清华大学物理系博士生资格考试经典物理试题

2005年春季清华大学物理系博士生资格考试
分析力学：
两质点m1,m2，中间用无质量的弹簧相连，弹性系数k ，原长d 。

在无摩擦的光滑平面上运动，转动或振动。

求出广义动量，哈密顿量，哈密顿方程（写出积分形式即可） 电动力学：
求运动电荷产生的电磁辐射能量密度
力学：
1.一个杆质量m ，长度l ，截面积S,杨氏模量Y 。

在光滑水平面内绕一端转动，角速度ω。

在杆内部截面上切向应力均匀分布。

求r 处的内应力，求杆的总伸长量。

2.滑轮质量M ，半径R ，两侧两个水桶通过绳子相连，绳子绕过滑轮。

两桶原质量为m0，静止。

左侧桶下有个洞，水从中流出，单位时间内流出的质量为qm ，流出的水相对桶的速度为u 。

求左侧桶的加速度a(t).
3.质量为m0的质点从静止开始在F=kx*x 作用下运动，考虑相对论效应，求v(t). 电磁学：
1.圆柱形电容器，内半径a ，外半径b ，长l 。

上下两半为两种导电（注意是导电!!!）介质，介电常数和电导率分别为ε1，σ1，ε2σ2。

电容器中间通过的总电流为I 。

求电容器的电势差，第一种介质内表面的自由电荷密度。

2.一大圆圈，半径R ，电流I 。

在正上方有一小圆圈，平行于大圆圈，半径r 。

两圆圈圆心在一条直线上。

t=0时小圆圈圆心距大圆圈圆心z ，以v 偏离大圆圈运动。

小圆圆半径r 很小，可近似认为小圆圈内磁场均匀分布。

求小圆圈圆心处的磁场，小圆圈上的感应电动势大小和方向。

设小圆圈自感为T ，求小圆圈中的电流i.
热学：
质量为m ，温度为T1，压强为P1的液体，变为压强P2，温度T2的高温高压气体。

求熵变。

给定液体比热c ，水蒸汽临界压强Pb?汽化热？。

记不清了
光学：
1.双缝间距d=0.4mm ，缝宽a=0.08mm 。

后面透镜f=50cm 。

一束单色平面光波长。

垂直于缝入射，求透镜像平面上明条纹间距，求一级衍射包中间的明条纹数量
2.光，通过线偏振器，转动线偏振器，发现光强没有变化。

让光先通过1/4波长偏振片，然后再用线偏振器检偏，发现最大光强是最小光强的4倍。

求光的组成，原先光中偏振光的光强占总光强的百分比
2006年春季清华大学物理系博士生资格考试
1． 一质量为m 的物体与长为L 、拴于轴O 点的静止杆相碰撞，
碰撞之后物体的速度为零。

碰撞时间极短为τ。

求（1）刚碰撞完时，杆的角速度？（2）碰撞过程中，轴O
对杆的水平力F 为多少？（3）不计阻力，杆上升的最大角
度？
2． 体系拉氏量1212(...,...,)L q q q q t ，哈密顿量1212(...,...,)H q q p p t ， 求证：,,0i i i i q q q q q p
dL dH dq dq ≠≠⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q S
3． 有一个金属板，面积为S ，带电量为Q ，距离金属板为
a 处有一电量为q 的点电荷。

问：该点电电荷的受力？
（计算时面积认为无穷大）
4． Z 方向有磁场的电子，其拉氏量
2221122()()L m x y z eB yx xy =++-- 证明：L 具有平移对称性，并求其不变量。

5． 线性介质中，无自由电荷和自由电流的情况下，
（1） 求电场强度和磁感应强度满足的波动方程，并说明其以速度v 传播。

（2） 证明电场强度和磁感应强度的解具有如下形式，(,)()E r t E t r n v ω
=-，
(,)()B r t B t r n v ω
=-其中n 为波速方向。

