6.生存年金
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它是利率累积因子(1+i)t与生存累积因子
lx 1 之积。 p l n x xn
6
例6.2 设n>t，证明并解释下面两个式子：
(1)
(2)
n
E x t Ex nt Ext
Ex n Ex
t
1 n t E x t
证明：
(1)
n n t E v p v nt px t t Ex nt Ex t n x n x
l60 877 671 0.89195 40 p20 l20 983 992
4
所以，这笔给付的现值是：1 000×0.89195×1.06-40=86.72（元）。
纯生存保险
一般地：假设某人 x岁时开始投保，经过n年后如果仍然存活将得 到k单位元的保险金，（x）存活n年的概率为n p x ，得到给付金的 期望现值为：
70 k
20
5000 1.06 k k 12358.09(元) 70 k 21
例6.7 对于(30)的从60岁起每年年初6000元的生存年金，预定 利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混 合)的资料，求保单的趸缴净保费。
30 6000 a 60 30 E30 解： 6000 30| a
被保险人生存期内缴付保费，被保险人死亡，则停止缴 费。
一般类型：终身年金、定期年金、延期年金
由首次支付的起点不同分为期首付年金和期末付年金
8
一、终身生存年金
终身生存年金的支付期没有限制，只要被保险人存活，每隔 一定时期就会发生一次给付。 生存年金的精算现值又称为生存年金的趸缴净保费，是未来给 付支出在投保时的现值，决定于保险金额、领取每次给付的概 率和利率。
1
第一节
生存年金产品
生存年金是以年金方式在被保险人生存期内的一系列给付，
保险费通常采取在投保时一次性缴付的趸缴方式或者在一 定时期内的均衡缴付的方式。
生存年金形式：
即期年金（immediate annuities） 延期年金(deferred annuities) 定期确定的生存年金 指数化年金 联合生存年金
一般地，对（x）的每年1单位元n年定期期首付生存年金，
x:n a ｜ k Ex
k 0 n 1
x:n 精算现值以 a ｜表示，
N x N x n Dx
用概率论的知识分析： 设给付现值为随机变量Y，则
k 1 a Y n a 0k n k n
给付的期望值是：
1000 40 p20 0 (1 40 p20 ) 1000 40 p20
这笔给付在李明20岁时的现值通过利率折现得到：
1000 40 p20 1.0640
根据附表中国人寿保险业经验生命表（1990～1993年）（男女混合 表）的资料得，l20 =983 992，l40=877 671，可以计算得,
12
x 1
k 0
v k k px
期末付终身生存年金
对（x）每年1单位元期末付终身年金，如下图所示：
其精算现值以ax表示： ax v k px k Ex
k k 1
(6.4)
另一种定义： ax E (aK ) aK k| qx
k 1
k 1
n 1
x:n a ｜ E (Y ) ak 1 k | qx an k | qx
k 0 k n
15
k 1 k | qx a n n px a
k 0
n 1
类似地，对(x)的每年1单位元n年定期期末付生存年金精算 现值为：
2 a 1 ) px (a 3 a 2 ) 2 px ... (a x a x1 ) x 1 p x 1 (a 1 v px v 2 2 px ... v x 1 x1 px
k 0 k n
ak 1 k | qx an n px
k 0
16
n 1
例6.5 王明在40岁时购买了一份年金产品，承诺在未来20年内， 如果他存活，则可以在每年年初领取1000元给付，一旦死亡， 则给付立即停止。20年期满，则保单自动中止，无论20年后是 否存活，不再继续给付。依据附表中国人寿保险业经验生命表 (1990-1993)(男女混合)的资料，假设利率为6%，试计算这笔年 金的精算现值。
(6.5)
可证两种定义等价。 引入转换函数，有
13
Dx k k 0 x k N x x k Ex a Dx Dx k 0 k 0 Dx N x1 ax k Ex (6.7) Dx k 1
D
(6.6)
例6.4 某人今年45岁，花费10000元购买了一份年金产品，保 单承诺从下一年开始，每年可以领到等额的给付，已知利率 i=5%,依据附表中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混合) 的资料，试计算每次可以领取到的金额。
5
因此， n E x 也称为1元n年纯生存保险的趸缴净保费。
与在复利下的现值系数vt和累积系数(1+i)t的作用类似， 1 为在利率 E 是在利率和生者利下 n 年的折现系数， n x n Ex 和生者利下n年的累积系数。
1 1 n lx n n px (1 i ) lx n n Ex
解： 这是一个20年定期的期首付年金产品，时间图表如下：
1000 1000 1000 1000 41 42 43 这笔年金的精算现值为
40： 1000 a 1000 20
17
…….. ……..
