《谢奇之-工程力学》杆件基本变形横截面上的应力-57页文档资料

A2 A1
62.28.72110044
0.31
可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴 的31% 。
Engineering Mechanics
例3－3、图示为某组合机床主轴箱第4轴示意图。
MA=15.9kN.m MB=MC=4.78kN.m MD＝6.37kN.m d=110mm
(1) 试求截面Ⅱ上距轴线
FN A
38.7 103
(20103)2
4
123106 Pa 123MPa
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例题4 刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力
F=25kN，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力 []=160MPa。
（1）试校核CD杆的强度；
（2）求结构的许可荷载[F]； （3）若F=50kN，设计CD杆的直径.
扭转强度条件：
max
Tmax Wt
1. 等截面圆轴：
2. 阶梯形圆轴：
max
Tmax Wt
max
(T Wt
)max
强度条件的应用 （1）校核强度 （2）设计截面 （3）确定载荷
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max
Tmax Wt
max
Tmax Wt
W
t
T m ax
纵向对称面 中性层
中性轴
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一、纯弯曲
F
A C
a
F
F
+
B
F. a
D
a
+
+
F
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
二、梁的弯曲实验
凹入一侧纤维 缩短 凸出一侧纤维 伸长
中间一层纤维长 度不变 －－中性层 中间层与横截面 的交线 －－中性轴
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原因分析：低碳钢为塑性材料，塑性材料抗剪能力 差，圆轴扭转时，横截面上的切应力最大，因此,圆 轴扭转时沿横截在发生剪切破坏。
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现象：铸铁圆柱试件扭转时,破坏发生在与轴线约 成45°的螺旋面上。
原因分析：铸铁为脆性材料，脆性材料抗拉能力差，圆 轴扭转时，在与轴线约成45°的螺旋面上拉应力最大， 因此,铸铁圆柱试件产生破坏的原因为最大拉应力。
2、物理关系：
ρ
d dx
由上述两方程可得：
() G d
dx
... (1)
这表明，横截面上各点的剪应力与 该点到截面中心的距离成正比，其 方向垂直于半径。即剪应力沿截面 的半径呈线性分布。
Engineering Mechanics
Engineering Mechanics
现象：低碳钢扭转时,破坏发生在横截面上。
扭转变形是指杆件受到若干个与轴线方向一致的力偶矢作用， 使杆件的横截面绕轴线产生转动。
变形体 静力学
变形几 何关系
物理关 系
静力平 衡关系
应变变 化规律
应力分 布规律
应力计 算公式
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1.变形几何关系
Me
Me
pq
观察变形：
x
圆周线长度形状不变，各圆
pq
周线间距离不变，只是绕轴线 Me 转了一个微小角度；纵向平行
Tmax Wt
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例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动
轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm
，材料为20号钢，使用时的最大扭 矩T=1930N·m,[]=70MPa。校核此 轴的强度。
d0.945 解：（1）计算抗扭截面模量
D
Wt 16D3(14)0.28.93(10.9454)29cm3
2
F N1
y FF
F N 2 45° B x
F
解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆 为1杆，水平杆为2杆）用截面法取节 点B为研究对象
Fx 0 FN1co4s5FN20 Fy 0 FN1si4 n5F0
FN1 28.3kN FN2 20kN
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A
FN1 28.3kN FN2 20kN
ρ
tan ρ
cc ac
d dx
即
ρ
d dx
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ρ
d dx
式中 d ——相对扭转角
dx
沿杆长的变化率，常用' 来表
示，对于给定的横截面为常量。
可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应变 均 相同； 与 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。
切应变垂直于半径。
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切应力互等定理：在相 互垂直的两个平面上， 切应力必然成对存在， 且数值相等；两者都垂 直于两个平面的交线， 方向则共同指向或共同 背离这一交线。
各个截面上只有切应力 没有正应力的情况称为 纯剪切。
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§5.3 纯弯曲横截面上的应力
T1 Wt[]16D13[]
T 2 1 6 D 3 ( 1 4 )[] 1 6 (9 0 )3 ( 1 0 .9 4 4 4 )[]
若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有
D 13(90)3(10.9444)
D 153.1 m m 0.0531 m
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T
Ip
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T Ip
横截面周边各点即 R 处的切应
力最大,为：
max
TR Ip
T Ip
T Wt
R
max
T Wt
式中Wt称为抗扭截面系数(模量)，其
单位为m3。
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圆形截面的极惯性矩
极惯性矩：实心圆截面
Ip
P
谁先坏？
P
P
结论：杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。 必须用应力来比较和判断杆件的强度。
在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应
力 。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。
于是得静力关系：
FN dA A
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变形规律试验及平面假设：
FNCD[]A32F
[F]=33.5kN
(3) 若F=50kN，设计CD杆的直径
A
由 CD
F N CD A
[ ]
得 AFNCD3F/2
[] []
Y
d2 3F / 2 4 [ ]
d=24.4mm 取d=25mm A
D
F
C B
2a
a
FNCD
F
C
B