（3） 证明，满足（2）的形式的解为平面波。

（4） 证明，平面波为横波。

（5） 证明，能流以速度v 传播，证明电场能密度等于磁场能密度。

6． 有一个空调可视为卡诺循环机，空调连续工作时的功率为P 。

夏天空调将室内的热量运送到室外，使室温低于室外温度；冬天则将室外的热量运送到室内，使室温高于室外温度。

若室内外的温差为T ∆时，每秒钟热量传输为Q A T =∆。

（1） 夏天，若空调连续工作则室温2T 为多少？（设室外维持恒温1T ）
（2） 冬天，若要使室温维持在1'T ，则室外的温度最低为多少？
7．（题中的具体数值忘了，而且题估计也有出入）有一激光器频率为ν，其相干长度为L 。

束腰直径为D ，（1）求激光器的频谱宽度，（2）若在10km 的距离观察此激光器的束斑，其半径为多少？（3）若用一个望远镜系统将此激光器的束腰减小到原来的十分之一，则此望远镜系统如何设计，其放大率为多少？
2007年春季清华大学物理系博士生资格考试
1、 如图所示，刚杆一端O 固定在光滑铰链上，水平松手使之下落，某一时刻与水平方向夹角θ。

已知刚杆质量m ，长度l 。

（1） 求此时刚杆的角速度和角加速度。

（2） 求距离O 为r 的截面A 上的横向力（与杆垂直）和力偶矩。

2、 在哈密顿系统中作一个变量代换：P ＝P(p,q) , Q = Q(p,q) （具体的函数关系记不清了，其中含有几个参数）。

问参数取什么值时变换是正则的，并写出变换的母函数。

3、 如图，质量为m 的小球穿在一根抛物线铁丝（y=bx^2）上可以光滑的滑动，铁丝以恒
定角速度ω绕对称轴旋转,对称轴沿竖直方向。

取x 为广义坐标，求出对应的广义动量。

从哈密顿方程得到x的运动方程。

4、如图，一段圆柱形金属导线中通有恒定电流。

导线周围是真空
（1）说明在这段导线的两个端面上没有能量流入或流出；
（2）说明在导线的侧面有能量流入。

（3）证明单位时间流入的能量等于单位时间导线产生的焦耳热。

（4）在怎么情况下，能量可以从侧面流出导线？
5、如图，在一个半径为R圆形区域内部有指向纸内的均匀磁场B(t)。

绝缘体导轨AB到圆
心O的距离是h。

一个质量m，正电荷q的粒子静止在B端。

现在使B随时间均匀增加，dB/dt=K，则粒子沿导轨向A端运动。

求粒子运动到中点O’时的速率v和受到导轨的作用力N。

6、用两个薄凸透镜自制一台简易望远镜，镜筒长32cm（指两镜片的距离），刚好能分辨50m
开外横向距离1mm 的两条细线，已知光波长为0.55 m ，人眼最小分辨角为3×10－
4rad 。

（1）求望远镜的物镜的口径。

（2）求物镜和目镜的焦距。

（3）若目镜直径为2cm ，求望远镜的入射视角。

7、如图，摩尔某理想气体经历一个准静态过程，在p －V 图上反映为一条线段。

起点A(3p 0,V 0)，终点B(p 0,3V 0)。

（1）求该过程中气体对外做的功以及吸收的热量。

（2）求该过程中气体温度的最大值和最小值。

（3）求气体的熵变。

2008年春季清华大学物理系博士生资格考试
力学：
1（15分）斜面上有个球，开始是纯滚，随着斜面的增大，开始变得又滑又滚，已知斜面角度，摩擦系数，球的转动惯量，质量等。

求
(a)纯滚时的质心加速度
(b)角度增大到何时时，开始又滑又滚
(c)又滑又滚时的角度为已知，求摩擦力做功（球运动的距离已知）
点评：这题比较简单，以前的考题里有类似的，基本是白送分。

要点是掌握了纯滚条件。

电磁学：
2（15分）一个通电螺线管，电流随时间的变化为线性关系，螺线管的单位长度匝数为n ，半径为R ，在螺线管中有一段长为a ，宽为h 的方形区域。

求
(a)螺线管里面电磁场的分布
(b)通过方形区域的能量
(c)螺线管里面的能量表达式
点评，这个题也是属于送分题，只要记住螺线管的磁感强度的表达式，这个题就可以直接作了。