1000 59 60
40
N 40 N 60 D40 1422016.9 305710.4 1000 11882.82 93942.9
n Ex a x n a
n年延期的期末付终身生存年金现值为： N x n1 ax k Ex (6.17) n ｜ Dx k n 1
同样地，
ax ax:n n｜ ax ｜
n｜ x
a n Ex ax n
19
例6.6 某人在30岁时购买了一份年金产品，给定给付为：从51 岁起，如果被保险人生存，则可以在每年年初领取5000元给付， 直到被死亡为止。假设利率为6%，存活函数为 lx l0 (1 x ), 100 试计算这笔年金在购买时的精算现值。 解： 这是一个延期20年的期末付年金产品，从生命表函数可 以看出，此人最多可以活到100岁。时间图表如下 5000 5000 5000 …….. …….. 30 31 …….. 50 51 52 53 ……..
【例6.3】 张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以每
年年初获得1000元的给付。计算这一年金的精算现值。
解：
1 000+1 000 p30 1.09 1 000 2 p30 1.09 =1 000 k p30 1.09 k
1 2
9
代入相应的存活概率和利率，就可以计算出这一年金的精算现值。
(2)
将 n Ex t Ex nt Ext
两边同乘
有
1
n
Ex nt Ext 1 t Ex n Ex n t Ex t
7
第三节 年付一次生存年金的精算现值
定义：生存年金是以生存为条件发生给付的年金。如果
被保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收付，否 则，停止收付。
终身和定期寿险的缴费通常也采取生存年金的方式，在
k p30
l30 k 70 k l30 70
k
这笔年金的精算现值为
5000 20| a30 5000 k E30 5000 v k p30 5000 1.06 k
k 21 k 21 70 k 21 70
70 k 5000 1.06 70 k 21
x E (a K 1 ) a k 1 k| qx a
k 0
(6.3)
11
x 1 1 Ex 2 Ex …… k Ex＝ k k px a
(6.2)
x E (a K 1 ) a k 1 k| qx a
k 0
k 0
k 0
(6.3)
可以证明，(6.2)和(6.3)是相等的：
a
k 0 k 1
k 1 ( k px k 1 px ) k | qx a
k 0
k 1 k px a k 1 k 1 px a
k 0 k 0
三、延期生存年金
n年延期生存年金: 从计算时点起延迟n年开始收付的生存年金
对（x）的n年延期每年1单位元延期期首付年金的精算现值以
x 表示。根据定义, a n｜
x k Ex a n ｜
k n
N x+n Dx
(6.13)
n｜ x
显然，
18
x a x:n x a n｜ a ｜
k 0
期首付终身生存年金
一般地，对(x)的每年1单位元期首终身生存年金，其精算现 x 表示，它是一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险 值以 a 之和，如下图所示：
1
Ex 2 Ex 3 Ex
x 1 1 Ex 2 Ex …… k Ex＝ k k px a
k 0 k 0
N x 1 Nx n 1 ax:n ｜ k Ex Dx k 1
n
用概率论的知识分析： 设给付现值为随机变量Y，则
ak Y an 0k n k n
n 1
ax:n ｜ E (Y ) ak k | qx an k | qx
第六章 生存年金 第六章 生存年金
•了解生存年金的基本产品类型
•掌握各类生存年金精现值的计算方法
•掌握各类生存年金的递推公式及其应用
生存年金是人寿保险中的一种基本形态，是以被保险人在年 金期内生存为领取条件的年金。
同时，人寿保险的保费交付也多采取生存年金的方式，以被 保险人在保费交付期内生存为条件定期交付的。
解： 设每次的给付额为P，时间图表如下：
P
10000元
P
P
P
P
…….. ……..
