平面内点的坐标

平面内点的坐标

我们在一个平面内构造两条互相垂直的数轴Ox和Oy。它们的交点是坐标原点。我们分别称轴Ox和Oy是x轴和y轴（轴Ox和Oy也可以叫做坐标轴或坐标的轴），同时，它们所在的平面称为Oxy平面。我们认为两个坐标轴的长度单位是一样的。

Ox轴和Oy轴把Oxy平面分为四个象限，它们相应于坐标轴方向的编号如图2所示。

我们考虑平面Oxy上一点P，P x和P y是点P向Ox轴和Oy轴引的垂足，亦即点P在这些轴上的垂直投影。我们用x表示P x在x轴上的坐标。用y表示P y在y轴上的坐标。数x和y 称为点P的坐标，表示为P(x，y)。这种类型的坐标称为笛卡儿直角坐标①所以，在一个平面中确定点P的坐标导致分别在两数轴上确定两个点(P x和P y)的坐标。

点P x的坐标x称为点P的横坐标；点P y的坐标y称为点P的纵坐标。如果点P位于Ox 轴上，则其纵坐标为零；如果点P位于Oy轴上，则其横坐标为零。O点的横、纵坐标皆为零。

图4所示是点在不同象限中其坐标的符号；左边是横坐标的符号，右边是纵坐标的符号。

现在我们来指出，如果知道了点P的坐标x和y，如何确定点P。我们根据P x的横坐标x在Ox轴上标出点P x，根据P y的纵坐标y在Oy轴上标出点P y；(见图3)，然后，通过P x

对Ox轴作垂线，通过P y对Oy轴作垂线。这两条垂线的交点即为我们想要得到的点P。

上面的作图可以用下面的方法进行修改(图5)：通过点P x对Ox轴画一条垂线，然后在垂线上以坐标y的绝对值为长度截取一线段P x P，而且，如果y＞0，则从点P x向上取，如果y＜0，则从点P x向下取（更确切地说，如果y＞0，点P和Oy轴的正半轴必须位于Ox轴的同侧；如果y＜0，则位于异侧。以后，我们不给出详尽的描述，都认为Ox轴的正半轴位于Ox轴负半轴的右侧，Oy轴的正半轴在Oy的负半轴的上方）。如果y＝0，则点P与点P x重合。

在以上构造的基础上，我们可以这样说，一个点的坐标指出了从坐标原点到给定点的一条路径：知道了点P的横坐标x，我们可以找到这条路径的OP x部分，而点P的纵坐标y则给出了第二部分P x P。

顺便地，我们要说明，坐标的想法并非只是数学家的概念：它已经被人们从实践中借用，而且坐标系的原始形式甚至被那些不熟悉数学的人使用过。举个例子，我们回忆著名的19世纪俄国诗人涅克拉索夫(N.Nekrasov)的一首诗《在俄罗斯谁能快乐而自由？》中的一个片段：

“顺着大路一直下去，

数到第三十棵电线杆，

然后转进树林，

再前进一里。

那时你们就会到达

一片平坦的小草坪，

上有两株青松。

在青松下面，

埋藏着一只匣子，

你们必须将它挖起。”

诗中的“30”和“1”即是小草坪的坐标(在定义一个物体的坐标的意义上——见引言)；1俄里取为长度的单位(图6)。