虚位移原理 第二章

三 虚位移和虚功 虚位移 非自由质点系:受到约束的质点系,运动不可 能完全自由的. 虚位移:在某一瞬时, 质点系 在约束允许的条件下, 可能 M 实现的任何无限小的位移. 可以是线位移,也可以是 角位移, 用 (变分符号) 表示.
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只画关键点的虚位移
y
r
AxA , y A
l

BxB , yB
300 角时 , l 600 cos | l l0 | 0.3 | 1 sec | ( m ) F F k | l l0 | 1.5 | 1 sec | (kN)
F F 1.5 |1 sec | (kN)
F' F
由虚位移原理，得：
M Fs 0
x
虚位移与实位移的关系: 实位移除了与约束条件有 o 关外,还与时间,主动力,及 初始条件有关,而虚位移只 θ l 与约束条件有关. M(x，y) y x
在定常约束下, 实位移是虚位 移 中的一个.
在非定常约束下, 实位移不一 定是虚位移 中的一个.
( A ) AB ( B ) AB
xB 2l cos , yG 3l sin
yC l sin ,
xB 2l sin , yC l cos yG 3l cos
FBx (2l sin k 0l cos k 0 3l cos F 3l cos 0
F r 0
i i
FA rA FB rB 0
由
rB cos rA sin
代入虚位移原理,有
rB
FA cos / sin r B FB rB 0
FA FB tan
(2)用解析法。在机构上建立坐标系,由
(F
xi
xi Fyiyi Fzizi ) 0
y B s’ s D
θ A
β P
C
2 2 l cos l cos 变分 sin sin 2 2 两蓝式连立，并将 60 , 45 代入
求得杆BD的内力
3 S P 2.366P 3 3
x
解析法要求坐标的一般性
例 图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅直 向上的力Ｆ，AC CE CD CB DG GE l 求：支座Ｂ的水平约束力。
如果约束反力在质点系的任何虚位移中的 虚功之和等于零，则这种约束称为理想约束
记为
W
N
N i ri 0
理想约束的典型例子如下：
1、光滑支承面
WN N r 0
2、光滑铰链
WN N r N 'r 0
3、无重刚杆 4、不可伸长的柔索
虚位移原理
具有理想约束的质点系(整体机构)，平衡的必要 与充分条件是：作用于质点系的所有主动力（真实主 动力和非理想约束力）在任何虚位移上所作的虚功之 和等于零。即
W F r 0
F i i
M
F
1 几何法 (在图中调整正负号)
WF Fi ri 0
例 多跨静定梁， 求支座B处反力。
解：将支座B 除 去，代入相应的 约束反力 RB 。
除某一约束代之相应的约束反力，并视为主动力.
Fi ri 0
P 1r 1 RBr B P 2r C m 0
P 1r 1 RBr B P 2r C m 0
解:解除B端水平约束,以力 FBx代替, 如图 (b)
(F
xi
xi Fyiyi Fzizi ) 0
WF FBxxB FyG 0 xB 2l cos , yG 3l sin xB 2l sin , yG 3l cos
带入虚功方程
§14-1
约束,虚位移和虚功
一
定义
约束： 限制质点或质点系位置和运动的条件
约束方程： 限制条件的数学方程
二
约束分类
1, 几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置 的条件称为几何约束。
f ( x, y , z ) 0
x y l 0
2 2 2
xB x A y B y A
2 解析法 ((1),在方程中调整正负号
(2)保证机构上点的坐标任意性)
(F
xi
xi Fyiyi Fzizi ) 0
虚位移原理 对具有理想约束的质点系可 直接求出主动力,而不必计算约束力,为人类 力学之金律 节省多少华年,增添巨大方便。 对具有不理想约束的质点系,将不理想约束
解除,使之成为具有理想约束的质点系,将不
理想约束力视为主动力,又可应用虚位移原理。 多么辩证！ 将约束解除，代之相应的约束反力，并视 为主动力，又可求出约束力。多么灵活！
解题类型
一,求出主动力(具有理想或非理想约束的机构) 二,求约束力(具有理想或非理想约束的结构)
解题步骤 1，以受力系作用而平衡的质点系为研究对象 2，把质点系改变为具有理想约束的机构
根据点的合成运动 s 0.3sec tan
sin (1 cos ) M 0.45 (kN m) 3 cos
三
求约束力(具有理想或非理想约束的结构)
1,去掉原结构要求的一个约束, 代之以约束力,这样 把结构变为机构(一个自由度), 再把机构改变为具有 理想约束的机构; 2, 给机构(理想约束)一个虚位移, 用虚位移定理求这 个未知的主动力即约束力. 3, 以此类推，直至求出所有要求的约束力.
A
B
φ
rA sin rB
rA
φ
O
O’
虚功 比照力的功，我们定义力的虚功
r F
W F r
虚功同虚位移一样，是假想的。
1,力是真实的，位移是虚位移 2, 真实的力在力的作用点的虚位移上做的功，是 虚功。
M
F
求M , F的虚功
给关键点(有力的点)的虚位移
例 滑套D套在光滑直杆AB上，
并带动杆CD在铅直滑道上滑动。
已知=0o时，弹簧等于原长， 弹簧刚度系数为5(kN/m)， 求在任意位置（ 角）平衡时， 加在AB杆上的力偶矩M ？(354
页15-7)
解:
以去掉弹簧后的整体机构为研究对象。
F' F
0 时 , l0 600 300 300( mm )
M
C
F
求铰A的约束力
l
A B rC rD
M
l
F
Fi ri 0 F AxrA M FrD 0
2l
1,求铰A的约束力FAx
C
FAx
rA
rC
rA
5l 2
rA
rC
2l