45
46
有
而
47
48
49
50
故
14
P a45 10000 N 1610605.7 a45 45 15.128 D45 106465.3 10000 P 661.03(元) 15.128
二、定期生存年金
kn px n 0n qx n
以 n E x 表示1单位元n年纯粹生存保险现值，即 Ax:
n n n E 1 v p 0 v q v n px n x n x n x
1 n
变换上式得，
lx n Ex (1 i)n lx n
表明现在x岁的人有lx个，每人存入 n E x 元，到年末在利率i的作用 下，形成的资金正好满足n年末存活的人每人1元的给付。
2
第二节 纯生存保险
纯生存保险：在约定的保险期满时，如果被保险人
存活将得到规定的保险金额的保险。
A
x:n ｜
1
3
【例6.1】李明今年20岁，如果他能活到60岁，将能从保险公 司得到1 000元的一次性给付。设利率i=6%，试写出这笔给付 在李明20岁时的现值。 解：李明从20岁活到60岁的概率是 40 p20 ，他在60岁获得这笔
10
(6.2)
其中， 0Ex=1，求和上限实际是ω-x-1，为方便通常写成∞。
从余寿的角度分析，也可以得出上述公式。 生存年金的精算现值正是依赖于被保险人整值余寿的期望值。 设(x)的整值余寿为K，它是离散随机变量，期首付终身生存 K 1 的期望值。 年金正是在K+1年内的确定年金 a 也就是说，一个x岁的人如果活过k岁，且在第x+k年死亡， k 1 的年金，而获得这一年金的概率 则他可获得现值为 a 为 k | qx ，因此这笔年金的期望值是：
lx 1 之积。 p l n x xn
6
例6.2 设n>t，证明并解释下面两个式子：
(1)
(2)
n
E x t Ex nt Ext
Ex n Ex
t
1 n t E x t
证明：
(1)
n n t E v p v nt px t t Ex nt Ex t n x n x
l60 877 671 0.89195 40 p20 l20 983 992
4
所以，这笔给付的现值是：1 000×0.89195×1.06-40=86.72（元）。
纯生存保险
一般地：假设某人 x岁时开始投保，经过n年后如果仍然存活将得 到k单位元的保险金，（x）存活n年的概率为n p x ，得到给付金的 期望现值为：
70 k
20
5000 1.06 k k 12358.09(元) 70 k 21
例6.7 对于(30)的从60岁起每年年初6000元的生存年金，预定 利率为6%，以中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混 合)的资料，求保单的趸缴净保费。
30 6000 a 60 30 E30 解： 6000 30| a
被保险人生存期内缴付保费，被保险人死亡，则停止缴 费。
一般类型：终身年金、定期年金、延期年金
由首次支付的起点不同分为期首付年金和期末付年金
8
一、终身生存年金
终身生存年金的支付期没有限制，只要被保险人存活，每隔 一定时期就会发生一次给付。 生存年金的精算现值又称为生存年金的趸缴净保费，是未来给 付支出在投保时的现值，决定于保险金额、领取每次给付的概 率和利率。
1
第一节
生存年金产品
生存年金是以年金方式在被保险人生存期内的一系列给付，
保险费通常采取在投保时一次性缴付的趸缴方式或者在一 定时期内的均衡缴付的方式。
生存年金形式：
即期年金（immediate annuities） 延期年金(deferred annuities) 定期确定的生存年金 指数化年金 联合生存年金
一般地，对（x）的每年1单位元n年定期期首付生存年金，
x:n a ｜ k Ex
k 0 n 1
x:n 精算现值以 a ｜表示，
N x N x n Dx
用概率论的知识分析： 设给付现值为随机变量Y，则
k 1 a Y n a 0k n k n
给付的期望值是：
1000 40 p20 0 (1 40 p20 ) 1000 40 p20
