9.4 高斯公式 通量与散度

div A
散度为一数量，
∂P ∂Q ∂R + + G 内任意点处的散度为 div A = ∂x ∂ y ∂z
表示 场 中一 点 处通 量 对体 积 的 变化 率
r u divA
∂ P ∂Q ∂ R ⋅ ∫∫∫ d v ∂ x + ∂ y + ∂z Ω (ξ ,η ,ζ ) = lim 其中(ξ , η , ζ ) ∈ Ω Ω→ M V
2
4
取上侧, 例3 设Σ为曲面 z = 2 − x − y , 1≤ z ≤ 2取上侧, 求
2 2
I = ∫∫ (x z + x) d y d z − x yz d z d x − x z d x d y. Σ z 3 2 2 2 解 P = x z + x , Q = − x yz , R = − x z 2 ∂P ∂ Q ∂ R Σ + + = 1 作取下侧的辅助面 ∂x ∂y ∂z 1 Σ1 2 2 Σ1 : z =1 (x, y) ∈Dxy : x + y ≤1 o 1y I = ∫∫ − ∫∫ 用柱坐标 用极坐标 x
其中P, 具有连续一阶偏导数, 其中 Q, R 具有连续一阶偏导数 M(x, y, z)是场中任意一 是场中任意一 点，Σ是场内包含该点的一个分片光滑的封闭曲面, 它所围区域 Ω 的体积为V。如果当 Ω 以任意方式向点M 收缩 时，极限 都存在， 都存在，则称此极限为向量场A在点M的散度(divergence)。 ) 记作
2 2 2
则表面 x 2 + y 2 + z 2 = 4取外侧 x 2 + y 2 + z 2 = 1取 内 侧
光滑或分片光滑， （2）高斯公式成立的条件： Σ光滑或分片光滑， 高斯公式成立的条件： P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。 上一阶偏导连续。 不闭合时，采取“补面”的方法： （3）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封 闭，所围区域Ω。
∂P ∂Q ∂R )M =( + + ∂x ∂y ∂z
高斯公式 ∫∫
Σ
r r u u u r dv 可记为∫∫ A⋅ d S = ∫∫∫ divA
Σ Ω
∂P ∂Q ∂ R Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫∫ ( )dv + + ∂x ∂ y ∂z Ω
r 2r 2r 2r 例7 已知向量 A = x i + y j + z k ，Σ为 的全表面， 圆柱 x 2 + y 2 ≤ a 2 (0 ≤ z ≤ h) 的全表面，求A穿过曲 面Σ而流向其外侧的通量
内容小结
1. 高斯公式及其应用 公式: 公式: ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rd x d y Σ ∂P ∂Q ∂R )d xd y d z = ∫∫∫ ( + + Ω ∂x ∂ y ∂z 应用: 应用: (1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) 非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) 推出闭曲面积分为零的充要条件: (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:
Gauss公式计算 例1 用Gauss公式计算 其中∑ 其中∑为柱面 及平面z = 0,z = 3所围空间 z 的整个边界曲面的外侧. 闭域 Ω 的整个边界曲面的外侧. 3 解 这里 P = ( y − z)x, Q = 0, R = x − y 利用Gauss 公式, 利用Gauss 公式, 得 原式 = ∫∫∫ ( y − z) d x d y d z (用柱坐标) 用柱坐标)
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, Σ是场内的一片有向 其中 具有连续一阶偏导数 曲面, 曲面, 其单位法向量 n, 则称 通量(流量) 有向曲面 Σ 的通量(流量)。
∫∫Σ
r A⋅ nd S为向量场 A 通过
定义
设有向量场
x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
o x
z = h 之间部分的下侧. 之间部分的下侧.
解 作辅助面
2 2 2
∑
y
∑1: z = h, (x, y) ∈Dxy : x + y ≤ h , 取上侧
记∑,∑1所围区域为Ω, 则 ∑ 所围区域为Ω
在Σ1 上α = β = π , γ = 0 2
I = ( ∫∫
∑+ ∑1 Ω
− ∫∫ )(x2 cosα + y2 cos β + z2 cosγ ) d S
高斯公式的说明 : 的边界曲面的正向： 关于Ω的边界曲面的正向： 是单连通区域时取外侧； 如：Ω是单连通区域时取外侧； Ω是两个同心球面之间的区域（一维单连 是两个同心球面之间的区域（ 通区域）时外层取外侧，内层取内侧。 通区域）时外层取外侧，内层取内侧。
例 ：Ω : 1 ≤ x + y + z ≤ 4
Ω
Dxy
∑1 h h
o x ∑1: z = h,
∑
y
h2 d x d y
= 2∫∫∫ z d x d ydz −π h
Ω
4
= 2∫ z ∫∫ dxdy − π h4
h
( x, y)∈ Dx y : x2 + y2 ≤ h2
1 4 = 2∫ z ⋅π z dz −π h = − π h 0 2
h
0
Dz
Φ = ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rdx d y
Σ
Σ
由两类曲面积分的关系, 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
Φ = ∫∫
Σ
( Pcosα + Qcos β + Rcosγ ) d S
= ∫∫ v ⋅ nd S
Σ
若Σ为方向向外的闭曲面,则单位时间通过Σ的流量为 为方向向外的闭曲面,则单位时间通过Σ 向向外的闭曲面
解:
1 = 3 ∫∫∫ 3d x d y d z Ω R 2 2 2 x y z 思考: 本题∑ 思考: 本题∑改为椭球面 2 + 2 + 2 =1 时,应如何 a b c 计算 ? 提示: 提示: 在椭球面内作辅助小球面 x2 + y2 + z2 = ε 2 取
内侧, 内侧, 然后用高斯公式 .