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§5.2 扭转变形横截面上的应力
40mm处的点的剪应力。
B
1
(2) 若已知[τ]=40MPa，试
校核轴的强度。 MB
5
Ⅱ
4
CⅡ A
2
3
MC Ⅱ MA
4
B
CⅡ A
D
MD D
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MA=15.9kN.m MB=MC=4.78kN.m MD＝6.37kN.m d=110mm
解：1、内力分析
MB 1
MC Ⅱ MA 3 MD
FN dA
A
dA A
A
FN A
横截面上的正 应力计算公式
正应力 和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。
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讨论题：
图示阶梯杆AD受三个集中力F作用，设AB，BC，CD段的横
截面面积分别为A，2A，3A，则三段杆的横截面上 ( a )。
(a) 轴力不等，应力相等；
a' O b
R
p
b′ q
dx
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---扭转角（rad）
d ---dx微段两截面的
x
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rddx
边缘上a点的切应变：
R d dx
发生在垂直于半径的平面内。
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横截面上一点处的切应变随点的位置的变化规律：
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3、静力平衡
AdAT
即 GddxA2dAT
() G d
dx
T
其中A 2 d A称为横截面的极惯性矩Ip，
它是横截面的几何性质。
O
以Ip
2dA代入上式得：
A
d dx
T G Ip
r
从而得等直圆杆在线弹性范围 内扭转时，横截面上任一点处 切应力计算公式
ρ
G
T GIp
pq
Me
线仍然保持为直线且相互平行，
只是倾斜了一个微小角度。
圆轴扭转的平面假设：
pq
x
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面， 形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距 离不变。于是可知扭转时圆轴横截面上只有垂直于半径方向 的切应力，而无正应力。
Me
pq
Me
pq
p
q
d
a
d
c
D
F
A
C B
2a
a
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解：求CD杆受力
M A0 FNCD 2 3F
D
（1）校核强度
F
3F
A
FNCD A
2
d2
11M 9 Pa[]
2a
C B
a
4
（2）结构的许可荷载[F]
由
CD
FNCD[]
A
得 FNCD[]A32F
Y XA
FNCD
F
C
B
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B C
F m ax
F RCx C F RCy
d
A
1.9m
W
F m ax
F m axA
W
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由三角形ABC求出
sinBC 0.8 0.388
AB 0.821.92 W 15
Fm axsin0.38838.7kN
斜杆AB的轴力为
FNFm ax38.7kN
斜杆AB横截面上的应力为
d
例题2.3
悬臂吊车的斜杆AB为直径d=20mm
的钢杆，载荷W=15kN。当W移到A
A 点时，求斜杆AB横截面上的应力。
1.9m
解：当载荷W移到A点时，斜杆AB
受到拉力最大，设其值为Fmax。
W
F m ax
F m axA
W
讨论横梁平衡
Mc 0
F m axsinA CW A C0
Fmax
W
sin
0.8m
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第五章 杆件基本变形横截面上的应力 §5–1 拉伸与压缩变形横截面上的应力 §5–2 扭转变形横截面上的应力 §5–3 纯弯曲横截面上的应力 §5–4 横力弯曲横截面上的应力
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§5-1 拉伸与压缩变形横截面上的应力
P
由扭矩图得知T2=9.56kN.m
4
危险横截面在AC段，
B1
CⅡ
A 3
D
Tmax=9.56kN.m
T (kNm)
6.37
2、应力计算
+
T2 Ip
3、强度计算
26.6MPa
max
T m ax Wt
_ 4.78
9.56
36.6MPa< [ ]
x
[]=40MPa
∴该轴的强度满足要求。
二、切应力互等定理
(b) 轴力相等，应力不等； (c) 轴力和应力都相等；
AB
CDቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(d) 轴力和应力都不等。
F FF
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A 1
例题2.2
图示结构，试求杆件AB、CB的应 力。已知 F=20kN；斜杆AB为直径20mm 的圆截面杆，水平杆CB为15×15的方截 面杆。
45° B
C
（2） 强度校核
max
T 1930 Wt 29106
66.7106Pa
66.7MPa[]70MPa
满足强度要求
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例3.3 如把上例中的传动轴改为实 心轴，要求它与原来的空心轴强度 相同，试确定其直径。并比较实心 轴和空心轴的重量。
解：当实心轴和空心轴的最大应力 同为[]时，两轴的许可扭矩分别为
1
2、计算各杆件的应力。
45° B
C
2
F N1
y FF
F N 2 45° B x
F
1
FN1 A1
28.3103 202 106
4
90106 Pa 90MPa
2
FN2 A2
20103 152 106
89106Pa 89MPa
0.8m
B C
F m ax
F RCx C F RCy
Engineering Mechanics
ac
F
a
c
F
b
d
bd
现象：横向线ab、cd仍为直线，且仍垂直于杆轴线，只是分别 平行移至 a b 、 c d 。
平面假设
变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直 于轴线。
Engineering Mechanics
ac
F
a
c
F
b
d
bd
从平面假设可以判断：
（1）所有纵向纤维伸长相等 （2）因材料均匀，故各纤维受力相等 （3）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量
r2dA
A
d /2 r2 2rdr
0
d 4 32
圆环截面 Ip
D/2r22rdr (D 4 d 4 )
d/2
32
D4 (1 4 )
32
dr
r
d
O
dA D
O
d =d/D
抗扭截面系数：实心圆截面
Wp
Ip d3 d / 2 16
圆环截面 Wp DI/p2D3(1164)
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实心轴和空心轴横截面面积为
A 1D 412(0.0 4 531 )222.2 10 4m 2
A 2 4 ( D 2 d 2 ) 4 [ ( 9 0 1 0 3 ) 2 ( 8 5 1 0 3 ) 2 ] 6 . 8 7 1 0 4 m 2
在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比 等于横截面面积之比。