分析力学：
3（10分）给定一个变换，用两种方法求证是正则变换。

点评：纵观往年卷子，母函数经常考。

这个题的变化形式比较简单，做的方法一是凑全微分，二是看新坐标对原坐标的波松括号为1。

这个题凑微分稍微有一点麻烦。

4。

（10分）一个锥形桶，顶角的一半为alpha ，里面有个小球绕中心转动，要求自己选定广义坐标，写出拉格朗日量，求运动方程，并判断是否为可积体系。

点评：这个类型的题也是老生常谈了，以前也经常考。

这个题就是普物题，让用分析力学的方法做。

可以找半径和绕过的角度作为广义坐标，然后写出L ，进行求解。

由于这个体系是二自由度的，且可以找到两个守恒量（能量和角动量），因此是可积系统。

光学：
p
5（10分）。

一个右圆偏振光，从折射率n1的介质中打到折射率n2，问光的状态变成什么样了。

其中告诉了你菲涅尔公式。

点评：这个题算是比较中规中矩，但是如果没有复习到偏振的话就彻底完了。

我在做的过程中考虑了两种折射率的大小关系，即有可能有半波损失，不过即使有也没关系，因为是对整体的半波损失，所以不影响结果。

答案应该是反射光为左圆偏振，其强度由菲涅尔公式给出。

6（10分）。

给一个指数衰减的光波形式，求自相关函数（自相关函数的公式给出），并说明用这种光做迈克耳逊干涉仪，测量长度的量程是多少。

点评：这个题比较新，以前从来没出过。

但是一点都不难，因为根据自相关函数的特点，就发现几乎不需要任何计算。

所谓迈克耳逊干涉仪的测量长度，其实就是相干长度的一半，也就是和光波中指数的那个项有关。

所以如果概念清楚，2分钟就做完了。

但是这题的难点同上，就是没复习到迈克耳逊干涉的话，肯定就不会了。

当然，如果做光谱的，肯定会。

热学：
7（10分）把迈克斯韦速率分布换成动能分布的形式。

速率分布的归一化系数已经给了。

点评：这个题和以往都不一样，以前做是考热力学，这次考的竟然是分布问题！肯定很多同学都没复习到。

这个题，我相信只要知道速率分布函数的形式，肯定5分钟就做出来了。

电动力学（20分）：
8给定迈克斯韦方程组和洛仑兹力的形式，推导能流密度和能量密度的表达式，并说明物理意义。

点评：这个题是压轴题，也是这次考试中最难的一个。

其实就是郭硕红书上第一章的内容，王q的讲义也有。

但是我觉得，如果没有对电动很熟的掌握，或是正好复习到这点，这个题很难当场做出来，因为涉及到了一些倒三角的运算和迈克斯韦方程的变形。

总结：这次普物相对来说计算量少（电动除外），但是知识覆盖面太大了，比以往的都要大。

这好像也是趋势，现在的资格考试不能像以前那样放弃什么东西了，因为分数都非常平均。

所以希望大家全面复习，不要“压宝”。

另外，全面复习的另一个好处是让你对学科有个整体的认识，这其实对科研也有好处。

2008年秋季清华大学物理系博士生资格考试
一、一卫星在一行星的某一圆形轨道上，能量E_0，半径r_0。

在某一时刻受到一沿径向的小冲量的作用。

定量描述卫星之后的运动：a)画出等效势能的图形，角动量L；b)卫星做圆周运动的周期T_θ；c)卫星在受到冲量作用后，径向r是t的函数，写出r(t)。

二、一质点质量m在质量为M倾斜角为α的斜面上滑下，记m相对斜面的运动距离为L，斜面的位移为X，忽略所有的摩擦。

选择广义坐标，写出系统的拉氏量，拉氏方程。

求m相对M的加速度。

三、一半径为b的圆形平行板电容器，漏电电流为I，求电容器内部任意一点的磁场强度。

四、描述电介质可用两种方式：用极化电荷密度σ’和ρ’；用极化强度P。

