多体系统动力学(8)

• 计算
参数输入理论力学问 题求解器（动力学） 判断自由度为 4 进行计算 查阅数据
3 y y
1 y
2 0
x
mg
1 x
铰O的约束力
mgl sin 1 k (1 / 2) 0
1
2013年6月11日
* 1
平衡位置
9
多刚体系统动力学分析/静平衡分析/计算方法/解
[解2]
惯性基
质心连体基
1 C1 e
Oe
位形坐标
y
T
q x1
y1 1
2 y
4 y
2 xC
4
C2
4 x
3 y
3 x
x 0
y -1
C3
2013年6月11日
20
多刚体系统动力学分析/力学模型定义/解
• 力元
弹簧1 弹簧2
3 y y
1 y
B1 ~ B5
B1 ~ B2
O C3
C 31 x x
1 x
2 y
4 y
2 xC
4
C2
4 x
3 y
3 x
2013年6月11日
F ' mg cos1
O 1x
O F '1 y mg sin 1
12
多刚体系统动力学分析
前言 动力学分析基础 动力学逆问题与理想约束力
多刚体系统静平衡分析
平面机械系统动(静)力学模型的定义
多刚体系统动力学分析/力学模型定义
动(静)力学模型的定义
• 根据工程实际问题的物理模型与所要求解决问 题的目的定义该系统等效的刚体系动(静)力学 模型 • 机械系统动(静)力学模型应该包括刚体、铰、 外主动力与力元四个要素
2013年6月11日
14
多刚体系统动力学分析/力学模型定义
• 模型定义的内容
– 刚体
• 为了减小数学模型的求解规模，对机械系统中那些 质量比较小、对其位形不关心的构件不作刚体定义， 而以铰处理
• 对每个刚体进行标号 • 刚体连体基基点必须定义在刚体的质心，连体基基 矢量以取刚体的惯量主轴为佳
–铰
• 如同运动学模型对的定义 • 合理定义组合铰将会减小数学模型的求解规模
λ 1 2
1 y
增广主动力阵 平衡方程
T ˆ F a mg 0 k (1 / 2)
1 0 l sin1 Φq 0 1 l cos 1
C1
x
mg
卷簧力偶
1 x
1 0 l sin 1
2013年6月11日
2013年6月11日 15
多刚体系统动力学分析/力学模型定义
– 外主动力
• • • • 外力通常包括重力、集中力、分布力、力偶等 给出作用刚体的标号 力的作用的方向 作用点的位置
– 力元
• 力元包括线(卷)弹簧阻尼器与主动作用器 • 给出力元相关联的两刚体的下标 • 线弹簧阻尼器与主动作用器，给出作用点的位置、刚 度与阻尼系数、弹簧的原长 • 卷弹簧阻尼器与主动作用器，给出两刚体相对转动定 位单位矢量的转角、刚度与阻尼系数、初始相对转角
ˆ a F aT F aT T ˆ ˆ F u w
T ˆ u Fua


非独立坐标
ˆ Φ Fu λ Φ F ˆ w
ˆ ( u 1 ) T Fua
T ˆa w Fw
Η Φu1Φw s
铰O的约束反力
1 0 l sin1 Φq 0 1 l cos 1
x
1 C1 mg
O r1
O
1 y
1 x
0 1
1 Φ 0 Fi k ( Ai C ik ) T ( rki ) T k O F '1x cos1 sin 1 m g cos1 O O A1T λ F '1 sin cos 0 m g sin F '1 y 1 1 1
影响系数
ˆ ˆa H Fua Fw 0
T
2013年6月11日

1
5
多刚体系统动力学分析/静平衡分析/计算方法
封闭的静 平衡方程 变量 解 数值解
1 ˆ ˆa H T Fua Fw 0
q 0
s1
q 3 N 1
q q*
平衡位置
牛顿-拉斐逊方法
2013年6月11日
ˆ Fw k (1 / 2)
10
多刚体系统动力学分析/静平衡分析/计算方法/解
q x1
y1 1
T
u r1 x1
y1
T
w 1
T
y
l sin 1 1 0 u w l cos 0 1 1
P a T
C3
Ba
T da
b
1 2 5 5
P b T
C
0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 19
多刚体系统动力学分析/力学模型定义/解
• 外主动力
3 y y
1 y
O C3
重力加速度矢量坐标
C 31 x x
1 x
2013年6月11日 17
多刚体系统动力学分析/力学模型定义/解
[解]
• 刚体
建立惯性基
5 y y
wenku.baidu.com
1 y
O-e
i 1,,5
O C3
C 51 x x
1 x
2 y
4 x
2 x
C2
建立质心连体基
i Ci - e
3 y
3 x
质心初始位置 x(m) y(m) 1 0 2 0 1 －1 3 0 0 0
在该平衡位置的理想约束力
C1
x
mg
2013年6月11日
7
多刚体系统动力学分析/静平衡分析/计算方法/解
[解1]
惯性基
质心连体基
C1 e 1
Oe
位形坐标
y
T
q x1
y1 1
T
O
1
M
系统的约束方程
x1 l cos1 Φ y l sin 0 1 1
O
滑移铰
H 3 : B2 ~ B5 H 4 : B1 ~ B5
C3
x x
C1
3
1 y
1 x
2 y
4 y
2 xC
4
C2
4 x
3 y
3 x
Bb
T db
绝对约束
H 5 , H 6 , H 7 : B5
铰参数
i a 类 1 (r) 3 2 (r) 4 3 (t) 1 4 (t) 2 5 (ax) 5 6 2013年6月11日 5 (ay) 7 (a 5 Hi
C3
弹簧参数
弹簧号
a
1 2 1 2
P ax
Ba
P ay 0.000 0.000
b
5 1
Q bx
Bb
0.000 0.000
0.000 0.000
Q by 0.000 0.000
k(N/m) 100 100
d0(m) 0.80 0.80
21
2013年6月11日
多刚体系统动力学分析/力学模型定义/解
4
多刚体系统动力学分析/静平衡分析/计算方法
变换
s 1 ˆ a 3 N 1 q 0 Φ λF q 3 N 1 3N s λ R s1
T q
q u