挖洞！
解：
∫∫
Σ
ur u r A⋅ d S =
∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy
2 2 2 Σ
= ∫∫∫divAdv = 2∫∫∫( x + y + z )dV
Ω Ω
= 0 + 0 + 2 ∫∫∫ zdv = 2 ∫∫ dxdy ∫0 zdz = π a 2 h2
Ω
D xy
h
思考与练习
∑1
xy
= 2∫∫∫
− ∫∫ h2 d x d y (x + y + z) d x d y d z D
利用Gauss 公式计算积分 例2 利用
其中∑ 其中∑为锥面 x + y = z 介于z = 0及
2 2 2
z
z = h 之间部分的下侧. 之间部分的下侧.
I = 2∫∫∫ (x + y + z) d xdydz − ∫∫
G 内任意点处的散度为 ∂P ∂Q ∂R div A = + + ∂x ∂ y ∂z
Ω
o 1 x
y
= ∫ dθ ∫ rd r∫ (r sinθ − z) dz = −
0 0 0
2π
1
3
9π 2
思考
改为内侧, 结果有何变化? 若 ∑ 改为内侧, 结果有何变化?
例2
利用Gauss 利用Gauss 公式计算积分
z
其中∑ 其中∑为锥面 x2 + y2 = z2 介于z = 0及
∑1 h h
9.4 高斯公式 通量与散度
平面闭区域上 平面闭区域上 的二重积分 空间闭区域上 空间闭区域上 的三重积分 Gauss 公式 Green 公式
边界曲线上的 曲线积分
边界曲面上的 曲面积分
一、高斯公式 定理1 定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所 围成， 围成， 函数P(x，y ，z)、Q(x，y ，z) 、R(x，y ，z) 上具有一阶连续偏导数， 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有 ∂P ∂Q ∂R ∫∫∫( ∂x + ∂y + ∂z )dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, (1) Ω Σ
例5. 计算曲面积分
x2 y2 z2 其中, 其中, r = x2 + y2 + z2 , Σ : 2 + 2 + 2 = 1取外侧. a b c
x y z 解: P = 3 , Q = 3 , R = 3 , 当( x , y , z ) ≠ (0,0,0)时， r r r 3 2 x
∂P r − x ⋅ 3 r r r 2 − 3 x 2 , = = 6 5 r r ∂x
∫∫Σ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = 0
∂P ∂Q ∂R + + =0 ∂x ∂ y ∂z
2. 通量与散度 设向量场 A= (P, Q, R), P, Q, R, 在域G内有一阶 在域G 连续偏导数, 连续偏导数,则 向量场通过有向曲面 Σ 的通量为
∫∫Σ A⋅ nd S
3 2 2 2
Σ+Σ1 Σ1
= ∫∫∫ d x d ydz− (−1) ∫∫
=∫
Ω 2π
0
Dxy
(−x2 ) d x d y
2π 0
dθ ∫ 0 r dr
1
−∫
cos θ dθ
2
=
π
4
例4. 计算曲面积分
2 2 2 2 外 其中, 其中, r = x2 + y2 + z2 , Σ : x + y + z = R 取 侧.
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( Pcosα + Qcos β + Rcosγ )ds
也称为单位时间里从Σ所围区域流出或者散发出的量。 也称为单位时间里从Σ所围区域流出或者散发出的量。
定义 设向量场
Σ ∑
A(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
二、通量与散度
引例 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
v(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k
设Σ为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 为场中任一有向曲面, 理意义可知, 单位时间通过曲面Σ 理意义可知, 单位时间通过曲面Σ 的流量为
∫∫
Σ
= ∫∫
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dv和∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Ω Σ1
（4） P、Q、R在 内的某个点不是一阶偏导连续， 在 内的某个点不是一阶偏导连续， 则采取“挖洞” 则采取“挖洞”的方法
Σ +Σ 1
− ∫∫
Σ1
前提： 前提：易于计算
所围立体, 所围立体,
Ω为Σ 判断下列演算是否正确? 判断下列演算是否正确?
x3 y3 z3 (1) ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
1 = R3
3
∫∫Σ 3 1 3(x2 + y2 + z2 ) d v = R ∫∫∫ d v = 4πR2 = R ∫∫∫Ω Ω
∂Q r 2 − 3 y 2 ∂R r 2 − 3 z 2 , = = 5 5 r r ∂y ∂z ∂P ∂Q ∂R 所以除原点外处处有 ∂x + ∂y + ∂z = 0
2 2 2 2 在椭球面内作辅助小球面 ∑1 : x + y + z = ε
取内侧。 取内侧。记 ∑ 和 ∑1 所围的区域为Ω，则
x3 d y d z + y3 d z d x + z3dx d y
x3 y3 z3 (2) ∫∫ 3 dy d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r 3 3 3 ∂ x ∂ y ∂ z = ∫∫∫ [ ( 3 ) + ( 3 ) + ( 3 ) ]dv =L Ω ∂x r ∂y r ∂z r
=
=
∫∫
Ω
∑ + ∑1
−
∫∫
∑1
∑1
∫∫∫ 0 dv − ∫∫
1
x y z d yd z + 3 d zd x + 3 d xd y 3 r r r
Σ 1 取外侧，
−
=
=
ε3
1
∫∫
Σ1
xd y dz + y dz d x + z d x d y −
3d xd yd z
ε
3
∫∫∫
Ω′
所围区域记为 Ω ′
∂P ∂Q ∂R 或 ∫∫∫( ∂x + ∂y + ∂z )dv= ∫∫ (Pcosα + Qcos β + Rcosγ )dS, Σ Ω
（1′） 1′） 的整个边界曲面的外侧， 这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、 上点( 处的法向量的方向余弦。 cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。 公式（ 1′）叫做高斯公式 高斯公式。 公式（1）或（1′）叫做高斯公式。