这笔给付在李明20岁时的现值通过利率折现得到：
1000 40 p20 1.0640
根据附表中国人寿保险业经验生命表（1990～1993年）（男女混合 表）的资料得，l20 =983 992，l40=877 671，可以计算得,
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x 1
k 0
v k k px
期末付终身生存年金
对（x）每年1单位元期末付终身年金，如下图所示：
其精算现值以ax表示： ax v k px k Ex
k k 1
(6.4)
另一种定义： ax E (aK ) aK k| qx
k 1
k 1
n 1
x:n a ｜ E (Y ) ak 1 k | qx an k | qx
k 0 k n
15
k 1 k | qx a n n px a
k 0
n 1
类似地，对(x)的每年1单位元n年定期期末付生存年金精算 现值为：
2 a 1 ) px (a 3 a 2 ) 2 px ... (a x a x1 ) x 1 p x 1 (a 1 v px v 2 2 px ... v x 1 x1 px
k 0 k n
ak 1 k | qx an n px
k 0
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n 1
例6.5 王明在40岁时购买了一份年金产品，承诺在未来20年内， 如果他存活，则可以在每年年初领取1000元给付，一旦死亡， 则给付立即停止。20年期满，则保单自动中止，无论20年后是 否存活，不再继续给付。依据附表中国人寿保险业经验生命表 (1990-1993)(男女混合)的资料，假设利率为6%，试计算这笔年 金的精算现值。
(6.5)
可证两种定义等价。 引入转换函数，有
13
Dx k k 0 x k N x x k Ex a Dx Dx k 0 k 0 Dx N x1 ax k Ex (6.7) Dx k 1
D
(6.6)
例6.4 某人今年45岁，花费10000元购买了一份年金产品，保 单承诺从下一年开始，每年可以领到等额的给付，已知利率 i=5%,依据附表中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混合) 的资料，试计算每次可以领取到的金额。
5
因此， n E x 也称为1元n年纯生存保险的趸缴净保费。
与在复利下的现值系数vt和累积系数(1+i)t的作用类似， 1 为在利率 E 是在利率和生者利下 n 年的折现系数， n x n Ex 和生者利下n年的累积系数。
1 1 n lx n n px (1 i ) lx n n Ex
解： 这是一个20年定期的期首付年金产品，时间图表如下：
1000 1000 1000 1000 41 42 43 这笔年金的精算现值为
40： 1000 a 1000 20
17
…….. ……..
1000 59 60
40
N 40 N 60 D40 1422016.9 305710.4 1000 11882.82 93942.9
n Ex a x n a
n年延期的期末付终身生存年金现值为： N x n1 ax k Ex (6.17) n ｜ Dx k n 1
同样地，
ax ax:n n｜ ax ｜
n｜ x
a n Ex ax n
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例6.6 某人在30岁时购买了一份年金产品，给定给付为：从51 岁起，如果被保险人生存，则可以在每年年初领取5000元给付， 直到被死亡为止。假设利率为6%，存活函数为 lx l0 (1 x ), 100 试计算这笔年金在购买时的精算现值。 解： 这是一个延期20年的期末付年金产品，从生命表函数可 以看出，此人最多可以活到100岁。时间图表如下 5000 5000 5000 …….. …….. 30 31 …….. 50 51 52 53 ……..