T
w
T T

w
Φw
1
u s1
独立坐标
Φq Φu
T u T w
2013年6月11日 16
多刚体系统动力学分析/力学模型定义/例
例
B5
B1
C1
B2
C2 B4
B3
• 5刚体系统，B1与B2为滑块，B3与B4为均质杆，B5 为机座 • B1与B2的质量分别为5kg与10kg，绕质心的惯量矩分别为10kgm2与 20kgm2 • B3与B4的杆长为2m、质量为1kg与绕质心惯量矩为1kgm2 • 两个线弹簧挂在各自的质心。弹簧刚度与原长分别为100N/m与1m • 试分析系统在如图所示的初始位形下开始的运动与约束力
ˆ F mg 0 k (1 / 2)
a
T
y1
T
w 1
x
mg
卷簧力偶
1 x
1 0 u 0 1
l sin 1 w l cos 1
M k ( / 2 1 )
mg 0T Fu
*
qq
ˆa ( ) Fu
1 T u
λλ
*
平衡态理想约束力
2013年6月11日 6
多刚体系统动力学分析/静平衡分析/计算方法/例
[例]
考虑图示一复摆，质量为m，相 对于质心C的惯量矩为J。质心C1 到铰O的距离为l。
y
O
1
在铰O上有一卷簧，刚度为k，当 摆杆处于右侧水平位置时，卷簧 无力矩 试求单摆的静平衡位置
O
1
M
系统的约束方程
x1 l cos1 1 0 l sin1 Φ y l sin 0 Φq 0 1 l cos 1 1 1
1 y
λ 1
T 2
C1
增广主动力阵
s 2 1
u r1 x1
0 mg 1 1 0 l cos1 2 k (1 / 2)
M k ( / 2 1 )
T ˆ Φq λ F a
8
多刚体系统动力学分析/静平衡分析/计算方法/解
平衡方程
y
4 C y 4
C3
惯量 J(kg*m2) 10 20 1 1
刚体参数与初始条件
刚体号 质量 i M(kg) 1 5 2 10 3 1 4 1 5 2013年6月11日 初始姿态 (deg) 0 0 0 90 0
18
多刚体系统动力学分析/力学模型定义/解
• 铰
旋转铰
3 y y
H1 : B1 ~ B3 H 2 : B2 ~ B4
封闭 拉格朗日乘子
2013年6月11日
ˆ ˆa H T Fua Fw 0
ˆ ( u 1 ) T Fua
不需补充约束方程
λ mg 0
T
11
多刚体系统动力学分析/静平衡分析/计算方法/解
求理想约束力
惯性基 质心连体基 铰点O
铰连体基
O y1
1O

Oe 1 C1 e
q 0
T q
非线性代数方程 平衡位置
q q*
λ λ*
平衡态理想约束力
3
多刚体系统动力学分析/静平衡分析/计算方法
• 计算方法
T ˆ Φq λ F a
封闭的静 平衡方程 变量
q 0
非线性代数方程
q
λ λ
数值迭代初值
数值解
牛顿-拉斐逊方法 不可行
？
2013年6月11日
O O e1
cos1 A sin 1
1
sin1 cos1
O F1y y
O
T ρ1O l 0
O x1 O 1 F1x
C I
O 1
λ mg 0
T
x1 l cos1 Φ y l sin 0 1 1
多刚体系统动力学分析
前言 动力学分析基础
动力学逆问题与理想约束力
多刚体系统静平衡分析 平面机械系统动(静)力学模型的定义
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系
多刚体系统动力学分析/静平衡分析
多刚体系统静平衡分析
• 静平衡方程
• 计算方法
2013年6月11日
2
多刚体系统动力学分析/静平衡分析/静平衡方程
• 静平衡方程
动力学方程 静平衡方程
ˆ Zq F a
T q
qq0
ˆ a 3 N 1 Φ λF
T q
3 N 1 变量 q
R s 3 N Φq Φq q
λ
s1
静平衡方程不封闭 封闭的静 平衡方程 解
2013年6月11日
ˆa Φ λF
1 0 l sin 1
mg 1 0 l cos1 2 k (1 / 2) 0 1
O
1
1 y
r1 x1
y1
T
不出现
方程封闭
特殊情况
C1
不需要约束方程
解
1 mg
T Fu mg 0
1 u
λ 1 2
O
1
1 y
ˆ Fw k (1 / 2)
l sin1 Η Φ Φw l cos 1
平衡方程
C1
x
mg
1 x
mgl sin 1 k (1 / 2) 0