1)从物理上讲这两种描述为什么是等价的。

2）写是两种描述下空间任意一点的电势表达式，并由1）中的等价关系推出σ’＝－▽·P，ρ’＝n·P，并说说其物理意义。

五、一右旋圆偏振光垂直从折射率为n1的介质入射到折射率为n2的介质，求反射光的偏振状态。

题目给出了垂直入射时的菲涅尔公式。

六、一电磁波，Ex=Ez=0，Ey=4cos(12π×10E^(14)t-5π×10E^6x)，写出振幅，频率，波长，相速度，折射率。

写出磁场表达式。

若有另一列电磁波Ex=Ez=0，Ey=4cos(10π×10E^(14)t-4π×10E^6x)，写出合成波的表达式和群速度。

七、1mol的理想气体在气缸中，上面有一固定活塞质量m塞住，温度T_0，压强P_0。

在某
一时刻把活塞不固定，活塞上下做振动并最终停在某一位置。

假设这一过程是绝热过程，忽略活塞所受外界的压力，理想气体的定容热容为C_(v ，m)。

1）这一过程气体的温度是上升？下降？不变？求之后的温度T 。

2）这一过程熵是增大还是减小，求熵变。

理论：一个竖直旋转圆环内一小球，求拉氏量，拉氏方程，哈氏量，讨论T ＋V 是否守恒 电动：证明真空中电磁波为横波
2009年春季清华大学物理系博士生资格考试
一、力学（15分）一个质量M 的均匀立方车架下，装有4个质量都为m ，半径r 的圆轮，
放在倾角θ的斜面上，已知每个小轮都作无滑运动，并
且已知车架对转动轴的摩擦力矩f τ，求：（1）车架的加
速度和斜面对小轮的摩擦力。

（2）若车架由静止释放，
运动距离为s 时，求车架的速度和转轴处摩擦力所做的
功f W 。

二、分析力学（15分）质量为1的粒子，在势能2()tan ()V q U q a =⋅的场中运动，设其能量为E ，求作用量I 和频率ω。

（给了一个积分公式）
三、电动力学（25分）（1）写出真空静电场的Maxwell 方程组；（2）随着测量仪器的日益精进，有人发现点电荷的电场不是正比于2r -，而是正比于 2.000001r
-，试问（1）中的方程哪些会变，哪些不会变；（3）若发现点电荷的电场大小除了与2r -成正比外，还有一个[1()]
g θ+的因子，g 是关于θ的一个很小的函数，问（1）中的方程哪些会变，哪些不会变？ （给出球坐标中矢量r r f f e f e f e θθϕϕ=++的f ∇和f ∇⨯形式）
四、电磁学（15分）.无限长半径为a 的圆直导线，通以均匀的、体密度为j 的电流，已知
导线电导率为ρ，相对磁导率为r μ。

（1）分析磁场的分布；（2）求出B 、
H ；（3）求出圆棒磁化电流内表面密度'i 和磁化电流体密度'j ；（4）求
出单位长度内圆棒外表面流入内部的能量？
五、光学（15分）.用迈克耳逊干涉仪测量钠黄双线，已知钠黄双线的平均波长为5893A 。

（1）若把干涉仪的动镜从等光程处向一个方向移动，问条纹如何变化？（条纹是从中心冒出还是消失）（2）继续移动动镜，干涉条纹变疏还是变密？（3）若动镜移动距离0.0289395cm ，看到条纹由模糊变至清晰又变至模糊，求钠黄双线的波长？
六、热学（15分）.-10℃，10g 的冰块放进15℃的湖水中，求平衡后冰块与湖水系统的熵变？（已知冰的比热C 冰，水的比热C 水，冰的熔解热L 冰）
2009年秋季清华大学物理系博士生资格考试
1.如图1，绕竖直轴进动，忽略章动,求beta（<<1).（进动角速度，轻
绳长，轻杆长，以轻杆为轴的转动惯量已知）
2.给出磁场中的Lagrange量，在仅存在z方向均匀静磁场的情况下，求
电子的L，H，守恒量，运动方程。