l
A
练习求FAy
B
F M FAx 2 2l
5l 2
rC 11 r1 1 而 , , rB 2 rB 8 rG 1 rE 1 rC 1 1 11 11 rB 4 rB 6 rB 12 rB 12 8 96
11 P 11 m RB 1 P 1 2 2 8 96
练习:多跨静定梁,求支座B处反力.支座D,F处反力
§14-2
虚位移原理
受理想约束的杆 在平衡力系作用下
l1
P
P
l2
Pl1 Ql2
给受理想约束的杆 杆一个虚位移
Q
Q


Pr1 Qr2 Pl1 Ql2 ( Pl1 Ql2 ) 0
拉格朗日--意大利数学家， Josepb Louis Lagrange 研究变分法,第一位提出 （1736---1813） 虚位移原理。
xi
xi Fyiyi Fzizi ) 0
y B s’ s D
令 CAB , CAD
S ' yB ( S P)yD 0
2 S ' (l sin ) ( S P) ( l sin ) 0 2
A θ
β P
C
x
寻求虚位移关系, 由B和D的横坐标相等
x y l0 v t
2 2
2
3 其它分类
约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分而不能 表成有限形式 的约束称非完整约束，否则为完整约束。
约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）,约束 方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束） 。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束
, rc
w
F
M F rc 0
由图中关系有
re ra sin h h re OB , rC ra 2 sin sin
代入虚功方程得
Fh M 2 sin
几何法
二,求出主动力(具有非理想约束的机构)
rD
例 平面桁架ABCD，在节点D受载荷P 2 作用，AB BC AC l , AD DC l 2 求杆BD的内力。 解： 杆BD的内力是约 B 束力，为求之，应将B D ’ C杆的作用以力S，S P C 代替，并视为主动力。 A
以固定点A为原点建立坐标A-xy
(F
yB 0
x y r
2 A 2 A
2
2
l
2
fi x1, y1, z1,, xn , yn , zn 0 i 1,2,, s
限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束。
vA r 0
A r 0 x
2 定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称非定常约束，否则称定 常约束。
真实位移和虚位移都满足位移投影定理。
(drA ) AB (drB ) AB
A
B
drB
(rA ) AB (rB ) AB
A B
rB
dr dt
drA
rA
求机构上点A,B,C的虚位移之间的关系
rE
E
rD
D
rB
rD rE 2rB
3，受力图 （主动力，非理想约束，要求的一个约束力）
4，用虚位移原理（几何法或解析法）求解未知量
一,求出主动力(具有理想约束的机构)
例 图所示椭圆规机构中，连杆AB长为L，滑块Ａ，Ｂ 与杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。
求：主动力FA与FB 之间的关系。
解：(1) 用几何法,
给机构虚位移 rA , rB , rA
例 计算单摆重力的虚功 o θ y 几何法

l
r l W mg r mglsin
解析法
x
r
M(x，y)
W Fxx Fyy Fzz
W m g (l cos )
m glsin
352页思考题15-4
理想约束
第十四章 虚位移原理 （静力学问题）
§14-1
§14-2
约束,虚位移和虚功
虚位移原理 （几何法和解析法）
1,学会给机构虚位移 2,学会求虚功 3,学会虚位移原理解题
在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得 出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研 究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理 相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。
FBx 2l sin F 3l cos 0
3 FBx F cot 2
如图在CG间加一弹簧，刚度K，且已有伸长量 ， 0 仍求FBx。

在弹簧处也代之 以 力，如图，其中
FC FG k 0
WF 0 FBx xB FC yC FG yG F yG 0
xB l cos , y A l sin
FBxB FAy A 0
xB l sin y A l cos
FA FB tan
例 如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦， 求机构在图示位置平衡时，主动力偶矩Ｍ与 主动力Ｆ之间的关系。
解： 给虚位移