第十四章 三角形重心的性质及应用答

第十四章 三角形重心的性质及应用

习题A

1．易知2EF PQ HG EF BP GC BC AC AB BC BC BC ++=++=，则2EF PQ HG

BC CA AB

===，故O 为ABC △的重心．

2．先证BD AE CF ==，再由△BMP ∽△BCF ，得

MP BM CF BC ==，同理PN BD =

，

MN AE MP PN MN ==． 3．易知G 到BC 的距离等于ABC △内切圆的半径r ，则BC 边上的高为3r ，再利用面积法

证明．

4．证明△ODG 与ABC △的重心重合．

5．由3AM =，4BM =，5CM =，有222AM BM CM +=，知两中线AD ，BE 垂直．于是

3

182

ABC S AM BM =⋅⋅=△．

6．连BE ，CF ，并延长相交于M ，则M 为AD 的中点．由E ，F 分别是ABD △和△ACD 的重心，则

13ME MF MB MC ==．于是EF BC ∥，EG BD ∥．从而13MG ME DM MB ==，2

3

DG BE DM BM ==，

1

3MG DM

=，

23

DG DM

=，

14

33

AG AM MG DM DM DM

=+=+=，故

24

1233

DG GA DM DM ==∶∶∶．

7．由题设及梯形的中位线性质及三角形重心性质，推知所有这些直线都经过ABC △的重心，即共点于重心．

习题B

1．设G 为ABC △的重心，连DE 并延长到H 使EH DE =，连HC ，HF ，则以三条中线AD ，

BE ，CF 围成的三角形就是△HCF ．当22BC a =，22CA b =，22AB c =成等差数列时，若

ABC △为正三角形，易证ABC HCF △∽△．若a b c ≥≥，有CF =，

BE =，AD =2222a c b +=分别代入以上三式，得

CF ，BE ，AD ，从而CF BE AD a b c =∶∶∶∶，

故有ABC △∽△HCF ．反之，若有ABC △∽△HCF ，当ABC △中a b c ≥≥时，△HCF 中CF BE AD ≥≥，且2()ABC HCF S S CF a =△△∶∶．据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积伯

34

”，有2234CF a =∶∶，即222223422a CF a b c ==+-，故22a c += 22b ． 2．分两种情况讨论．①若G ，I 两点重合，易断ABC △为正三角形，此时0AGI BGI CGI S S S ===△△△，结论显然成立．②若G ，I 两点互异，过G ，I 作直线l ．若l 通

过ABC △的一个顶点，易推知ABC △为等腰三角形，此时AGI S △，BGI S △，CGI S △中一个为

零，其余两个相等，结论亦成立；若l 与ABC △的两边相交，不妨设l 与AB ，AC 相交．延长AG 交BC 于E ，E 必为BC 的中点，连EI ．过B ，E ，

C 分别作到直线l 的距离BB '，EE '，CC '，易证2BB CC EE '''+=，从而2BGI CGI EGI S S S +=△△△．又由重心性质知2AG GE =，从

而2AGI EGI S S =△△，故AGI BGI CGI S S S =+△△△．

3．要证tan A ，tan B ，tan C 成等差数列，只需证2tan tan tan B A C =+，又在ABC △中，由tan B = tan tan 1tan tan A C

A C

+-

-⋅，有tan tan tan tan tan tan A C B A B C +=-+⋅⋅．故只需证2tan tan tan tan tan B B A B C =-+⋅⋅，亦即tan tan 3A B ⋅=．

因O 为外心，有2AOC B =∠∠，221

sin sin cos 2AOC S R AOC R B B =⋅=⋅⋅△∠．又由G 是重心，

有211

2sin sin sin 33AGC ABC S S R A B C ==⋅⋅⋅△△．注意到OG AC ∥，有AOC AGC S S =△△，故

2sin cos R B B ⋅⋅=

2

2sin sin sin 3

R A B C ⋅⋅⋅，从而3cos 2sin sin B A C =⋅，即由cos cos cos sin sin B A C A C =-+⋅，有sin A ⋅ sin 3cos cos C A C =⋅，由此即证． 4．ABC △中，重心G 到三边距离之和为123GG GG GG ++，ABC △内切圆半径为r ，内心

I 到三边距离之和为1233II II II r ++=．

记BC a =，CA b =，AB c =，射线AG 交BC 于D ，连GB ，GC ．则由

13GCA GAB

ABC S S S ==△△△知，11

23132

ABC

ABC S S GG a a ==△△．同理，223ABC S GG b =△，323ABC S GG C =△．

于是1232ABC GG GG GG S ++=⋅⋅△ 211111111

()3333333

r a b c r a b c a b c ⎛⎫⎛⎫++=⋅++++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，即

证．