地球物理资料字处理(第二十五讲)

第二节有限差分法波动方程偏移

（Finite Difference Wave Equation Migration）

波动方程偏移是建立在射线理论基础上的绕射扫描偏移具有明显的优越性。因此地震波在地下介质的传播遵循波动方程规律，而射线理论只是近似地描述地震波的传播规律。因此，应用波动方程进行偏移，一方面偏移归位效果好，特别是为复杂的地质条件下反射层的偏移归位提供了可能性；另一方面在实现反射层偏移归位的过程中保持了反射波的特征。

1979年，J．F．Claerbout提出了用有限差分法直接解简化的波动方程，以实现地震波场的空间归位。这种方法是对标量波动方程进行了差分，从波场延拓的观点获得地震偏移剖面。因为用了差分网格，可以在垂向和横向改变速度参数，适用于一般的非均匀介质。

这种方法是首先对波动方程进行Claerbout坐标变换，将标量波动方程分为上行波和下行波两部分，这样可以避免用标量波动方程做波场延拓所带来的不适定性问题；然后忽略掉深度方向的二次偏导数项，得到变换后的简化波动方程；最后用有限差分法求解波动方程，使反射层偏移归位到反射界面空间真实位置。

在这一节首先介绍波动方程偏移的成像原理，然后介绍叠后有限差分法波动方程偏移的原理和差分方程的建立及其求解。

一．波动方程偏移的成像原理（Imaging Principle of Wave Equation Migration ）

无论那种偏移方法，包括射线理论的和波动理论的偏移方法，抽象出来都不过是把地表地震剖面转换成近似的地质剖面的一个过程，它包括两个步骤：波场延拓和成像。

波场的延拓就是已地表地震剖面为边界条件，求取地下各个点的波场值，也称为波场重建。成像就是在得到了地下各个点的波场之后，从重建波场中检测出反映界面信息的波场值的过程。J．F．Claerbout成像原理指出：存在于地壳里的反射界面，是处在下行波到达且刚刚出现上行波那一瞬间。在应用这一成像原理时，针对不同的具体问题又有不同的形式。

1.爆炸反射界面成像原理

爆炸反射界面成像原理是最常用，最简单的一种成像原理。它把地下反射界面想象成具有爆炸性的物质或爆炸源，爆炸源的形状，位置与反射界面的形状和位置一致。它所产生的波动脉冲波，其强度，极性与界面的反射系数大小

和正负一致，因此称地下反射界面为爆炸反射面。假定在0t =时刻，所有的爆炸反射界面同时起爆，反射上行波到达地面各个观测点，波的传播速度为介质速度的一半，即2

e v v =，如果利用波动方程式将地面测得到的波场记录作反时间方向传播，即向下延拓，则0t =时刻的波场值就正确地描述了地下反射界面的位置，自动实现了偏移成像。

此成像原理适用于对水平叠加地震剖面的偏移处理，因为水平叠加剖面相当于零炮检距剖面，自炮点发出的下行波到达反射点的路径与自该点反射返回地面的上行波的路径一致，由于做半速代换，所以叠后偏移方法就是利用延拓波场的0t =时刻的的值进行成像。

2. 测线下延成像原理

测线下延成像原理适用于有炮检距的的记录，常在叠前偏移时使用。叠前偏移的基本思想就是以地表记录为边界条件。在整条测线上交替的把炮点和检波点向下沿拓，直到炮点和检波器相当于埋到地下同一位置为止。由于这是对地下每一点而言，就好像既埋置了震源又埋置了检波器一样，根据J . 的原始成像原理，显然这时要取0t =时刻的波场值输出。

测线下延成像原理也适用于零炮检距记录的偏移成像，但是对零炮检距记录使用爆炸反射界面成像原理更简单。

3. 波场传播的时间一致性成像原理

波场传播时间的一致性成像原理是弹性波偏移中的一种成像原理。因为弹性波偏移同时要处理纵波、横波和转换波，因此它应有自己特殊的成像原理形式。

在弹性波偏移中，一般只向下延拓检波点而炮点不动，即延拓后的波场好象是炮点仍在地表位置而地下各点都埋置了检波器接收到的波场一样。为了说明这种成像原理，以入射波（P 波）反射纵波（PP 波）和转换波（PS ）为例。如图7-5-a 所示，入射纵波传播时间为t d 反射纵波传播时间为t RP 转换波传播时间为t RS 。只有在反射点Q 处才有t d =t RP =t RS 。即这时反射纵波PP 和转换波PS 在反射点Q 上结合在一起

。如图7-5（b ）

是弹性波的成像原理 其中

图中

11P

SQ Q R RP t v +=

21P S SQ Q R RS t v v =

+ P

SR d t v =

图75-波场传播时间一致性成像原理示意图

由于延拓到R 点处时，如果R 不在反射界面上，一般来说，RP RS d t t t ≠≠，只有当R 在反射界面上时，才有RP RS d t t t ==。因此，在弹性波的延拓波场中，必须取延拓的纵波和横波（包括转换波）波场的传播时间与入射波传播时间一致的那一时间的值来构成偏移输出剖面。

二 150有限差分法波动方程的导出 (150 Finite Difference Wave Equation Derivation)

Claerbout 差分偏移是对水平叠加时间剖面，即自激自收地震记录进行的，根据爆炸反射界面成像原理，认为水平叠加剖面是位于地下反射界面上的炮点零时刻产生的脉冲波，沿界面的法向以半速度上行到地面被检波器记录道的上行波(,0,)p x z t =。因此，地下任一点、任一时刻的波场(,,)p x z t 也都可以认为是上行波，都服从半速度的上行波方程。偏移就是利用这种上行波方程，将地面记录的上行波(,0,)p x z t =作为边界条件，求零时刻的波场值(,,0)p x z t =也就是反射界面处的波场值，

偏移技术的关键，就是寻求地震波所遵循的上行波方程。地震波在地下介质中的传播如果介质是均匀的，各项同性的和完全弹性的，则波场函数(,,)p x z t 满足二维纵波波动方程