全国大学生数学竞赛辅导ppt

0, 求 lim x0
f
x3 f (u) ( x) sin 3
u
,
其中u是y f (x)上点P(x, f (x))处的切线
在x轴上的截距。
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19.设{an
} n0
为数列，且a,
为有限数，
求证：（1）若lim n
an

a,则lim a1 n

a2 an n

a,
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14.设f (x)在 x 0的某邻域内有二阶连续导数
且f (0), f (0), f (0)均不为零，
证明：存在唯一一组实数 k1, k2, k3,
使得lim k1 f h0
(h) k2
f
(2h) k3 f h2
(3h)
f
(0)

0.
15.求不定积分I
0
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4.求最小实数c,使得满足
1
|
f
(x) | dx
1的连续的
0
函数f (x)都有 1 f ( x)dx c. 0
5.设函数y

f
(
x)由参数方程
x 2t
y
t2 (t)
(t
1)所
确定，且d 2 y dx2

3 4(1
,其中
t)
(t)具有二阶导数，
17（. 1）求解微分方程ddyx xy xex2 , y(0) 1
(2) 若y f (x) 为上述方程的解，
证明lim n
1 0
n2
n x2

1
f
(x)dx


2
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18.设函数y f (x)二阶可导，且f (x) 0,
f
(0)

0,
f
(0)
3 图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小。
10.设函数f (x)在闭区间[1,1]上具有连续 的三阶导数，且f (1) 0, f (1) 1, f (0) 0 求证：在(1,1)内至少存在一点 x0, 使得f (x0 ) 3.
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10.设函数f (x)在(,)上具有二阶导数，并且
f (x) 0, lim f (x) 0, lim f (x) 0,且
x
x
存在一点 x0使得f (x0 ) 0.
证明：f (x) 0在(,)恰有两实根。
11.设f (x)在x 1点附近有定义，且在x 1
点可导，并已知f (1) 0, f (1) 2,
(1

x

1
)e
x
1 x
dx.
x
16.求不定积分 xarctan xln(1 x2)dx.
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17.设函数f (x)在 [2,2]上二阶可导，
x.
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13.
求
lim [( x3

x

tan
1
)e
1 x

1 x6 ].
x
2
x
1
14. 求极限 lim x3
x1
sin t
dt.
x x t cost
15. 计算 e2x | sin x |dx. 0
16.
求x
1时与


xn2等价的无穷大量.
n0
Page 5
n
3
Page 3
9.
求
lim[ln(
x0
x
ln
a)
ln(
ln ax ln x
)],(a
1).
a
10.
求
lim(sin
x
1
)1cos
x
.
x0 x
11. 求lim( 1 1 n ).
n n 1 n 2
nn
12.
求limsin 2 x0
x x2 cos2 x2 sin 2 x
1.设f (x)是连续函数，满足
f (x) 3x2 2 f (x)dx 2,则f (x) ___. 0
2.设y y(x)由方程xe f ( y) ey ln 29确定，
其中f具有二阶导数且f


1,
d2y dx2

___ .
3.设s 0,求In
esx xndx,(n 1,2,).
(2) 如果存在正整数p，使得
lnim(an p
an )

,则lim an
n n

.
p
Pagຫໍສະໝຸດ Baidu 8
20.设f (x)在[1， )连续可导，
f (x)
1
1 f2
(
x)
[
1 x
证明 lim f (x)存在。 x
ln(1 1)], x
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二、一元函数微分学和积分学
全国大学生数学竞赛辅导
（预赛）
一、极限和连续
1.设xn (1 a)(1 a2 )(1 a2n ),其中| a | 1,
求
lim
n
xn
.
2.设an

cos

2
cos

22
cos

2n
,
求
lim
n
an
.
3.求极限lim(ex

e2x

enx
e
)x
,其中n是
x0
n
给定的正整数.
到0.001).
8.已知
x yt
ln(1 e2t arctan
) et
,
求
d2y dx2
.
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9.设抛物线 y ax2 bx 2ln c过原点，当0 x 1 时, y 0,又由已知该抛物线与 x 轴及直线 x 1 所围成图形的面积为 1，试确定a, b, c使此
曲线y (t)与y t2 eu2 du 3 在t 1处相切，求
1
2e
函数 (t).
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6. f (x)连续，g(x) 1 f (xt)dx且lim f (x) A, A
0
x0 x
为常数，求g(x)并讨论g(x)在x 0处的连续性.
7.求方程x2 sin 1 2x 501的近似解，(精确 x
4.求limex (1 1)x2 .
x
x
Page 2
2
5. 求lim (1 x)x e2 (1 ln(1 x)).
x0
x
1
6. 求lim(n!)n2 . n
7. 求lim n[(1 1)n e].
n
n
1
1
1
8. 求lim(an bn cn )n,其中a 0,b 0,c 0.
求 lim x0
f
(sin 2 x2
x cos x tan x
x)
.
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13.设函数f (x)在[0,1]上连续，在（0,1）内 可微，且f (0) f (1) 0, f (1) 1,
2
证明：(1)存在一个 （1，1）使得f ( ) ；
2
(2)存在一个 （0，）使得 f () f () 1.