最新创新设计(高中理科数学)2-10

• (2)若函数f(x)＝excos x，则此函数图象在点 (1，f(1))处的切线的倾斜角为 ( )．
• A．0
B．锐角
• C．直角
D．钝角 诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
解析 (1)∵y＝x(3ln x＋1)，∴y′＝3ln x＋1＋x·3x＝3ln x＋4，∴k ＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为 y－1＝4(x－1)，即 4x－y－3 ＝0. (2)f′(x)＝excos x－exsin x＝ex(cos x－sin x)， ∴f′(1)＝e(cos 1－sin 1)． ∵π2>1>π4.而由正余弦函数性质可得 cos 1<sin 1. ∴f′(1)<0，即 f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率 k<0， ∴切线的倾斜角是钝角．
• 答案 (1)4x－y－3＝0 (2)D
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考点三 导数运算与导数几何意义的应用 【例 3】 (2013·北京卷)设 l 为曲线 C：y＝lnxx在点(1,0)处的切线．
• [感悟·提升]
• 1．“过某点”与“在某点”的区别
• 曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与 “过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0， y0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x0 ，y0)不一定为切点．
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• 2．导数运算及切线的理解应注意的问题
•(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b) 是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应 求出切点的坐标，利用切点坐 诊断·基础知识 标求出切 突破·高频考点 线斜率 培养·解题能力
• 【训练2】 (1)(2012·新课标全国卷)曲线y＝ x(3ln x ＋ 1) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程 为 ____________________．
• 答案 (1)－1 (2)2x－y－e＋1＝0
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•规律方法 (1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y ＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．第(1)题要 能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为0 ，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分 析问题和解决问题的能力．
2015创新设计(高中理科 数学)2-10
[最新考纲] 1．了解导数概念的实际背景； 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义； 3．能根据导数的定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，
y＝x3，y＝ x的导数； 4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单
函数的导数，能求简单复合函数[仅限于形如 y＝f(ax＋b)的复合 函数]的导数.
∴y′＝x－12sin x′＝1－12cos x. (3)y′＝ln2xx＋1′＝[ln2x＋1]′xx－2 x′ln2x＋1 ＝22x＋x＋11′·xx－2 ln2x＋1＝2x2＋x 1－xl2n2x＋1
＝2x－2x2＋x＋11lnx22x＋1.
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•规律方法 (1)本题在解答过程中常见的错误有： ①商的求导中，符号判定错误；②不能正确运 用求导公式和求导法则，在第(3)小题中，忘记 对内层函数2x＋1进行求导． •(2)求函数的导数应注意： •①求导之前利用代数或三角变换先进行化简， 减少运算量； •②根式形式，先化为分数诊断指·基础数知识幂，突破·再高频考求点 导培．养·解题能力
• 一是利用公式求导时要特别注意除法公式 中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
• 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的
本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不
一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切
线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的
公共百度文库，如(4)．
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考点一 导数的计算
【例 1】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝ex·cos x；
(2)y＝x－sin 2xcos 2x；
(3)y＝ln2xx＋1.
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解 (1)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x.
(2)∵y＝x－sin
x 2cos
2x＝x－12sin x，
_由_导__数__y′__|x_＝1_＝_0_，__得_k_＋__1＝__0．，则 k＝－1.
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(2)因为 f(x)＝xln x＋1， 所以 f′(x)＝ln x＋x·1x＝ln x＋1. 因为 f′(x0)＝2，所以 ln x0＋1＝2， 解得 x0＝e，所以 y0＝e＋1. 由点斜式得，f(x)在点(e，e＋1)处的切线方程为 y－(e＋1)＝2(x－ e)，即 2x－y－e＋1＝0.
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【训练 1】 (1)(2013·江西卷改编)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导， 且 f(ex)＝x＋ex，则 f′(1)＝________. (2)若 f(x)＝ 3－x＋e2x，则 f′(x)＝________.
解析 (1)令 ex＝t，则 x＝ln t， ∴f(t)＝ln t＋t，即 f(x)＝ln x＋x. 因此 f′(x)＝(ln x＋x)′＝1x＋1，于是 f′(1)＝1＋1＝2.
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• 考点二 导数的几何意义 • 【例2】 (1)(2013·广东卷)若曲线y＝kx＋ln x在
点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________. • 点解析(2(x)(设01)函f(，数x)＝y＝yxk0xl)n＋xln处＋x 的1，导的函若数f切′y′(x＝线0k)＋＝1x2，方，则程f(x)为在