【例6.3】 张华今年30岁，从今年起，只要他存活，可以每
年年初获得1000元的给付。计算这一年金的精算现值。
解：
1 000+1 000 p30 1.09 1 000 2 p30 1.09 =1 000 k p30 1.09 k
1 2
9
代入相应的存活概率和利率，就可以计算出这一年金的精算现值。
(2)
将 n Ex t Ex nt Ext
两边同乘
有
1
n
Ex nt Ext 1 t Ex n Ex n t Ex t
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第三节 年付一次生存年金的精算现值
定义：生存年金是以生存为条件发生给付的年金。如果
被保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收付，否 则，停止收付。
终身和定期寿险的缴费通常也采取生存年金的方式，在
k p30
l30 k 70 k l30 70
k
这笔年金的精算现值为
5000 20| a30 5000 k E30 5000 v k p30 5000 1.06 k
k 21 k 21 70 k 21 70
70 k 5000 1.06 70 k 21
x E (a K 1 ) a k 1 k| qx a
k 0
(6.3)
11
x 1 1 Ex 2 Ex …… k Ex＝ k k px a
(6.2)
x E (a K 1 ) a k 1 k| qx a
k 0
k 0
k 0
(6.3)
可以证明，(6.2)和(6.3)是相等的：
a
k 0 k 1
k 1 ( k px k 1 px ) k | qx a
k 0
k 1 k px a k 1 k 1 px a
k 0 k 0
三、延期生存年金
n年延期生存年金: 从计算时点起延迟n年开始收付的生存年金
对（x）的n年延期每年1单位元延期期首付年金的精算现值以
x 表示。根据定义, a n｜
x k Ex a n ｜
k n
N x+n Dx
(6.13)
n｜ x
显然，
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x a x:n x a n｜ a ｜
k 0
期首付终身生存年金
一般地，对(x)的每年1单位元期首终身生存年金，其精算现 x 表示，它是一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险 值以 a 之和，如下图所示：
1
Ex 2 Ex 3 Ex
x 1 1 Ex 2 Ex …… k Ex＝ k k px a
k 0 k 0
N x 1 Nx n 1 ax:n ｜ k Ex Dx k 1
n
用概率论的知识分析： 设给付现值为随机变量Y，则
ak Y an 0k n k n
n 1
ax:n ｜ E (Y ) ak k | qx an k | qx
第六章 生存年金 第六章 生存年金
•了解生存年金的基本产品类型
•掌握各类生存年金精现值的计算方法
•掌握各类生存年金的递推公式及其应用
生存年金是人寿保险中的一种基本形态，是以被保险人在年 金期内生存为领取条件的年金。
同时，人寿保险的保费交付也多采取生存年金的方式，以被 保险人在保费交付期内生存为条件定期交付的。
解： 设每次的给付额为P，时间图表如下：
P
10000元
P
P
P
P
…….. ……..
45
46
有
而
47
48
49
50
故
14
P a45 10000 N 1610605.7 a45 45 15.128 D45 106465.3 10000 P 661.03(元) 15.128
二、定期生存年金
kn px n 0n qx n
以 n E x 表示1单位元n年纯粹生存保险现值，即 Ax:
n n n E 1 v p 0 v q v n px n x n x n x
1 n
变换上式得，
lx n Ex (1 i)n lx n
表明现在x岁的人有lx个，每人存入 n E x 元，到年末在利率i的作用 下，形成的资金正好满足n年末存活的人每人1元的给付。
2
第二节 纯生存保险
纯生存保险：在约定的保险期满时，如果被保险人
存活将得到规定的保险金额的保险。
A
x:n ｜
1
3
【例6.1】李明今年20岁，如果他能活到60岁，将能从保险公 司得到1 000元的一次性给付。设利率i=6%，试写出这笔给付 在李明20岁时的现值。 解：李明从20岁活到60岁的概率是 40 p20 ，他在60岁获得这笔
10
(6.2)
其中， 0Ex=1，求和上限实际是ω-x-1，为方便通常写成∞。
从余寿的角度分析，也可以得出上述公式。 生存年金的精算现值正是依赖于被保险人整值余寿的期望值。 设(x)的整值余寿为K，它是离散随机变量，期首付终身生存 K 1 的期望值。 年金正是在K+1年内的确定年金 a 也就是说，一个x岁的人如果活过k岁，且在第x+k年死亡， k 1 的年金，而获得这一年金的概率 则他可获得现值为 a 为 k | qx ，因此这笔年金的期望值是：