第二章第11讲PPT课件

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第二章 基本初等函数、导数及其应用
[做一做]
1．函数 y＝xcos x－sin x 的导数为( B )
A．xsin x
B．－xsin x
C．xcos x
D．－xcos x
解析：y′＝x′cos x＋x源自文库cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos
x＝－xsin x.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
2．导数运算的技巧 (1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其 复合运算的形式，再利用运算法则求导数； (2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转 化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的 等价性，避免不必要的运算失误．对数函数的真数是根式 或者分式时，可用对数的运算性质将真数转化为有理式或 整式，然后再求解比较方便；当函数表达式含有三角函数 时，可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导．
第二章 基本初等函数、导数及其应用
第11讲 变化率与导数、导数的计算
第二章 基本初等函数、导数及其应用
1．导数的概念 (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 Δlixm→0f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）＝Δlixm→0ΔΔxy为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝Δlixm→0ΔΔxy＝Δlixm→0
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
1．辨明三个易误点 (1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防 止与乘法公式混淆． (2)求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线 的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． (3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研 究直线与二次曲线相切时有差别．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
2．(2014·高考江西卷)若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于 直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐标是__(－__l_n_2_，__2_)___． 解析：设 P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x， ∴点 P 处的切线斜率为 k＝－e－x0＝－2， ∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2， ∴y0＝eln 2＝2，∴点 P 的坐标为(－ln 2，2)．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
[做一做]
3．(2015·保定市高三调研)已知曲线 y＝ln x 的切线过原点，
则此切线的斜率为( C )
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则
k＝f′(x0)，∴切线方程为 y－y0＝x10(x－x0),又切线过点(0,0)，
f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
f(x)＝ln x
f′(x)＝cos x f′(x)＝_－__s_i_n_x____
f′(x)＝__a_xl_n_a_____
f′(x)＝__e_x_______ 1
f′(x)＝__x_l_n__a____
代入切线方程得 x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)＝x10＝1e.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
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4．函数 y＝1－1
x＋1＋1
的导数为_（__1_－__x_）__2__． x
解析：y＝1－1 x＋1＋1 x＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′
＝－（2（1－1－x）x）2 ′＝（1－2x）2.
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
(2)导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x) 上点 P(x0，y0)处的__切__线__的__斜__率___ (瞬时速度就是位移函数 s(t) 对 时 间 t 的 导 数 ) ． 相 应 地 ， 切 线 方 程 为 _____y－__y_0_＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0_)________． (3)函数 f(x)的导函数
1 f′(x)＝____x______
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝____f′_(_x_)±__g_′_(_x_) ___________； (2)[f(x)·g(x)]′＝___f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_)_____；
(3)gf（（xx））′＝__f_′__（__x_）__g_（_[_gx_（）__x－_）_f_（]_2 _x_）__g_′（__x_）_______
(g(x)≠0)．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的 关系为yx′＝____y_u′_·_u_x′___，即y对x的导数等于 y对u 的导数 与 __u_对__x___的导数的乘积．
f（x＋Δx）－f（x） 称函数 f′(x)＝Δ_lix_m→_0________Δ__x__________为 f(x)的导函数．
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___0_______
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n_x_n_－_1_(_n_∈__Q_*_)____
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
考点一
导数的运算
考点二
导数的几何意义(高频考点)
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
考点一 导数的运算 求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sin x； (3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝xl2n＋x1； (5)y＝ln(2x－5)． [解] (1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
∴y′＝18x2－10x－4. (2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.