒子里； 它的所有t元子集全在第 ……； 要么有S中的qn个元素， n个盒子里。
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2.4 Ramsey数的推广
定理2.4.1: 对任意的正整数
有
定理2.4.2: 对任意的正整数
有
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定理2.4.3: 设 划分，即
是集合
且
的任一
则存在某一个i, Si中有三个数x,y,z(不一定不同), 满足 方程 其中
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定理2.4.4:(Ramsey定理) 设 是正整数，且 使得当
对KN任意进行红、
则称 蓝两色边着色，KN中均有红色Ka或蓝色Kb， 为Ramsey数。 性质：
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定理2.3.1: 对任意的正整数
有
若
都是偶数， 上面不等式严格成立。 有
定理2.3.2: 对任意的正整数
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2.4 Ramsey数的推广
定义: 对于任意给定的正整数 正整数 使得当 n色边着色， N中或出现c1红色 K 或出现c2红色 ……，或出现cn红色 为广义Ramsey数。 则称 如果存在最小
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2.3 Ramsey问题与Ramsey数
命题2.3.1:对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 边着色，都存在一个红色三角形或一个蓝色三角形。 命题2.3.2:对6个顶点的完全图K6任意进行红、蓝两色 边着色，都至少存在两个同色三角形。
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2.3 Ramsey问题与Ramsey数
第二章 鸽巢原理
一、鸽巢原理的简单形式 二、鸽巢原理的加强形式 三、Ramsey问题与Ramsey数 四、Ramsey数的推广
2.1 鸽巢原理的简单形式
定理2.1.1:如果把n +1个物品放入n个盒子中， 那么至少 有一个盒子中有两个或更多的物品。 例1. 13个人中必有两人的属相相同。 例2. 在边长为1的正方形内任取5点，则其中至少有两 点，它们之间的距离不超过
注:
定理2.4.5:
命题2.3.3:对10个顶点的完全图K10任意进行红、蓝两色 边着色，都或者有一个红色K4，或者有一个蓝色K3。
命题2.3.4:对9个顶点的完全图K9任意进行红、蓝两色
边着色，都或者有一个红色K4，或者有一个蓝色K3。
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定义: 对于任意给定的两个正整数a和b， 如果存在最小
正整数r(a,b)，使得当
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推论2.2.2: 设
是n个整数， 而且
则
中至少有一个数不小于r。
推论2.2.3: 若将m个物品放入n个盒子中， 则至少有 一个盒子中有不少于 个物品。
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例1： 设有大小两只圆盘，每个都划分成大小相等的200
的小扇形，在大盘上任选100个小扇形漆成黑色，
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例3： 从1到200的所有整数中任取101个， 则这101个整数 中至少有一对数，其中的一个一定能被另一个整除。 例4. 给定m个整数 使得 例5. 一个棋手有11周时间准备锦标赛，他决定每天至 少下一盘棋，一周中下棋的次数不能多于12次， 证明：必存在整数k, l
证明：在此期间的连续一些天中他正好下棋21次。
其余的100个小扇形漆成白色， 而将小盘上的200个 小扇形任意漆成黑色或白色， 现将大小两只圆盘的 中心重合， 转动小盘使小盘上的每个小扇形含在大盘 上的小扇形之内。 证明：有一个位置使小盘上至少有 100个小扇形同大盘上相应的小扇形同色。
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例2.任意
个实数
组成的序列中，
必有一个长为n +1的递增子序列， 或必有一个长为 n +1的递降子序列。 例3. 将1到16这16个正整数任意分成三部分， 其中必 有一部分中的一个元素是该部分某两个元素之差 （三个元素不一定互不相同）。