3.如图。

dB/dt = K 为定值，求（1）电场分布（2）线圈半径b，电阻
R，求电流和（2）中的Uab （sita=pi/4）（3）（3）中的电压表读书（电
压表内阻R0）
4.（1）磁场在真空中的maxwell两个方程；（2）B和A的关系；（3）如
磁单极子存在，如何改写1中的方程，各代表什么物理意义；（4）2
中的关系将变为如何，为啥；（5）磁单极子组成的次偶极子和电流
线圈分别产生的磁场等价否，为什么
5.给出超导相和正常相的G，求相变潜热啊等东西，忘了
6.如图，n1~n4已知，曲率半径等已知，已知左面的第j级和第j+5
级两条纹的半径，求波长，右面的条纹半径（似乎是问这个，反
正差不多）
7.光栅，求光栅常数的（题目忘了，似乎直接带公式就能出结果，
等人补充吧）
8.部分椭圆偏振光，过x向偏振片有最大光强——1.5I，过y向偏
振片有最小光强——I，过x向1/4波片后，在与x轴成30度处有
最大光强，求：过1/4波片前，当偏振片与x轴成sita时，光强
和sita的关系；过1/4拨片后的那个最大光强多大；不偏振部分
的比例（还有别的问没？忘了）
2010年春季清华大学物理系博士生资格考试
力学(15)
1. 卫星变轨. 以r0, v0圆周运动的卫星在M点改变速度方向, 大小不变, 切换到椭圆轨道. 近地点距离为r0/c.
(1)用r0表示v0 (2)求近地点速度 (3)求M点处速度与矢径的夹角(只与c有关).
分析力学, 二选一(15)
2a. 证明Noether定理: Lagrangian对以参数s_j刻划的变换有不变性, 求相应的守恒量I_j.
参见Hand & Finch 5.2节.
2b. 长(a+b)的轻杆两端有两个质量m的小球, 绕z轴以Ω旋转. (见2b附图)
(1) 求动能及固连坐标系中的角动量(2)求对轴的力矩(3)若消除轴上力矩, 变成绕O点的定点转动, 求自转和进动角速度.
电磁学, 二选一(15)
3a. 均匀极化为P的电介质球. 求
(1)极化电荷分布 (2)球内极化电场.
3b. Helmholtz线圈. 没细看, 大概是求轴上的B, 两线圈相距多少时B对z的二阶导为0及其物理意义. 可参赵凯华新概念物理第一版2.2节例4.
电动力学(25)
4. 原点处有一个磁单极子g, R处有一个运动的点电荷q. 对空间任一点r, H=μgr/4π
|r|^3, E=qr'/4πε|r'|^3, 场的动量密度是DXB.
(1)求证全空间场的角动量L=-gqR/4π|R| (2)求证电荷运动造成的机械角动量增加与场角动量的减少抵消, 故角动量守恒.
(公式不一定正确)
热学(15), 似乎是二选一, 第二题忘了.
5. 两个一样的热容为C的物体, 温度分为Tx,Ty. 热接触后达到共同温度Tf.
(1)求Tf (2)求熵变, 判断符号(3)若分别用两个Carnot机把这两个物体与温度Tr 的热库相连, 从而使之达到Tf, 求Carnot机对外做的总功, 判断符号.
光学, 二选二(15)
6. 双缝干涉. 在自然光源后的单缝后放上偏振片P, 两个双缝后分放上透振方向与P相同的偏振片P1, 与P夹角a的偏振片P2.
(1)分别求光通过P,P1,P2后的强度(2)求干涉条纹衬比度(3)若旋转P90度则如何?
(4)若拿掉P则如何?
7. 求透射和反射牛顿环的各级半径
y 2010年春季清华大学物理系博士生资格考试
1、圆锥以初速度转，小球从锥顶沿圆锥母线轨道下滑，初速度为0，（1）球小球落下时，圆锥的角速度。

（2）求小球离开圆锥时，相对实验室的速率。

2、圆柱面的面点荷密度为，求圆柱内外的场强。

3、
, r 是常数， （1）求哈密顿方程并求解（2）证明当t 0时，
4、已知真空中的麦克斯韦方程组，和磁势
和电势的定义式 （1）哪两个式子可以导出和？并用和表示另外两式 （2）若且求证电导率不为0 （3）求 （4）求解（3）问所得方程，并证明t 时，
（5）证明
5、
, （1）求熵和内能
（2）求U=U/N
（3）摩尔热容C 6、有两个偏振片，主轴方向都不知，两个1/4波片，一个知道快轴方向，另一个快轴和慢轴都不知，设计一套试验方法判断两个偏振片的主轴方向，和两个1/4波片的轴和慢轴。

还给了几种激光的波长记清了，等牛牛们来补充吧……。