数学解题错误现象分析及其应对策略

=(x－1,
y)，
பைடு நூலகம்
AB
=(－1,
1)，∴
x y


1
OP =(x, y)， PA =(－x, －y)， PB =(－x,1－y)，
∴（－x+y)≥(1－x) (－x)+(－y) (1－y)
(2λ －1)≥λ (1－λ )+(－λ )(1－λ )解得：1－ 2 ≤λ ≤1+ 2 ，选 D.
正确解法 y 2 csc2 x 8sec2 x 2(1 ctg 2 x) 8(1 tg 2 x) 10 2(ctg 2 x 4tg 2 x) 10 2 2 ctg 2 x 4tg 2 x 18.
其中，当 ctg 2 x 4tg 2 x，即ctg 2 x 2时，y 18. ymin 18.
一 帮助学生将题目和方法整理成不同的体系、类型 二 应注意数学思想方法的训练和培养
错误三：运算错误
一、 抓好审题训练 二、 抓好思维灵活性训练 三、抓好优化运算过程和运算方法的训练 四、抓好运算习惯的培养
错误四：遗漏条件不用
例 4．直线 x+y=1 与圆 x2 + y2 -2ax=0(a>0)没有公共点，则实数 a 取值范
D（-1，2]
错误解法: 由已知 y= x2 ax 2 在（1，2）上是增函数，所以 a ≤1 2 即 a≤2 选 A
错误分析: 上面解法只是直观使用了条件的表面部分，没能发现条
件内在隐含，忽视了隐含条件：y= x2 ax 2 a 在（1，2）上要恒正.
例 6.已知函数 y=log0.5(x2 ax 2a) 在（1，2）上是减函数，则 实数的范围为（ ）
例 5．设 O（0，0）A（1，0），B（0，1）P 是线段 AB 上的一个动点，
AP AB 若 OP AB PAPB 则实数 取值范围是（ ）
A．[ 1 ,1]
2
B． [1 2 ,1]
2
C．[ 1 ,1+ 2 ]
2
2
D．[1- 2 ,1+ 2 ]
2
2
错误解法
设
P(x,
y)，则
AP
1 q
1 q
1 q
整理得 q3 (2q6 q3 1）＝0.
由q 0得方程 2q6 q3 1 0. (2q3 1)(q3 1) 0,q 3 4 或 q 1 2
错误分析：
在错解中，由
S3

S6

2S9
得到
a1(1 q3 1 q
)
+
a1(1 q6 1 q
2
2
错误分析 遗漏了条件 P 在线段 AB 上，由 P 在线段 AB 上， λ 满足 0≤λ ≤1，∴1－ 2 ≤λ ≤1
2
正确结果应选 B.
错误五：未挖掘隐含条件
例 6.已知函数 y= log0.5 (x2 ax 2a) 在（1，2）上是减函数，则实数
的范围为（ ）
A（-∞，2] B[4，+∞） C[-1，2]
错误二：题型解法理解不到位
例3
求
y

2 sin2
x

8 cos2
x
ymin

6
2 1的最小值
错解 1
y

2 sin2
x

8 cos2
x

2
2
8
8
sin2 x cos2 x | sin x cos x |
16 16,. | sin 2x |
ymin 16.
错解 2
y ( 2 sin2 x) ( 8 cos2 x) 1 2 2 2 8 1 1 6 2.
数学解题常见错误成因分析 与应对策略
江西省高安中学 吴连进
2009.10.18
错误一：概念和公式数学特征不明
例 1．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn .若 S3 S6 2S9 ， 则数列的 公比 q=
错误解法 ： S3 S6 2S9 ,
a1(1 q3) + a1(1 q6 ) =2 a1(1 q9 ) ，

q3 (2q6 q3 1）＝0 ,即 (2q3 1)(q3 1) 0,
因为 q≠1，所以q3 1 0
所以 2q3 1 0解得 q 3 4 . 2
一、注重概念的引入，帮助学生发现概念的系统性. 二、分析概念的内含和外延，培养学生思维的缜密性. 三、抓住一些概念的可逆性，培养学生的逆向思维
q=
正确解法 ： 若 q=1，则有 S3 3a1, S6 6a1, S9 9a1但 a1 0 ，即得
S3 S6 2S9 与题设矛盾，故 q≠1.
又依题意
S3 S6 2S9
a1(1 q3 1 q
)
+
a1(1 q6 1 q
)
=2
a1(1 q9 1 q
)
2 sin 2 x且 8 cos2 x，即sin 2 x 2， cos2 x 2 2,
sin 2 x
cos2 x
这是不可能的.
两种解法都表现出对应用不等式求最值这种题型的求解方法理解不
到位，只考虑了不等式成立和定值两个方面，忽视了等号成立的讨论.
例 3 求 y 2 8 的最小值 sin2 x cos2 x
sin 2 x
cos2 x
ymin 6 2 1
错误分析
在解法
1
中，y=16
的充要条件是
2 sin2
x

8 cos2
x
且 | sin 2x | 1 即| tgx | 1 且 | sin 2x |1 这是自相矛盾的. ymin 16.
2
在解法 2 中， y 1 6 2 的充要条件是：
)
=2
a1(1 q9 1 q
)
，直接使用
了公式：
S
n
=
a1
(1 q 1 q
n
)
，事实上，等比数列求和公式有
q=1
和
q≠1
两种形式，解题时应根据
q=1 和 q≠1 的情况，选择使用公式.本题错解的原因是对等比数列求和公式的数学特征不明 确.
例 1．设等比数列{an}的全n 项和为 Sn ，若 S3 S6 2S9 ，则数列的公比
围是（ ）
A． (0, 2 -1)
B．( 2 -1, 2 +1)
C．(- 2 -1, 2 +1)
D．(0, 2 +1)
错误解法 圆方程为：x2+(y－a)2=a2，∴ | 0 a 1| >|a|
2
(a－1)2>2a2，解得－ 2 －1<a< 2 +1，选 C.
错误分析 遗漏了条件a>0，扩大了a的范围, 正确解法应选D. 造成错误的原因审题和解题过快，解题习惯不好.